TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27074" ①雙曲線的弦長問題 PAGEREF _Tc27074 \h 1
\l "_Tc22081" ②雙曲線的中點(diǎn)弦問題 PAGEREF _Tc22081 \h 4
\l "_Tc29044" ③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題 PAGEREF _Tc29044 \h 9
\l "_Tc10489" ④雙曲線中的最值問題 PAGEREF _Tc10489 \h 14
\l "_Tc9602" ⑤雙曲線中面積問題 PAGEREF _Tc9602 \h 21
\l "_Tc19273" ⑥雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題 PAGEREF _Tc19273 \h 29
\l "_Tc14778" ⑦雙曲線中向量問題 PAGEREF _Tc14778 \h 39
\l "_Tc31049" ⑧雙曲線綜合問題 PAGEREF _Tc31049 \h 43
①雙曲線的弦長問題
1．（2023秋·山東青島·高二?？计谀┮阎p曲線．請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點(diǎn)相同．
(1)求C的方程；
(2)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）選①②，可得，，解得，所以C的方程為；
選①③，可得，，解得，所以C的方程為；
選②③，可得，，解得，，所以C的方程為；
（2）設(shè)，，聯(lián)立，消掉y，整理得，
所以，因?yàn)椋?br>所以．
2．（2023秋·廣西柳州·高二校考期末）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長|AB|的值．
【答案】(1)
(2)24
【詳解】（1）若焦點(diǎn)F（c，0），其到漸近線的距離，
又因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得a＝2，所以雙曲線C的方程為；
（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l方程為：
設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立，
得，
所以，，
從而.
所以弦長|AB|的值為24．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（，0）．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝x+2與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|．
【答案】(1)y2＝1
(2)2
【詳解】（1）由已知得a，c＝2，
再由c2＝a2+b2，得b2＝1，
所以雙曲線C的方程為y2＝1．
（2）由直線與雙曲線聯(lián)立得2x2+12x+15＝0，
解得x＝﹣3±,
,
∴|AB|2．
4．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.
得，且，又，
解得,
所以，
所以雙曲線方程為.
（2）由（1）可知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，
設(shè)，
由，得，
所以，
所以.

②雙曲線的中點(diǎn)弦問題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是3.
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)過點(diǎn)能否作一條直線m與軌跡C交于兩點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)，
∵，，
∴，整理得
即點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）若能作出直線m，則直線m的斜率存在，設(shè)為k，設(shè)
則，兩式相減得
整理可
∵N是線段的中點(diǎn)，即，
故直線m的方程為，即，
將直線方程代入雙曲線方程可得
，此時(shí)直線與雙曲線不相交．
故不能作出這樣的直線m．
2．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)不存在這樣的直線
【詳解】（1）由中垂線性質(zhì)知，
所以
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線
設(shè)此雙曲線方程為，則
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)可得
兩式相減得
由題意，所以
直線方程為，
由，得
∵．∴不存在這樣的直線．
3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長為，其一條漸近線斜率為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)樵撾p曲線的實(shí)軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，
因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）解：假定直線存在，設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為、，
則有，．

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知．由點(diǎn)、在雙曲線上，
得，，
兩式相減得，
所以，所以，
即以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率，
故直線的方程為，即．
聯(lián)立，消去得，
，
因此直線與雙曲線無交點(diǎn)，故滿足條件的直線不存在．
4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點(diǎn)的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為4，請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件，并完成后面問題：
①該曲線經(jīng)過點(diǎn)；
②該曲線的漸近線與圓相切；
③點(diǎn)在該雙曲線上，，為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，以，為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過定點(diǎn)能否作直線，使與此雙曲線相交于兩點(diǎn)，且是弦的中點(diǎn)?若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
選①，由題意可知，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，
由雙曲線的定義可得，故，
則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選②，因?yàn)閳A的方程為，圓心為，半徑為，
雙曲線的漸近線方程為，
由題意可得，解得，即，
因?yàn)?，則，
因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選③，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過點(diǎn)，所以，

