考試時(shí)間：2024年3月5日下午14：30—16：30試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．命題“,”的否定是（ ）
A．“,”B．“,”
C．“,”D．“,”
2．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．已知為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．1B．C．2D．
4．設(shè)，為不同的平面，，，為三條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，，，，則
B．若，，，則
C．若，，則與異面
D．若，，，則與相交
5．方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
6．從集合中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，則的最小值為（ ）
A．-4B．-3C．D．2
8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．2023年10月份諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)名單已經(jīng)全部揭曉，某校為調(diào)研同學(xué)們對諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)科學(xué)家的了解程度，隨機(jī)調(diào)查了該校不同年級的8名同學(xué)所知道的獲得過諾貝爾獎(jiǎng)的科學(xué)家人數(shù)，得到一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則（ ）
A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B．這組數(shù)據(jù)的極差為2
C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2D．這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為1
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．的一個(gè)對稱中心為
B．的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)是偶函數(shù)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．若在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則
11．在正四棱臺(tái)中，，，點(diǎn)在四邊形內(nèi)，且正四棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，，則（ ）
A．該正四棱臺(tái)的高為3
B．該正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是
C．球心到正四棱臺(tái)底面的距離為
D．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．
13．寫出一個(gè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程______．
14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，若為的角平分線，則直線的斜率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
山西作為汾河文化的發(fā)源地，是我國文明古省，有山西老陳醋、平遙古城、杏花村汾酒等文化資源，山西文旅局相關(guān)工作人員通過自媒體以圖片、短視頻、視頻等形式展示了汾河文化的魅力所在，其中大同刀削面為山西飲食文化的代表某校進(jìn)行了有關(guān)是否喜歡吃山西大同刀削面的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的同學(xué)中隨機(jī)抽取了男、女各100名同學(xué)進(jìn)行分析，從而得到如下列聯(lián)表（單位：人）：
（1）完善列聯(lián)表并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校同學(xué)對山西大同刀削面的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法，從喜歡和不喜歡吃山西大同刀削面的同學(xué)中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中不喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在四棱錐中，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，若為正三角形，且，．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（本小題滿分15分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）探究數(shù)列的單調(diào)性；
（2）證明：．
18．（本小題滿分17分）
已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)，，且．
（1）求|AB|的取值范圍；
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線的傾斜角比直線的傾斜角大，求四邊形面積的最大值．
19．（本小題滿分17分）
已知函數(shù)，且與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)的值及的最大值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）判斷關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明．性別
喜歡情況
合計(jì)
喜歡
不喜歡
男同學(xué)
60
女同學(xué)
20
合計(jì)
60
140
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
2024屆山西高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)
數(shù)學(xué)試題參考答案及多維細(xì)目表
1．【答案】C
【解析】依題意全稱命題“，”的否定為特稱命題“，”
2．【答案】B
【解析】由題意可得．
3．【答案】B
【解析】由，
為實(shí)數(shù)，，解得．
4．【答案】A
【解析】對于A，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得A正確；
對于B，若，，，則，或與異面，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，，則，或與異面，故C錯(cuò)誤；
對于D，若，，，則，或與異面，或與相交，故D錯(cuò)誤．
5．【答案】C
【解析】設(shè)，．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出與的大致圖象，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn)．
6．【答案】D
【解析】由題知和為2的倍數(shù)的有（1，3），（1，5），
（1，7），（3，5），（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（2，8），
（4，6），（4，8），（6，8）共12種可能，．
7．【答案】C
【解析】，，
，
又，
，即，
．
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，
的最小值為．
8．【答案】D
【解析】，，
，即，
又，
，
即，，
又，，
又，，
即，
，，
．
9．【答案】ACD
