黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)第四十七中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1.本試卷滿分為120分，考試時間為120分鐘；
2.答題前，考生先將自己的“姓名”、“考號”、“考場”、“座位號”在答題卡上填寫清楚；
3.請按照題號的順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草紙、試題紙上答題無效；
4.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米的黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆記清楚；
5.保持卡面整潔、不要折疊、不要弄臟、不要弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液修正帶、刮紙刀
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會于2022年2月4日在北京開幕，冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源；北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”是以熊貓為原型進(jìn)行設(shè)計創(chuàng)作；北京冬季殘奧會的吉祥物“雪容融”是以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計創(chuàng)作．下列冬奧元素圖片中，是軸對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐個判定即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查軸對稱圖形，把一個圖形沿著某條直線對稱，圖形兩部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形，解題關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2. 下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項法則，完全平方公式，進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：A、，故該選項正確，符合題意；
B、，故該選項不正確，不符合題意；
C、，故該選項不正確，不符合題意；
D、，故該選項不正確，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項，完全平方公式，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
3. 下列因式分解正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)因式分解的方法，提公因式法及公式法依次進(jìn)行計算判斷即可．
【詳解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故選項計算錯誤；
B、3a+3b=3(a+b)，選項計算正確；
C、，選項計算錯誤；
D、不能進(jìn)行因式分解，選項計算錯誤；
故選：B．
【點睛】題目主要考查因式分解的判斷及應(yīng)用提公因式法與公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．
4. 下列說法正確的是（）
A. 如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形
B. 如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形
C. 等腰三角形是關(guān)于一條邊上的中線成軸對稱的圖形
D. 一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點的直線成軸對稱圖形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的定義以及軸對稱的性質(zhì)可判斷選項A和B；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷選項C；根據(jù)線段的性質(zhì)可判斷選項D．
【詳解】解：A．如果兩個三角形全等，則它們不一定關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形，故本選項不合題意；
B．如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形，說法正確，故本選項符合題意；
C．等腰三角形是以底邊中線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形或者說等腰三角形被中線所在直線分成的兩個三角形成軸對稱，故本選項不合題意；
D．一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點且和線段垂直的直線成軸對稱的圖形，故本選項不合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷．
5. 已知，則 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)積的乘方的性質(zhì)計算，然后再根據(jù)單項式除單項式的法則計算即可．
【詳解】a2÷2b=(1.6×109)2÷(8×103)=(2.56×1018)÷(8×103)= .
故選D.
【點睛】此題考查冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.
6. 把多項式分解因式，下列結(jié)果正確的是（）
A. x(3x+1)(x-3)B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用提公因式法將提出，此時不難發(fā)現(xiàn)括號里是完全平方公式，繼續(xù)利用公式因式分解即可.（注：因式分解要徹底?。?br>【詳解】
=
=
故選D.