由勾股定理可得，則，
所以，
從而，則，
故，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè)點(diǎn)，，

則，由題意可得，
兩式作差并化簡得，
所以直線的斜率為，
從而直線的方程為，即，
聯(lián)立，整理可得，
易得，因此直線不存在.
5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直線l，經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線為，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以，
又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，
又，所以，，所以雙曲線方程為
（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè)，，直線的斜率為，則，，
所以，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，
所以直線的方程為.
③雙曲線中的參數(shù)及范圍問題
1．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線：的離心率為；
(1)求此雙曲線的漸近線方程；
(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，，求線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）雙曲線的離心率為．，可得，所以．
可得雙曲線．
可得雙曲線的漸近線方程為：．
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，，，，，
聯(lián)立方程組，消去得：，
，解得．
的中點(diǎn)為，
線段的中垂線方程為：，
令得截距．
即線段的中垂線在軸上截距的取值范圍是．
2．（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c(diǎn)分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線第一象限部分交于點(diǎn)，的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，記，的面積分別為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知，所以，，
由已知，可得，
則，
解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，
聯(lián)立，整理可得
所以，解得，
由，可得，
，
原點(diǎn)到直線的距離，
所以
設(shè)，，易知漸近線方程為，
不妨設(shè)在漸近線上，
由得，同理，
所以，
到直線的距離，
所以
所以，
，則
令，則
故的取值范圍是
3．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若的面積為．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】解：（1）因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，
所以，設(shè)雙曲線的焦距為2c，，
故，即．
因?yàn)锽C過右焦點(diǎn)F，且垂直于x軸，
將代入，可得，故．
將的面積為，
所以，即，
所以，，故雙曲線E的方程為．
（2）依題意，直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程組消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
聯(lián)立方程組得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎獧E圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距為的雙曲線，設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，求證為一定值；
（3）設(shè)△與△（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）.
【詳解】（1）由橢圓方程可得：，，即雙曲線中，
又雙曲線焦距為
曲線的方程為：
（2）由題意可知，直線斜率存在，則可設(shè)
聯(lián)立得：
，
橢圓與直線聯(lián)立得：可得：
，即為定值
（3）由（2）可設(shè)，
則，
又點(diǎn)在雙曲線上 ，解得：
又位于第一象限
，
令
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，
的取值范圍為
④雙曲線中的最值問題
1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)在軸上是否存在一點(diǎn),使得,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)求點(diǎn)的坐標(biāo),使得的面積最小.
【答案】(1)
(2)存在或
(3)的坐標(biāo)是或或或
【詳解】（1）由已知得,解得,所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè),如圖:

根據(jù)題意得:,令得,
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,所以,
則,令得,
因?yàn)?平方可得,
因?yàn)?
則,
因?yàn)?所以,
則,即,
所以存在或滿足條件;
（3）如圖:

因?yàn)?
由（2）知,即,代入上式得:
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí),
所以的坐標(biāo)是或或或時(shí),的面積最小.
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，虛軸長為，兩準(zhǔn)線間的距離為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，已知，設(shè)點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：依題意可得，解得，所以雙曲線方程為
（2）解：由（1）可知，依題意可知，設(shè)，，，，則有，，所以，，所以，，
作差得，又的方程為，所以過定點(diǎn)，所以，即的最大值為；
3．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．

（1）求雙曲線的方程
（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）24.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>所以雙曲線的方程為，即．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以．
所以所求雙曲線的方程為．
設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
設(shè)，
則，
所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值24．
4．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校?已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）
由雙曲線定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支
，，
的方程為：
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為：
此時(shí)，
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：
代入雙曲線方程可得：
可知上式有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根
解得：
由得：
綜上所述，的最小值為
5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點(diǎn)，且∠RAS＝60°.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點(diǎn)M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)N，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，
所以點(diǎn)A到漸近線的距離為
所以，解得，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：
（2）方法①：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可知點(diǎn)Q處的切線即為的角平分線.
設(shè)點(diǎn)，，則
設(shè)直線的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直線：，
即：
由點(diǎn)到直線的距離公式得：
直線方程：，即：
由，得：
所以，由都在雙曲線右支上，得：
所以
所以
所以，令，則
當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.
方法②：如圖，由題意知點(diǎn)Q在雙曲線左支上，設(shè)，則.
易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，
記，又為的平分線，則.
因?yàn)?，，所以?br>同理，又，
代入，得，
化簡得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直線的方程為，，
由點(diǎn)到直線的距離公式得：，
又直線MN的斜率為，且過點(diǎn)M，所以直線的方程為：
，
將其與聯(lián)立得.
設(shè)，則，.
易知點(diǎn)N在第四象限，所以，得：，
.
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

