一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知直線與直線垂直，則( )
A. B. 1C. 2D. 4
2. 等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，則( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 已知直線l過點，方向向量為，則原點到距離為( )
A. 1B. C. D. 3
4. 已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
5. 在三棱錐中，點M是中點，若，則( )
A. 0B. C. 1D. 2
6. 已知點P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點Q(異于P)，點F為C的左焦點，若為銳角，則b的取值范圍為( )
A. B. C. D.
7. 在平行六面體中，，，則直線與直線所成角的余弦值為( )
A. 0B. C. D. 1
8. 橢圓的左焦點為F，右頂點為A，以F為圓心，為半徑的圓與E交于點P，且，則E的離心率為( )
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知橢圓與橢圓，則( )
A. B. 短軸長相等C. 焦距相等D. 離心率相等
10. 如圖，四邊形為正方形，，平面，，點在棱上，且，則( )
A. 當(dāng)時，平面
B. 當(dāng)時，平面
C. 當(dāng)時，點到平面的距離為
D. 當(dāng)時，平面與平面的夾角為
11. 2022年11月29日23時08分，我國自主研發(fā)的神舟十五號載人飛船成功對接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實現(xiàn)首次太空會師．我國航天員在實驗艙觀測到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于這條拋物線的焦點．當(dāng)此彗星離地球4千萬公里時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為(單位：千萬公里)( )
A. B. C. 1D. 3
12. 大自然的美麗，總是按照美的密碼進行，而數(shù)學(xué)是美麗的鏡子，斐波那契數(shù)列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風(fēng)梨的排列、向日葵花圈數(shù)、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可以用遞推的方法來定義：，則( )
A.
B.
C.
D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 寫出雙曲線的一條漸近線方程__________．
14. 正方體中，E為線段的中點，則直線與平面所成角的正弦值為__________．
15. 在平面上給定相異的兩點A，B，設(shè)點P與A，B在同一平面上，滿足，當(dāng)且時，點P的軌跡是一個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓．在中，，邊中點為，則的最大值為__________．
16. 平面上一系列點，其中，已知在曲線上，圓與y軸相切，且圓與圓外切，則的坐標(biāo)為__________；記，則數(shù)列的前6項和為__________．
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，點D為的中點，的外接圓為圓M．
(1)求圓M的方程；
(2)求直線被圓M所截得的弦長．
18. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
19. 已知點，點B為直線上的動點，過點B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點P．
(1)求點P軌跡的方程；
(2)設(shè)與x軸交于點M，直線與交于點G(異于P)，求四邊形面積的最小值．
20. 世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美．譬如紙飛機、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．
(1)求證：；
(2)當(dāng)三棱錐體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值．
21. 甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額均為1千萬元，由于管理經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為千萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多千萬元．
(1)分別求甲、乙超市第n年銷售額表達式；
(2)若其中一家超市的年銷售額不足另一家超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾年？
22. 已知橢圓過點，且離心率．
(1)求E的方程；
(2)過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點，交E于C，D兩點，的中點分別為M，N．探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二年級學(xué)業(yè)水平測試
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知直線與直線垂直，則( )
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩直線垂直的條件求解.
【詳解】因為直線與直線垂直，
所以，即.
故選：B.
2. 等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，則( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，
所以.
故選：D.
3. 已知直線l過點，方向向量為，則原點到的距離為( )
A. 1B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出直線的解析式，即可求出原點到的距離.
【詳解】由題意，
在直線中，方向向量為，
∴直線l的斜率存在，設(shè)，則直線l的斜率為：，
∴，
∵直線l過點，
∴，解得：，
∴，即，
∴原點到的距離為：，
故選：B.
4. 已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.
【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為，
圓可化為，圓心為，半徑為，
又與有且僅有一條公切線，
所以兩圓內(nèi)切，
因此，即，
解得，
故選：C
5. 在三棱錐中，點M是中點，若，則( )
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】表達出和，得出，，的值，即可求出的值.
【詳解】由題意，
在三棱錐中，點M是中點，
連接，，
在中，
，
在中，
，
∴,
∴，，
∴，
故選：A.
6. 已知點P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點Q(異于P)，點F為C的左焦點，若為銳角，則b的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)雙曲線的右焦點，根據(jù)雙曲線的定義，可求得，根據(jù)已知條件為銳角，可判斷為鈍角，結(jié)合余弦定理即可求得b的取值范圍.
【詳解】如圖所示：
設(shè)雙曲線的右焦點為，則，且，則，
又則，又，所以，
而，即，解得，
又因為為銳角，且根據(jù)雙曲線的對稱性知，關(guān)于原點對稱，，，
所以為銳角，
所以為鈍角，則①，且，又②，
由①②兩式解得，
所以b的取值范圍為.
故選：C
7. 在平行六面體中，，，則直線與直線所成角余弦值為( )
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，由向量的運算得出，進而得出直線與直線所成角的余弦值.
【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，則
，，
即，則直線與直線所成角的余弦值為.
故選：A
8. 橢圓的左焦點為F，右頂點為A，以F為圓心，為半徑的圓與E交于點P，且，則E的離心率為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得，右焦點為，中利用余弦定理列方程，由齊次式可求E的離心率.