【點睛】此題考查的是因式分解，需先用提公因式法因式分解，再用公式法因式分解. （注：因式分解要徹底?。?br>7. 如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點，．作直線，交于點，交于點，連接．若，，，則的周長為（）
A. 25B. 22C. 19D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【詳解】解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周長＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故選：C
【點睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8. 若，則( )
A. 5B. 1C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】把變形后整體代入求值即可．
【詳解】∵，
∴
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．
9. 已知，，則（）
A. 19B. 25C. 31D. 以上都不對
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查完全平方公式的運(yùn)用．根據(jù)完全平方公式結(jié)合題意，將兩邊平方，利用完全平方公式展開，得到，由，即可求出值．
【詳解】解：，
，即，
，
，
故選：A．
10. 如圖，在ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于點D，AE⊥BC于點E，AE與CD交于點F，連接BF，DE，下列結(jié)論中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，則，正確的有（）
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】B
【解析】
【分析】①②只要證明ADF≌CDB即可解決問題；③易證DMF≌DNB，想辦法證明AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD即可；④如圖2中，延長FE到H，使得FH＝FB．連接HC、BH，想辦法證明BFH是等邊三角形，AC＝AH即可解決問題．
【詳解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠DCB，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴AD＝DC，
∴ADF≌CDB，
∴AF＝BC，DF＝DB，故①正確，
∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
過點D作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，
∵ADF≌CDB，
∴S△ADF＝S△CDB，
∴
∵AF＝BC，
∴DM＝DN，
∴∠DEB＝∠DEA＝45°，故②正確，
∵∠DMF＝∠DNB＝90°，DM＝DN，∠MFD＝∠NBD，
∴DMF≌DNB，
∴MF＝BN，
∵∠DME＝∠DNE＝90°，∠DEB＝∠DEA＝45°，DE＝DE，
∴DME≌DNE，
∴EM＝EN，
∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，
∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，
∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③錯誤，
如圖2中，延長FE到H，使得FH＝FB．連接HC、BH．
∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，
∵∠DFB＝45°，
∴∠AFB＝120°，
∴∠BFH＝60°，
∵FH＝BF，
∴BFH是等邊三角形，
∴BF＝BH，
∵BC⊥FH，
∴FE＝EH，
∴CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，
∴∠ACH＝75°，
∴∠ACH＝∠AHC＝75°，
∴AC＝AH，
∵AF+FB＝AF+FH＝AH，
∴AF+BF＝AC，故④正確，
故選：B．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
二、填空題（每小題3分，共30分）
11. 若，則x的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】任何不為零的數(shù)的零次冪都等于零，根據(jù)定義解答．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了零指數(shù)冪定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
12. 分解因式：=_________________________．
【答案】．
【解析】
詳解】試題分析：原式==．
考點：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
13. 點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱的點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答．
【詳解】解：點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，關(guān)于軸、軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
14. 等腰的頂角為30°，腰長為6，則______．
【答案】
【解析】
【分析】作，在中，根據(jù)，求出的長，在中，以為底，為高，即可求解，本題考查了含角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是：靈活應(yīng)用求三角形面積的多種方式．
【詳解】解：設(shè)，，過點，作，垂足為，
，，
，
，
故答案為：．
15. 已知10x＝7，10y＝21，則10x﹣y＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計算即可．
【詳解】∵10x＝7，10y＝21，
∴10x﹣y＝10x÷10y＝7÷21＝．
故答案為．
【點睛】本題主要考查的是同底數(shù)冪的除法，逆用同底數(shù)冪的除法法則是解題的關(guān)鍵．
16. 若是一個完全平方式，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)完全平方公式：，進(jìn)行計算即可得．
【詳解】解：∵是一個完全平方公式，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．
17. 如圖，已知等邊三角形紙片，點E在邊上，點F在邊上，沿折疊，使點落在邊上的點的位置，且，則的度數(shù)為_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，由折疊性質(zhì)可知，通過等邊三角形的性質(zhì)可得，，，由得到，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出，熟練掌握邊三角形和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】由翻折性質(zhì)可知：，
∵為等邊三角形，
∴，，，
∵，
∴為直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵是由翻折得到，
∴，
故答案為：．
18. 已知，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P為直線BC上一點，BP=AB，則∠APB的度數(shù)為___________ .
【答案】15°或75°
【解析】
【分析】由P為直線BC上一點，BP=AB，有兩種情況：①若P在CB延長線上時，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再利用外角性質(zhì)即可求出∠APB；②如P在BC上時，兩次利用等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠APB.
【詳解】如圖所示，由P直線BC上一點，BP=AB，有兩種情況：
①若P在CB延長線上，即P1的位置時，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）
=30°
又∵AB=BP1
∴∠BP1A=∠BAP1
∵∠ABC是△BP1A的外角
∴∠ABC=∠BP1A＋∠BAP1
∴∠AP1B=15°
②如P在BC上，即P2的位置時，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）
=30°
又∵AB=BP2
∴∠BP2A=∠BAP2=（180°－∠ABC）
=75°
綜上所述：∠APB=15°或75°
故答案為15°或75°.