⑤雙曲線中面積問題
1．（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其右支上一點(diǎn)，在處作雙曲線的切線.
(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；
(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，求和的面積之積的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）解：由題意點(diǎn)處的切線為，
所以過點(diǎn)處的切線方程為，
交軸于點(diǎn)，則，
即，所以為的角平分線；
（2）過的切線，
當(dāng)時(shí)，即不為右頂點(diǎn)時(shí)，，
即，
（或由直線與單支有兩個(gè)交點(diǎn)，則也可）
聯(lián)立
設(shè)，則
所以
又
所以，
，
當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為右頂點(diǎn)時(shí)，，
所以，
所以的最小值為.
2．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，點(diǎn)在上，直線交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與直線AC的斜率之和為0．
(1)求直線的斜率；
(2)若M為雙曲線E上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P，Q，求△MPQ的面積．
【答案】(1)6
(2)4
【詳解】（1）如圖，
雙曲線的漸近線方程為，代入點(diǎn)的，
又點(diǎn)在雙曲線上，即，聯(lián)立解得，
故雙曲線的方程為．
設(shè)點(diǎn)，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，
所以設(shè)直線AB的方程為，即，
代入雙曲線的方程得，
所以，則，
所以
由直線AB與AC斜率之和為0，可設(shè)AC的方程為：
同理可得
所以，所以直線l的斜率為6．
（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，過M作漸近線的平行線分別為，
由（1）知，雙曲線E的漸近線方程為，故可設(shè)的方程分別為，．
聯(lián)立解得
所以
同理可得
又由，得，所以
，又點(diǎn)M在雙曲線E上，則，
所以，即
故△MPQ的面積為4．
3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）P是雙曲線右支上一點(diǎn)，A，B是雙曲線的左右頂點(diǎn)，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點(diǎn)為Q，PA與BQ的交點(diǎn)為C．
(1)記P，Q的縱坐標(biāo)分別為，求的值；
(2)記的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【詳解】（1）由已知條件得：，設(shè)PA，PB的斜率分別為，
則QA，QB的斜率分別為，
由即有．
由即有
而，
．
（2）由于，
顯然P，Q，B，A四點(diǎn)共圓，
PO為直徑，PQ中點(diǎn)為圓心，
又
則，
①，又 ②，
得：，解得．
由，，而．
．
因?yàn)?，根?jù)單調(diào)性，求得
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，且C的離心率為．
(1)求C的方程；
(2)直線交C的左支于P，Q兩點(diǎn)，且直線AP，AQ的斜率之和為0，若，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，解得
所以雙曲線的方程為．
（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為，，
因?yàn)椋?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以，
即，解得或（舍），
所以直線，
直線．
在直線中，令，得，
所以，
同理得，
所以，
所以的面積為．
5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.
【答案】(1)（）
(2)
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).
， ，
動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，
∵四邊形的面積為8，∴，即 ，
所以所求軌跡C方程為（）.
（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，
，，在曲線C上，過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，
則或，同時(shí)或，解得或.
，解得或（舍去）.
時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得.
直線的方程為，
聯(lián)立，消y得：，則或，得，
，
點(diǎn)Q到直線的距離 ，
.
方法二： ，
，
，則，
.
⑥雙曲線中定點(diǎn)、定值、定直線問題
1．（2023秋·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓分別交于，兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；
(3)證明：直線過定點(diǎn).
【答案】(1)
(2)
(3)直線過定點(diǎn),證明見解析.
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，整理得，
若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，
此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，所以，
所以
，
，
因?yàn)?所以
，所以.
（3）（i）當(dāng)軸時(shí)，且，
所以，則，
聯(lián)立，整理得，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以，
由于對(duì)稱性，，此時(shí)直線過定點(diǎn)；
（ii）當(dāng)不垂直于軸時(shí)，以下證明直線仍過定點(diǎn)設(shè)為，
因?yàn)?，所以?lián)立，
即，所以，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
所以,
同理，將上述過程中替換為可得，
所以，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以三點(diǎn)共線，即此時(shí)直線恒過定點(diǎn)，
綜上直線過定點(diǎn).
2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，
將代入C的方程有，，
所以M，N到直線的距離之和為，
所以，C的方程為.
（2）
方法1：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，
且由雙曲的定義可知，故.
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由雙曲線的定義可知，，
故.
設(shè)，代入C的方程有：，
設(shè)，，則，，
所以，
所以.
綜上，的值為6.
方法2：當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由（1）可知，，
且由雙曲的定義可知，
故.
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，
代入C的方程有：.
設(shè)，，則，，
所以.
綜上，的值為6.
3．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．
(1)點(diǎn)，為的左右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于，的點(diǎn)，求的值；
(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【答案】(1);
(2)證明見解析.
【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得，
所以雙曲線，則．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
所以，
所以的值為．
（2）證明：依題意，直線的斜率存在，
故設(shè)其方程為，設(shè)，
聯(lián)立，消得，
顯然，否則不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)橹本€的斜率之積為，
所以，
所以，
即，
所以有，
將韋達(dá)定理代入化簡得，
而當(dāng)，此時(shí)直線為，
易知恒過定點(diǎn)，故舍去，
所以，此時(shí)滿足且直線過定點(diǎn)，（如圖所示）

