一、選擇題
1．二項式的展開式中常數(shù)項為( )
A.4B.8C.16D.32
2．歐拉公式(e是自然對數(shù)的底數(shù),i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.已知,則( )
A.1B.C.2D.
3．已知非零向量,滿足,且,則與夾角為( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),則實數(shù)a的值是( )
A.1B.C.2D.
5．已知數(shù)列是以為首項,q為公比的等比數(shù)列,則“”是“是單調(diào)遞減數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．若曲線在處的切線與曲線也相切,則( )
A.B.1C.D.2
7．已知點P是直線上一動點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則的最小值為( )
A.0B.1C.D.2
8．已知雙曲線的左,右焦點分別為,,O為原點,以為直徑的圓與雙曲線交于點P,且,則雙曲線C的離心率為( )
A.2B.3C.4D.5
二、多項選擇題
9．進入冬季哈爾濱旅游火爆全網(wǎng),下圖是2024年1月1日到1月7日哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數(shù)的折線圖,則( )
A.中央大街日旅游人數(shù)的極差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人數(shù)的中位數(shù)是2.3
C.冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街大
10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示,則( )
A.
B.是圖象的一條對稱軸
C.在上有兩個不相等的解,則
D.已知函數(shù),當(dāng)取最大值時,
11．在長方體中,,,E為的中點,點P滿足,則( )
A.若M為的中點,則三棱錐體積為定值
B.存在點P使得
C.當(dāng)時,平面PBC截長方體所得截面的面積為
D.若Q為長方體外接球上一點,,則的最小值為
三、填空題
12．從2,3,4,5,6,7,8中任取兩個不同的數(shù),事件A為“取到的兩個數(shù)的和為偶數(shù)”,事件B為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”,則________.
13．已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知,,則外接圓的半徑為________.
14．已知函數(shù),若不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為________.
四、解答題
15．已知數(shù)列滿足,.
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）,求數(shù)列的前項和.
16．甲,乙兩人進行乒乓球比賽,比賽采用五局三勝制(一方先勝三局即獲勝,比賽結(jié)束),每一局比賽中兩人都要決出勝負(fù),不出現(xiàn)平局,且甲獲勝的概率為.
（1）若,求甲以獲勝的概率;
（2）若,求比賽結(jié)束時,比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
17．已知四棱錐,平面ABCD,四邊形ABCD為梯形,,,.
（1）證明:平面平面PAC;
（2）平面PAB與平面PCD的交線為l,求直線l與平面PCB夾角的正弦值.
18．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;
（2）設(shè)函數(shù).
(i)求的值;
(ii)證明:存在實數(shù),使得曲線關(guān)于直線對稱.
19．已知拋物線,A,B,C是W上不同的三點,過三點的三條切線分別兩兩交于點,,,則稱三角形為拋物線的外切三角形.
（1）當(dāng)點的坐標(biāo)為,B為坐標(biāo)原點,且時,求點的坐標(biāo);
（2）設(shè)外切三角形的垂心為H,試判斷H是否在定直線上,若是,求出該定直線;若不是,請說明理由;
（3）證明:三角形ABC與外切三角形的面積之比為定值.
參考答案
1．答案：C
解析：展開式的通項為,
令得,所以展開式中常數(shù)項為.
2．答案：A
解析：由歐拉公式可得,
所以,
故選:A.
3．答案：C
解析：由題意,,,
所以,
所以,
解得,
所以,
又因為,
所以.
4．答案：B
解析：
5．答案：B
解析：若,則或,即或,
當(dāng)或時,數(shù)列為遞減數(shù)列,
當(dāng)時,數(shù)列不是遞減數(shù)列,
所以是數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列不充分條件;若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,
則或即,
所以是數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的必要條件,
故選B.
6．答案：D
解析：對求導(dǎo),得到,當(dāng)時,,處的切線方程為.對求導(dǎo),得到,當(dāng)時,得,
所以切點坐標(biāo)為將切點坐標(biāo)代入切線方程中,有,解得.故答案為:D
7．答案：A
解析：
8．答案：D
解析：如圖所示
不妨設(shè)點P位于第一象限,由雙曲線的定義知:,
因為,
所以,
由,得,
整理得,
解得,
所以或(舍去),
因為,
所以,
所以,
代入,得,,
由,得,
整理得,
因為,,
所以,
所以雙曲線C的離心率為.
9．答案：BC
解析：對于A,根據(jù)所給折線圖可以看出中央大街日旅游人數(shù)的最大值為2.8萬人,最小值為0.9萬人,所以極差為萬人,故A錯誤;
對于B,從圖中可以看出,冰雪大世界日旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)按照從小到大可排列為1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9中位數(shù)為2.3,所以B正確;
對于C,冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)為萬,
中央大街日旅游人數(shù)的平均數(shù)為萬,所以冰雪大世界日旅游人數(shù)的平均數(shù)比中央大街大,故C正確;
對于D,冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差為
中央大街日旅游人數(shù)的方差為,
所以冰雪大世界日旅游人數(shù)的方差比中央大街小,故D錯誤.
10．答案：ABD
解析：對于A,由圖中可知:半個周期為:,所以,解得,故A正確;
對于B,因為,是函數(shù)的兩個交點,所以,,
則,
,解得:,
所以函數(shù)的對稱軸滿足:,,
即,,故B正確;
對于C,原方程可化為:,
因為,所以存在,當(dāng)時均只有一個交點,故C錯誤.
對于D,由題意得:,可化為,其中,當(dāng)取最大值時,
所以,故D正確.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：/
解析：,
,
,
,,
由余弦定理得,
為三角形內(nèi)角,
,
由正弦定理得(R為外接圓半徑)
,
故答案為:.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
即,,時,,
等式兩端相加項和,
即
時,也符合此通項,故
（2）,
故.
16．答案：（1）
（2）分布列見解析,
解析：（1）當(dāng)時,甲以獲勝的概率為.
（2）由題意可知,X的所有可能取值為3,4,5,
則,
,,
所以X的分布列為x,3,4,5,P,,,,
所以.
17．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,
又,,,
在中,,
,
（2）,平面PAB
在PAM中,,,則,
在,,,,
,
,
平面PCB夾角正弦為:
18．答案：（1）答案見解析
（2）(i)0;
(ii)證明見解析
解析：（1）,單綢性用專數(shù).
.①設(shè).
則在小于0,在大于0
在單朋成,在單調(diào)增.
②,,在單調(diào)減.
（2）,
(i),
,
,
(ii)證明,使關(guān)于對稱.
即證明,使(對特的結(jié)論)
由(i),可猜測.即,
,
即關(guān)于對稱.
19．答案：（1）
（2）是,
（3）2
解析：（1）由題意得,求導(dǎo)得,則切線方程為,為切線與y軸交點,則.
（2）同理可得:切線的3程:.聯(lián)立得同理由可知:.
同理:,兩式相減得:
（3）由切線,以及（2）中的坐標(biāo)可得:
故與面積之比為定值2.

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