【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角和三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.利用BP=AB進(jìn)行分類討論是此題需注意的地方.
19. 如圖，等腰三角形的底邊長為6，面積是30，腰的垂直平分線分別交，于E，F(xiàn)點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為______．
【答案】13
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)對稱性和等腰三角形的性質(zhì)，連接交于點M，此時周長最小，進(jìn)而可求解．
詳解】解：如圖：
連接交于點M，
∵等腰的底邊長為6，點D為邊的中點，
∴，
∵是腰的垂直平分線，連接，
∴，
此時的周長為：，
∵的長為3固定，
∴根據(jù)兩點之間線段最短，的周長最?。?br>∵，
，
∴，
∴．
故答案為：13．
20. 如圖：在△ABC中，∠ACB ＝90°，點D在邊AB上，AD＝AC，點E在BC邊上，CE＝BD，過點E作EF⊥CD交AB于點F，若AF＝2，BC＝8，則DF的長為_______
【答案】4
【解析】
【分析】延長AC至點G，使AG=AB，延長EF、CA交于H，根據(jù)題意證明△CEH≌CGB，即可得到DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF，即可求解.
【詳解】設(shè)∠BCD=a,∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-a，∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=90°-a，∴∠CAB=2a,∴∠ABC=90°-2a,
∵EF⊥CD,∴∠DKF=90°，∴∠DFK=a，∴∠CEF=90°-a,
延長AC至點G，使AG=AB，連接BG,∴∠G=90°-a=∠CEF，
∵AC=AD,∴BD=CG=CE,
延長EF、CA交于H，
∴∠H=a=∠BFE=∠AFH，
∴AH=AF=2，
∵∠ACB=∠BCG=90°，CG=CE，∠G=∠CEF
∴△CEH≌CGB
∴BC=CH=8，
∴DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AF=BC-2AF=4.
故填：4.
【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線進(jìn)行求解.
三、解答題（21題9分，22題6分，23題7分，24題8分，25－27每題10分，共計60分）
21. 計算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）分別計算冪的乘方和積的乘方，再根據(jù)單項式乘以單項式法則計算即可；
（）直接利用多項式除以單項式法則計算即可；
（）根據(jù)乘法運(yùn)算律逆運(yùn)算即可求出結(jié)果；
本題考查了冪的乘方和積的乘方，單項式乘以單項式，多項式除以單項式，乘法運(yùn)算律逆運(yùn)算，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：原式，
，
；
【小問2詳解】
解：原式，
；
【小問3詳解】
解：原式，
，
．
22. 已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，每個小正方形的頂點叫格點．
（1）作出關(guān)于y軸對稱的三角形；
（2）經(jīng)過的一個頂點及一邊上的格點做一條直線，將三角形分成兩個圖形，使其中一個圖形是軸對稱圖形．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)軸對稱的定義，按照題意要求畫圖即可．
【小問1詳解】
解：如圖：即為所求
【小問2詳解】
解：如圖：直線將分成兩個圖形，其中是軸對稱圖形．
23. 先化簡，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1．
【答案】5y+x，3．
【解析】
【分析】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：原式＝
＝
＝，
當(dāng)時，
原式＝
【點睛】本題考查整式的混合運(yùn)算-化簡求值，解題的關(guān)鍵是利用完全平方公式，平方差公式正確化簡原式．
24. 已知：點D是的邊的中點，，，垂足分別為點E、F，且．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，若，連接交于點M，連接，，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖中所有的與面積相等的非等腰三角形．
【答案】24. 見解析
25. 圖中所有的與面積相等的非等腰三角形是，，，
【解析】
【分析】（1）先證明，得到，再根據(jù)等腰三角形的判定，即得答案；
（2）先證明是等腰直角三角形，得到，，，然后證明，，得到，再證明，得到，，由此可推得答案．
【小問1詳解】
證明：，，
，
點D是的中點，
，
，
，
，
；
【小問2詳解】
圖中所有的與面積相等的非等腰三角形是，，，．
理由如下：
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
同理，
，，，
，
，，
，，
，，
．
圖中所有的與面積相等的非等腰三角形是，，，．
【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線求面積，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．
25. 如圖1，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜居環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個長為（4a+3b）米，寬為（2a+3b）米的長方形草坪上修建一橫一豎，寬度均為b米的通道．
（1）通道的面積共有多少平方米？
（2）剩余草坪的面積是多少平方米？
（3）若修兩橫一豎，寬度均為b米的通道（如圖2），已知a＝2b，剩余草坪的面積是216平方米，求通道的寬度是多少米？
【答案】（1）通道的面積共有6ab+5b2平方米;（2）剩余草坪的面積是8a2+12ab+4b2平方米;（3）通道的寬度是2米.