【解析】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4．對于A，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，故A正確；對于B，極差為，故B錯(cuò)誤；
對于C，平均數(shù)為，故C正確；
對于D，，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1，故D正確．
10．【答案】AC
【解析】由0，故A正確；
向右平移個(gè)單位長度后得，為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，則，由余弦函數(shù)單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
對于D，由，得，解得或，，在區(qū)間上與有且只有6個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為：，，，，，，而第7個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，故D錯(cuò)誤．
11．【答案】BC
【解析】對于A，取正方形的中心，正方形的中心，連接，，，則平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，，，，，，，故，，，，由公股定理得，故A錯(cuò)誤；
對于B，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，故，正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是，故B正確；
對于C，正四棱臺(tái)的外接球球心在直線上，連接，，則，如圖所示．
設(shè)，則，
由勾股定理得，，，解得，故C正確；
對于D，由勾股定理得，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分，如圖，
其中，故，又，
由勾股定理得，
由于，，故，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度是，故D錯(cuò)誤．
12．【答案】28
【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為
，
令，解得，故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．
13．【答案】或（答案不唯一，寫出一個(gè)即可得分）
【解析】依題意，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，則圓表示以為圓心，半徑的圓，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，過的直線正好與圓相切；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，則，解得，此時(shí)切線方程為．
14．【答案】
【解析】由題意得拋物線方程為，故設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)，
聯(lián)立，可得，且，設(shè)，，則，，
則，，
則，
，
由正弦定理得，，
為的角平分線，
即，又，
，，
即，
又由焦半徑公式可知，
則，即，
即，解得，
故直線的斜率為．
同理，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為．
綜上所述，直線的斜率為．
15．解：（1）完善列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：該校同學(xué)對山西大同刀削面的喜歡情況與性別無關(guān)．
則，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該校同學(xué)對山西大同刀削面的喜歡情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．
（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從喜歡吃山西大同刀削面和不喜歡吃山西大同刀削面中隨機(jī)抽取10人，則抽取的人中喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為3，不喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為7，故的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，故的分布列為
則
16．證明：（1）由題意可得，
，
，即．
又點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，
即平面，
又平面，，
又，，平面，
平面．
（2）由（1）可得，，兩兩垂直，建立以為原點(diǎn)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則有
直線與平面所成角的正弦值為
．
17．解：（1）由題意可得，
故，
即，故數(shù)列中，且從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減．
（2）證法一：由題意可得
，
，
有，
即，
令，
則，
則有，
即有，
即，
故
，
又，故，
即．
證法二：不妨設(shè)，且，，
則
則解得
，
那么
．
18．解：（1）設(shè)，，易知，聯(lián)立
消去，得．
，，
，
．
．
又，
，
（2）解法一：設(shè)直線的傾斜角為，則．
由（1）知．
直線的傾斜角為，
同理可知．
，
．
令，則．
，
當(dāng)時(shí)，取最大值．
解法二：依題意，，直線的傾斜角比直線的傾斜角大，
直線的斜率存在．
不妨設(shè)直線的方程：，且，
．
由（1）同理得，
又，
令，，
，
解方程，得．
在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，．
，時(shí)，，
，
．
19．解：（1）由題意知，且，
，
，解得，
，
，
當(dāng)時(shí)，，．故，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
．
當(dāng)時(shí)，令，
則，
，，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則．
綜上所述，，的最大值為0．
（2）證明：，要證，即證，
記，
當(dāng)時(shí)，，，
；
當(dāng)時(shí)，，
記，
則，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，．
（3）設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，由（1）知，
故，
故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．
當(dāng)時(shí)，，因此0為的一個(gè)實(shí)數(shù)根．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，，
存在，使得，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
又，
在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根．
當(dāng)時(shí)，，
令，
，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
于是恒成立．故在區(qū)間上無實(shí)數(shù)根，綜上所述，有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
題號
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
B
A
C
D
題號
7
8
9
10
11
答案
C
D
ACD
AC
BC
性別
喜歡情況
合計(jì)
喜歡
不喜歡
男同學(xué)
40
60
100
女同學(xué)
20
80
100
合計(jì)
60
140
200
0
1
2
3

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