又因?yàn)闉榇棺?，所以為直角三角形，為直角?br>所以當(dāng)點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)時(shí)，為定值．
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【詳解】（1）設(shè)，
由可得，又，
，
又焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，解得：．
所以雙曲線的方程：.
（2）設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，
，
，直線，則直線在軸上的截距為，
直線，則直線在軸上的截距為，
由題得：，又，
所以．
所以，則，
，
，
，化簡得：或．
若，直線過頂點(diǎn)，舍去．．
則直線的方程為，
所以直線過定點(diǎn)．
5．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求Γ的方程；
(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．
【答案】(1)；
(2)詳見解析.
【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為，
所以，解得，
所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)直線MN的方程為，
由，可得，則
，，
設(shè)，，，，，
所以，
直線：，：，
聯(lián)立兩方程，可得：
，
解得，
當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，則，
：，：，聯(lián)立可得，
綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線上.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；
(3)設(shè)是直線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)是否在一條直線上？請(qǐng)說明你的理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線，理由見解析
【詳解】（1）由題意得：，，.
解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）方法1：設(shè)，則
依題意有解得，
所以直線的方程為或.
方法2：設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：
.
當(dāng)時(shí)
設(shè)，，得，.
又因?yàn)?，所以，，解?
此時(shí)，所以直線MN的方程為或.
（3）方法1：設(shè)，，
直線PM的方程為，直線ON的方程，
聯(lián)立兩方程，可得①
結(jié)合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.
方法2設(shè)直線MN的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立得：
.
設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系，得
，.
：，：，聯(lián)立兩方程，可得：
，
解得
所以直線PM與QN的交點(diǎn)在定直線上.
⑦雙曲線中向量問題
1．（2023秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點(diǎn)，則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.