【解析】
【分析】本題主要考查整式乘法在實際問題中的運(yùn)用.
【詳解】解：（1）
（2）長方形面積-通道的面積=剩余草坪的面積
（3），
通道的寬度為2m
【點睛】把通道都平移到一個頂點附近，使剩余的面積為一個大的長方形，能使這類題變的更簡單.
26. 如圖1等腰中，，點O在底邊上（異于點B、D），點C是延長線上一點，若為等腰三角形，則稱點C為的“同型點”．
（1）如圖1，當(dāng)平分，，交于點O，，時，求證：點C是的“同型點”；
（2）如圖2，在的正方形網(wǎng)格圖上有一個，點A，B，C均在格點上，在給出的網(wǎng)格上有一個格點D，使得點D為的“同型點”，則滿足條件的點D有______個；
（3）如圖3，在四邊形中，，，且，若點C為的“同型點”，請求出所有滿足條件的的度數(shù)．
【答案】（1）見解析（2）4
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得是等腰三角形，然后可求出，利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到為等腰三角形，即點C是的“同型點”；
（2）找出所有在下方能使為等腰三角形的格點D即可；
（3）根據(jù)點C為的“同類點”可知為等腰三角形，然后分和兩種情況，分別作出圖形，并根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：∵當(dāng)平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴等腰二角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴為等腰三角形，即點C是的“同類點”．
【小問2詳解】
解：如圖：這樣的點D共有4個．
故答案為4．
【小問3詳解】
解：∵，，且，點C為的“同型點；
①如圖：當(dāng)時，則，即是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如圖，當(dāng)時，則，
∴，
∴．
綜上，的度數(shù)為或．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識點，正確理解“同型點”的定義是解題關(guān)鍵．
27. 在中，點在上，點在的延長線上，連接交于，，過點作的垂線，垂足為點．
（1）如圖1，延長交線段于，當(dāng)時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，的面積為9，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
（3）的長為
【解析】
【分析】（1）由可得，由可得，，可證，結(jié)合時，根據(jù)三角形外角定理，根據(jù)等角對等邊，即可求證，
（2）由，根據(jù)三角形外角定理，可得，由可得，求出，
在中，即可求解，
（3）作，由等腰直角三角形，可得，，結(jié)合，可得，用表示出，即可求解，
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，同底等高的三角形面積相等，解題的關(guān)鍵是：通過邊長相等推導(dǎo)出角度之間的關(guān)系與面積之間的關(guān)系．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，，
又，
，
，
，
，整理得：，
，
【小問2詳解】
解：，
，
，
，即：，
，
，
，
，
故答案為：，
【小問3詳解】
解：作交于點，連接，
，，
，
由（1）得：，
，
，，
，即：，
，
，
，
，，
，即：，
，
，
，
，解得：，
故答案為：長為．

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