【詳解】由題意，，，由，，
右焦點為，連接，有，
中，，
化簡得，即，
則E的離心率為.
故選：C
【點睛】思路點睛：點P在橢圓上，一是滿足橢圓方程，二是到兩焦點距離之和等于2a，求橢圓離心率，結(jié)合其它條件構(gòu)造齊次式即可得解.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知橢圓與橢圓，則( )
A. B. 短軸長相等C. 焦距相等D. 離心率相等
【答案】AC
【解析】
【分析】分別對兩個橢圓進行分析，得到對應(yīng)的短軸長，焦距，離心率等，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，在中，有，，，
∴短半軸為3，長半軸為5，焦距為，離心率，
在中，有，，，
∴長半軸為，短半軸為，焦距為，
，解得：，離心率，
∴AC正確，BD錯誤.
故選：AC.
10. 如圖，四邊形為正方形，，平面，，點在棱上，且，則( )
A. 當(dāng)時，平面
B. 當(dāng)時，平面
C. 當(dāng)時，點到平面的距離為
D. 當(dāng)時，平面與平面的夾角為
【答案】BC
【解析】
【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐項判斷可得合適的選項.
【詳解】因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標(biāo)原點，
、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
對于AD選項，當(dāng)時，，
，易知平面的一個法向量為，
因為，因此，與平面不平行，A錯，
設(shè)平面的法向量為，，
則，取，可得，
易知平面的一個法向量為，
，
所以，平面與平面的夾角不是，D錯；
對于BC選項，當(dāng)時，，
，，，
所以，，，所以，，，
又因為，、平面，平面，B對，
點到平面的距離為，C對.
故選：BC.
11. 2022年11月29日23時08分，我國自主研發(fā)的神舟十五號載人飛船成功對接于空間站“天和”核心艙前向端口，并實現(xiàn)首次太空會師．我國航天員在實驗艙觀測到一顆彗星劃過美麗的地球，彗星沿一拋物線軌道運行，地球恰好位于這條拋物線的焦點．當(dāng)此彗星離地球4千萬公里時，經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，則彗星與地球的最短距離可能為(單位：千萬公里)( )
A. B. C. 1D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，可設(shè)該拋物線方程為，彗星離地球4千萬公里時假設(shè)為A點，作軸于，分在的左側(cè)和右側(cè)進行討論，即可求出最短距離
【詳解】不妨假設(shè)該拋物線開口向右，如圖所示，可設(shè)該拋物線的方程為，
地球即焦點坐標(biāo)為，設(shè)彗星的坐標(biāo)為，
當(dāng)彗星離地球4千萬公里時，設(shè)彗星此時處于A點，即，
作軸于，則，
當(dāng)在的右側(cè)時，
，所以，
代入拋物線可得，解得
則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，
則彗星與地球的最短距離可能為1千萬公里，
當(dāng)在的左側(cè)時，
，所以，
代入拋物線可得，解得
則根據(jù)拋物線的定義可得彗星到地球的距離為，
則彗星與地球的最短距離可能為3千萬公里，
故選：CD
12. 大自然的美麗，總是按照美的密碼進行，而數(shù)學(xué)是美麗的鏡子，斐波那契數(shù)列，就用量化展示了一些自然界的奧妙．譬如松果、風(fēng)梨的排列、向日葵花圈數(shù)、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數(shù)列有關(guān)．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可以用遞推的方法來定義：，則( )
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】用累加法判斷選項AB，對于C，只需證明即可,用數(shù)學(xué)歸納法證明;對于D，得到，即可判斷
【詳解】對于A，由，可得，則，，，
將上式累加得，又，則有.故A正確；
對于B，由，可得，，
將上式累加得，又，則，故B錯誤；
對于C，有成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)時,,滿足規(guī)律,
②假設(shè)當(dāng)時滿足成立
當(dāng)時，則成立，滿足規(guī)律,
故，令，則有成立，故C正確;
對于D，由可得，
所以 ，故D正確
故選：ACD
【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 寫出雙曲線的一條漸近線方程__________．
【答案】(或)
【解析】
【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由題意可得，，則雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：(或)
14. 正方體中，E為線段的中點，則直線與平面所成角的正弦值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用法向量求解線面角.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則;
；
設(shè)平面的一個法向量為，則，，
令，則.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
故答案為：.
15. 在平面上給定相異的兩點A，B，設(shè)點P與A，B在同一平面上，滿足，當(dāng)且時，點P的軌跡是一個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓．在中，，邊中點為，則的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，可得，利用可得，結(jié)合圖象即可得到與該圓相切時，最大
【詳解】設(shè)，由邊中點為可得，
因為，所以，整理可得，
所以的軌跡是圓心為，半徑為4的圓上(排除軸上的點)，
則當(dāng)與該圓相切時，最大，，
因為所以
故答案為：
16. 平面上一系列點，其中，已知在曲線上，圓與y軸相切，且圓與圓外切，則的坐標(biāo)為__________；記，則數(shù)列的前6項和為__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由圓與y軸相切得出圓的半徑為，由圓與圓外切，得出，進而由遞推公式結(jié)合求解即可.