2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C過點(diǎn)，且有一條傾斜角為的漸近線.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)F為雙曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的右支上，點(diǎn)Q滿足，直線交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為，
則由題意可得，，且， 解得，
則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）雙曲線的方程為，所以的右焦點(diǎn)，
點(diǎn)Q滿足，則P為OQ的中點(diǎn)，設(shè)，則，

若直線AB的斜率不存在，則其方程為，
此時(shí)，m＝1，Q與F重合，不合題意；
若直線AB的斜率存在，設(shè)，m≠1，
∵，∴，∴，
∵點(diǎn)P在雙曲線C上，∴，∴，即，
聯(lián)立消去得．
所以，
設(shè)，則，
∵，∴，
∴，
∴，即
∴，
解得，，符合題意，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，
所以到的一條漸近線的距離為，所以，
又，解得，所以的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易得，或，，
所以；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
綜上，．
4．（2023春·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過，兩點(diǎn)．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P﹐滿足，求實(shí)數(shù)t的值．
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）由已知可得，，解得，
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，.
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，
整理可得.
由韋達(dá)定理可得，所以.
所以，.
則由可得，，解得，即.
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以有，整理可得，解得.
⑧雙曲線綜合問題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線上的兩個(gè)點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．的兩條漸近線互相垂直．
(1)求的方程；
(2)設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，，因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，
可得，所以雙曲線方程為；
（2）設(shè)，則，
所以，，
設(shè)，所以，
所以；
設(shè)，，
所以；
令，
所以，則時(shí)，單調(diào)遞增；
時(shí)，單調(diào)遞減；
所以，即時(shí)，取最小值為．

2．（2023秋·遼寧阜新·高三阜新市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

(1)求雙曲線E的離心率；
(2)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為和，所以，故，解得，從而雙曲線E的離心率.
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為.
設(shè)直線與x軸相交于點(diǎn)C，
當(dāng)軸時(shí)，若直線與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，又因?yàn)榈拿娣e為8，所以，此時(shí)雙曲線E的方程為.
若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為.
以下證明:當(dāng)直線不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：也滿足條件.
設(shè)直線的方程為，依題意，得或，則，記.
由，得，同理得.
由得，即.
由得， .因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
因此，存在總與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為.

3．（2023秋·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)M.
(1)若點(diǎn)在直線l上，求直線l的方程；
(2)過點(diǎn)M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點(diǎn).是否存在定點(diǎn)G，H，使得M在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)使得為定值.
【答案】(1)
(2)存在定點(diǎn)，，使得當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值13
【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，則有，

聯(lián)立，則，
由，則，可得，
所以：，解得，
當(dāng)時(shí)，；所以直線l的方程：
（2）聯(lián)立，則，
因?yàn)?，M是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，
所以，化簡得，
解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即為，
于是，過點(diǎn)M且與l垂直的直線為，

可得，，，即，，
于是，
即P的軌跡方程為：，由雙曲線的定義可知，
存在定點(diǎn)，，使得當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值13.
4．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，若C上的點(diǎn)M滿足恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若過點(diǎn)M的直線l與C的兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且.
（i）證明：l與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（ii）求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析（ii）
【詳解】（1）由雙曲線定義可知，∴，
又由，∴，
∵，∴，
∴雙曲線C的方程為.
（2）（i）設(shè)，，，
雙曲線的漸近線方程為①，②，
將①＋②可得，將①－②可得，
由于且，相減可得，
∴，即，
由題可知，∴，，
∴，即，
∴直線PQ的方程為，即，
又∵點(diǎn)M在C上，∴，則，
將方程聯(lián)立，得，
∴，由可知方程有且僅有一個(gè)解，
∴l(xiāng)與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn).
（ii）由（2）（i）聯(lián)立，可得，同理可得，
∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).
又∵，
∴的取值范圍為.

5．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）過雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且．
(1)求雙曲線的方程．
(2)已知點(diǎn)，兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線上，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，且，試問是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；，為定值
【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，雙曲線上一點(diǎn)到漸近線距離之積為，
由題知，．
因?yàn)?，所以，故雙曲線的方程為．
（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組整理得，
則，，，，
直線的方程為，
令，則，得，同理得，
由，可得，所以，
所以
，
整理得．
當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，
與矛盾，舍去；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，恒過點(diǎn)，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，為定值?br>故存在，使為定值．

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