本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 命題“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 甲、乙、丙三人參加一次考試，考試結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，過作直線與及其漸近線在第一象限分別交于，兩點，且為的中點．若等腰三角形的底邊為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
5. 向量的廣義坐標是用于描述向量或系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，物理學中的振動系統(tǒng)可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問題．通過選擇適當?shù)膹V義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數(shù)學表達，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點．對于內(nèi)任意一點P，若，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的（ ）
A. 點關于點O的對稱點不一定為
B. A，B兩點間的距離為
C. 若向量平行于向量，則的值不一定為0
D. 若線段的中點為C，則點C的廣義坐標為
6. 的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知線段是圓的一條動弦，且，若點P為直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，則的值為（ ）
A 1012B. 2024C. 4048D. 8096
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若為上的單調(diào)函數(shù)，則
B. 若時，在上有最小值，無最大值
C. 若為奇函數(shù)，則
D. 當時，在處的切線方程為
10. 設z，，均為復數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 若，則的最大值為2D. 若復數(shù)，則
11. 一個球與正方體的各個面相切，過球心作截面，則截面的可能圖形是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函數(shù)（ ）
A. 在上單調(diào)遞增B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上有唯一零點D. 在上有最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，則______．
14. 已知拋物線與直線在第一、四象限分別交于A，B兩點，F(xiàn)是拋物線焦點，O是坐標原點，若，則______．
15. 某同學的通用技術作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面邊長為，這兩個正四棱柱的公共部分構成的八面體體積為______．
16. 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.3，0.5，0.6．飛機被一人擊中而落地的概率為0.2，被兩人擊中而落地的概率為0.8，若三人都擊中，飛機必定被擊落．則飛機被擊落的概率為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
18. 在中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知，．
（1）若的面積等于，求的周長；
（2）若，求．
19. 某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A，B兩名同學中產(chǎn)生，測試方案如下：A，B兩名學生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是，A，B兩名同學作答問題相互獨立．
（1）求A，B兩名同學恰好共答對2個問題的概率；
（2）若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生，簡要說明理由．
20. 如圖，四棱錐中，，，．
（1）證明：；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
21. 一動圓圓E與圓外切，同時與圓內(nèi)切．
（1）求動圓圓心E的軌跡方程；
（2）設A為E的右頂點，若直線與x軸交于點M，與E相交于點B，C（點B在點M，C之間），若N為線段上的點，且滿足，證明：．
22. 已知函數(shù)和．
（1）討論與的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實數(shù)a取值范圍．
昆明市第一中學2024屆高中新課標高三第七次高考仿真模擬
數(shù)學試卷
本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效.
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，再結合集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由不等式，即，解得，即，
又由，所以.
故選：C．
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系直接判斷即可.
【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可得命題“，”的否定為：“，”，
故選：C．
3. 甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設出基本事件，將所求事件表示出來，利用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的積的概率公式求解即得.
【詳解】設甲、乙、丙三人參加考試合格的事件分別為，則,而三人中恰有兩人合格記為：,
因考試的結果相互獨立，且，，兩兩互斥，故得三人中恰有兩人合格的概率為：
.
故選：B．
4. 已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，過作直線與及其漸近線在第一象限分別交于，兩點，且為的中點．若等腰三角形的底邊為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，根據(jù)雙曲線的定義知，在直角三角形中應用勾股定理可得，的關系，即可求解.
【詳解】
連接，由△為等腰三角形且為的中點，得，
由知，由雙曲線的定義知，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以離心率.
故選：.
5. 向量的廣義坐標是用于描述向量或系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，物理學中的振動系統(tǒng)可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問題．通過選擇適當?shù)膹V義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數(shù)學表達，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點．對于內(nèi)任意一點P，若，則稱有序?qū)崝?shù)對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的（ ）
A. 點關于點O的對稱點不一定為
B. A，B兩點間的距離為
C. 若向量平行于向量，則的值不一定為0
D. 若線段的中點為C，則點C的廣義坐標為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)廣義坐標的定義，結合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、平面向量共線性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，設關于點的對稱點為，則，
因為，不共線，所以，A錯誤；
對于B，因為，
所以，
當向量，是相互垂直的單位向量時，，兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；
對于C，當與中至少一個是時，結論成立；
當與都不為時，設（），有，即，所以，C錯誤；
對于D，，
所以線段中點的廣義坐標為，D正確
故選：D
6. 的展開式中，項的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.
【詳解】因為的展開式通項為，
的展開式通項為，
所以，的展開式通項為，
其中，，
由可得，
所以，展開式中項的系數(shù)為.
故選：C.
7. 已知線段是圓的一條動弦，且，若點P為直線上的任意一點，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和勾股定理得到，根據(jù)平面向量的線性運算得到，然后將取最小值轉(zhuǎn)化為取最小，然后求的最小值即可.
【詳解】
解析：取中點為，連接，，
因為是圓的一條動弦，且，
所以，
又，，即，
因此取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，
又點為直線上的任意一點，
所以原點到直線的距離即是的最小值，
即，即.
故選：D.
8. 已知是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，則的值為（ ）
A 1012B. 2024C. 4048D. 8096
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函數(shù)表達式變形后分別設出，兩點坐標，再利用反函數(shù)的性質(zhì)結合兩直線垂直，斜率之積的關系得到結果.
【詳解】由得，由得，
設點的坐標為，點的坐標為，
又與的圖象關于直線對稱，且的圖象也關于直線對稱，
則點，關于直線對稱，即，得，
故選：B．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若為上的單調(diào)函數(shù)，則
B. 若時，在上有最小值，無最大值
C. 若為奇函數(shù)，則
D. 當時，在處的切線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項利用導數(shù)恒正或恒負可解得；B選項求導，判斷單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性得出極值；C選項利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出；D選項利用導數(shù)的意義結合點斜式求出.
