南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三寒假模擬測試數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共19題，滿分150分，考試時間120分鐘
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息
2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，則的元素個數(shù)為（）
A．B．C．D．
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）的過程中，從到時，比共增加了（）
A．1項B．項C．項D．項
3．已知函數(shù)，若a，b都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，則使得成立的概率是（）
A．B．C．D．
4．已知正三棱臺的上，下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為4，以下底面頂點為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（）
A．B．C．D．
5．設(shè)，則（）
A．B．
C．D．
6．17到19世紀間，數(shù)學(xué)家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復(fù)進行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當足夠大時，逼近實數(shù)．數(shù)列的前2024項中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）
A．1007B．1009C．2014D．2018
7．如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（）

A．2B．
C．D．4
8．若橢圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過上任意一點P作直線交于M，N兩點，且，則的面積最大時，的值為（）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分.
9．已知當時，，則（）
A．B．
C．D．
10．已知橢圓上有一點P，分別為左?右焦點，的面積為S，則下列選項正確的是（）
A．若，則
B．若，則
C．若為鈍角三角形，則
D．橢圓C內(nèi)接矩形的周長范圍是
11．在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列四個命題，正確的是（）
A．對任意三點，都有；
B．已知點和直線，則；
C．到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.
D．定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，則．
13．已知集合，則的非空子集的個數(shù)是．
14．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為．

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15．（13分）已知函數(shù)
(1)解關(guān)于x的不等式：；
(2)若（），求的最小值．
16．（15分）設(shè)的第項系數(shù)為．
(1)求的最大值．
(2)若表示的整數(shù)部分，，求的值．
17．（15分）已知橢圓的短軸長為，右頂點到右焦點的距離為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖所示，設(shè)點是橢圓的右頂點.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，且都在軸的上方.在軸上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
18．（17分）如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，，，．

(1)當點為線段的中點時，求證：；
(2)當點在線段上時（包含端點），求平面和平面的夾角的余弦值的取值范圍．
19．（17分）在平面直角坐標系中，若在曲線的方程中，以（為非零的正實數(shù)）代替得到曲線的方程，則稱曲線、關(guān)于原點“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，稱為伸縮比.
（1）已知的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點“伸縮變換”所得曲線的方程；
（2）射線的方程（），如果橢圓：經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線與橢圓、分別交于兩點?，且，求橢圓的方程；
（3）對拋物線：，作變換，得拋物線：；對作變換得拋物線：，如此進行下去，對拋物線：作變換，得：若，，求數(shù)列的通項公式.
備選題：20．某款游戲預(yù)推出一項皮膚抽卡活動，玩家每次抽卡需要花費10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒有保底機制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進行抽卡，首次抽中新皮膚時的累計花費為X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求；
(3)若，根據(jù)花費的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．（參考數(shù)據(jù)：．）