【詳解】因為圓與y軸相切，所以圓的半徑為，
又圓與圓外切，所以.
兩邊平方并整理得，結(jié)合，
，得，
即，，以此類推
因為，所以，故.
數(shù)列的前6項和為
故答案為：；.
四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為菱形，，點D為的中點，的外接圓為圓M．
(1)求圓M的方程；
(2)求直線被圓M所截得的弦長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由已知可得為正三角形，可求出圓心坐標(biāo)和半徑得求圓M的方程；
(2)根據(jù)相應(yīng)點的坐標(biāo)，得到直線CD的方程，求圓心到直線距離，利用幾何法求弦長.
【小問1詳解】
(1)因為， ，所以為正三角形，
由 ，得，
所以外接圓圓心為 ，又半徑 ，
所以圓M的方程為
【小問2詳解】
由題意得 ， ，
直線CD的斜率 ，
直線CD方程為 即 ，
M到CD的距離為 ，
所以CD被圓M截得的弦長為 .
18. 已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)條件列方程組，求出首項和公比，利用通項公式可得答案；
(2)先求出的通項公式，利用分組求和法可求和.
【小問1詳解】
設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，因為，
所以，解得，所以.
【小問2詳解】
由(1)可得，設(shè)數(shù)列前n項和為，
則
.
19. 已知點，點B為直線上的動點，過點B作直線的垂線l，且線段的中垂線與l交于點P．
(1)求點P的軌跡的方程；
(2)設(shè)與x軸交于點M，直線與交于點G(異于P)，求四邊形面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用拋物線的定義求解軌跡方程；
(2)設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得出，用表示出四邊形的面積，結(jié)合基本不等式求解最值.
【小問1詳解】
由題意點到直線的距離與到點的距離相等，所以點P的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，，則.
如圖，設(shè)與軸的交點為，則易知為的中位線，所以.
聯(lián)立，得，，
不妨設(shè)，則，
四邊形面積為
,
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，所以四邊形面積的最小值為.
20. 世界上有許多由旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ構(gòu)成的物體，呈現(xiàn)出各種美．譬如紙飛機、蝴蝶的翅膀等．在中，．將繞著旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖所示．
(1)求證：；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求平面和平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】(1)做輔助線，先證明線面垂直，利用線面垂直證明線線垂直；
(2)根據(jù)三棱錐的體積最大，確定平面的垂直關(guān)系，利用空間向量求解平面的夾角.
【小問1詳解】
取的中點，連接，
由題意可知，所以；
因為平面，所以平面；
因為平面，所以.
【小問2詳解】
由題意可知三棱錐的體積最大時，平面平面；
在平面內(nèi)作出，且與的延長線交于點，連接；
因為平面平面，平面平面，，
所以平面；根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特點可知，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，所以；
；
，
設(shè)平面的一個法向量為，則，，
令，則；
易知平面的一個法向量為,
設(shè)平面和平面的夾角為，則.
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
21. 甲、乙兩大超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額均為1千萬元，由于管理經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為千萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多千萬元．
(1)分別求甲、乙超市第n年銷售額表達式；
(2)若其中一家超市的年銷售額不足另一家超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾年？
【答案】(1)甲超市第n年銷售額為，乙超市第n年銷售額為
(2)乙超市將被甲超市收購，至少第6年
【解析】
【分析】(1)設(shè)甲、乙超市第年銷售額分別為千萬元、千萬元，利用即可求出，利用累加法求出即可；
(2)先解釋甲超市不可能被乙超市收購，然后利用得到，通過得到，代入具體的值即可
【小問1詳解】
設(shè)甲、乙超市第年銷售額分別為千萬元、千萬元，
假設(shè)甲超市前年總銷售額為，則，
當(dāng)時，，
易得不滿足上式，故；
時，，
故，
顯然也適合，故；
【小問2詳解】
甲超市不可能被乙超市收購，乙超市將被甲超市收購，理由如下：
①因為，，當(dāng)時，，
所以甲超市不可能被乙超市收購；
②設(shè)即，即，
設(shè)，
令
即，解得，所以
，
，
所以，解得，
綜上，至少第6年時乙超市將被甲超市收購
22. 已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求E的方程；
(2)過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交E于A，B兩點，交E于C，D兩點，的中點分別為M，N．探究：與的面積之比是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為定值，定值為2，理由見解析
【解析】
【分析】(1)由題意可得寫出關(guān)于的等式，即可求出E的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓進行聯(lián)立可得，同理可得可得到直線過定點，然后利用面積公式即可
【小問1詳解】
由題意可得，解得，
則E的方程
【小問2詳解】
與面積之比為定值，定值為2，理由如下：
設(shè)直線()，
聯(lián)立可得，，
則
所以
所以，
設(shè)，同理可得
所以，
所以直線即
所以恒過定點，
設(shè)點到直線的距離分別是
則
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，必要時計算；
(3)列出韋達定理；
(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式；
(5)代入韋達定理求解.

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福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)：

這是一份福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)，共27頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份福建省廈門市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題，共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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