【詳解】A：若為上的單調(diào)函數(shù)，則，，則，故A錯；
B：當時，，令，得，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取最小值，無最大值，故B對；
C：由于，則為奇函數(shù)時，，故C對；
D：當時，，，則，切點為，切線方程為，故D對；
故選：BCD．
10. 設z，，均為復數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. 若，則的最大值為2D. 若復數(shù)，則
【答案】CD
【解析】
【分析】舉出反例即可判斷AB；根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可判斷C；根據(jù)共軛復數(shù)的定義結合復數(shù)的乘法運算及復數(shù)的模的計算公式即可判斷D.
【詳解】對于A，若，，，
但，，A錯誤；
對于B，設（，），
當，均不為0時，為虛數(shù)，
而為實數(shù)，所以不成立，B錯誤；
對于C，由，
得復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
而的幾何意義為復數(shù)對應的點與兩點間的距離，
所以當點運動到時，最大，取最大值，最大值為2，C正確；
對于D，設（，），（，），
由，則，
所以，
，
所以，D正確；
故選：CD．
11. 一個球與正方體的各個面相切，過球心作截面，則截面的可能圖形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分析過球心的截面與正方體的側面平行和正方體的側面不平行兩種情況即可.
【詳解】當截面平行于正方體的一個側面時可得A；當截面過不平行于側面可得B；但無論如何都不能截得C和D.
故選：AB．
12. 已知函數(shù)（ ）
A. 在上單調(diào)遞增B. 在上單調(diào)遞增
C. 在上有唯一零點D. 在上有最小值為
【答案】BD
【解析】
【分析】求導，由單調(diào)性分析極值與零點逐一判斷即可.
【詳解】，
令，當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增；
在上取極小值為，，，在上有兩個零點，，所以，A C錯，B D對，
故選：BD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，則______．
【答案】27
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，利用方程組法求出函數(shù)的解析式，即可得解.
【詳解】因為，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案為：.
14. 已知拋物線與直線在第一、四象限分別交于A，B兩點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O是坐標原點，若，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出交點的橫坐標，根據(jù)拋物線的定義求出和的長，利用三角形面積公式求解.
【詳解】因為直線過點，所以，，三點共線，
聯(lián)立直線與拋物線方程， ，得，
解得：，，
所以，，
因為，所以，
又因為，所以．
故答案為：4.

15. 某同學的通用技術作品如圖所示，該作品由兩個相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面邊長為，這兩個正四棱柱的公共部分構成的八面體體積為______．
【答案】
【解析】
【分析】先判斷出公共部分是兩個底面重疊的正四棱錐，再計算體積即可.
【詳解】公共部分是兩個正四棱錐且底面重疊的空間幾何體，底面是為邊長的正方形，
底面積為，其中一個正四棱錐的高為，
則這兩個正四棱柱的公共部分構成的八面體體積為．
故答案為：.
16. 甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.3，0.5，0.6．飛機被一人擊中而落地的概率為0.2，被兩人擊中而落地的概率為0.8，若三人都擊中，飛機必定被擊落．則飛機被擊落的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】分飛機被幾人擊中情況由條件概率公式和全概率公式求解.
【詳解】解析：設事件，事件，，，，
由題意可得，，，，
，，
0.36，
，
由全概率公式得，所以飛機被擊落的概率為．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列的前n項和為，且．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
【答案】17.
18. ．
【解析】
【分析】（1）由與的關系式消去得到遞推式，根據(jù)等差數(shù)列定義求得；
（2）求出的表達式，記為，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求得其最大值，即得實數(shù)t的取值范圍.
【小問1詳解】
因為（）， 所以（），
兩式相減得（）， 又因為，所以，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以．
小問2詳解】
由（1），所以，令，
則，所以，當時，，
故（，）為減函數(shù)，而，又因為恒成立，
所以，所以實數(shù)的取值范圍為．
18. 在中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知，．
（1）若的面積等于，求的周長；
（2）若，求．
【答案】（1）6； （2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式求得，結合已知條件即可求得三角形周長；
（2）根據(jù)已知條件求得，結合余弦定理求得，再根據(jù)正弦定理求得，進而解得，再求即可.
【小問1詳解】
由余弦定理得，，整理得：，
又因為的面積等于，所以，得；
聯(lián)立方程組，即，
解得（舍去）或，
所以的周長為．
【小問2詳解】
因為，由正弦定理得：，
聯(lián)立方程組，則，
解得（舍去）或，則，
所以，
又因為，所以，即，所以， 故，
.
19. 某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A，B兩名同學中產(chǎn)生，測試方案如下：A，B兩名學生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率都是，A，B兩名同學作答問題相互獨立．
（1）求A，B兩名同學恰好共答對2個問題的概率；
（2）若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生，簡要說明理由．
【答案】（1）
（2）應該選擇學生，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離散型隨機變量以及古典概型的概率公式，結合概率乘法公式，可得答案；
（2）根據(jù)數(shù)學期望以及方差的意義，可得答案.
小問1詳解】
設同學答對的題數(shù)為，則隨機變量的所有可能取值為，.
則，；
設同學答對的題數(shù)為，則隨機變量的所有可能取值為，，，.
，，
，.
所以，兩名同學恰好共答對個問題的概率為.
【小問2詳解】
由（1）知，，；
而，.
因為，

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