命題人：張睿達(dá)審題人：張睿達(dá)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考室和座位號(hào)；
2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；
3．答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題題號(hào)后面的答題提示；
4．請(qǐng)注意卷面，保持字體工整、筆跡清晰、卷面清潔；
5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；
6．在本試卷中，；
7．本試卷時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分120+10分．
培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才是深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略的重要舉措，是推進(jìn)高等教育高質(zhì)量發(fā)展的題中之義，也是實(shí)現(xiàn)中國(guó)式現(xiàn)代化的重要支撐．為此，湖南師大附中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)?！扒笾薄八急妗薄皠?chuàng)新”組開(kāi)展了“走進(jìn)”“沉思”“感悟”系列主題活動(dòng)，邀請(qǐng)你來(lái)參加．
Ⅰ選擇題
“求知”組展開(kāi)“走進(jìn)”活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)的魅力．（單選題，每題3分，共10題，30分）
【走進(jìn)書(shū)畫(huà)之美】2023年10月23日，湖南師大附中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部在至勤樓舉辦了“觀書(shū)畫(huà)之美，品文化之姿”書(shū)法優(yōu)秀作品展覽，下面（第一題圖）是初二同學(xué)小雙臨摹的著名書(shū)法家鄧石如的《弟子職》的部分圖片，閱讀材料一，二，回答1，2小題．
資料一：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x（橫坐標(biāo)）與y（縱坐標(biāo)），并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有一個(gè)確定的值與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)．由函數(shù)的定義，我們可以通過(guò)“描點(diǎn)法”在平面直角坐標(biāo)系上大體繪制出函數(shù)的圖像．
資料二：對(duì)稱(chēng)軸是指使幾何圖形成軸對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的直線．由定義，我們可以解決關(guān)于兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，例如：函數(shù)與函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是．
1．下面哪個(gè)函數(shù)的圖像與此字（第一題圖）最為相似的是（ ）
您看到的資料都源自我們平臺(tái)，20多萬(wàn)份試卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比價(jià)最高A．B．C．D．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是（ ）
A．B．C．D．
【走進(jìn)集合之美】2023年11月27日，湖南師大附中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)老師蘇老師為學(xué)生們帶來(lái)了“探集合之美，感數(shù)學(xué)之奇”系列數(shù)學(xué)活動(dòng)．閱讀資料一，二，回答3，4小題．
資料一：
資料二：
3．對(duì)于集合，我們把稱(chēng)為它的長(zhǎng)度．設(shè)集合，，且都是的子集，則的長(zhǎng)度的最小值是（ ）
A．2024B．983C．981D．2023
4．對(duì)于集合中的最大元素和最小元素分別為，則的值為（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
【走進(jìn)垂直之美】垂直是平面幾何中不可分割的一環(huán)，據(jù)此，回答5，6小題．
5．在正方形與正方形中，且，若正方形的邊長(zhǎng)為2024，則正方形的邊長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．2024
6．如圖，在四邊形中，，若，則三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【走進(jìn)物理之美】雙語(yǔ)物理社團(tuán)于2023年11月26日開(kāi)展“走進(jìn)物理”活動(dòng)，下面是該社團(tuán)海報(bào)的一部分，據(jù)此，回答7小題．
7．有兩種溶液甲和乙，其中，將溶液甲和乙分別按照質(zhì)量和配制出丙溶液和丁溶液，滿(mǎn)足，若，則用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【走進(jìn)命題之美】宋代王禹偁在《贈(zèng)別鮑秀才序》中寫(xiě)道：“公出文數(shù)十章，即進(jìn)士鮑生之作也。命題立意，殆非常人。”其中的“命題”不同于現(xiàn)在數(shù)學(xué)中的“命題”二字，在平面幾何中，對(duì)于每一個(gè)幾何構(gòu)型，都能產(chǎn)生非常多的命題，據(jù)此，回答8，9小題．
8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，以為邊作平行四邊形，以為邊作平行四邊形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：
①；
②；
③；
④的最大值為；
⑤的最小值為．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④⑤
9．已知：如圖，在中，，點(diǎn)三點(diǎn)在同一條直線上，連接，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：
①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【走進(jìn)數(shù)論之美】數(shù)論，或者一些人稱(chēng)之為的算數(shù)，是最古老，最有魅力，最初等卻也是最深?yuàn)W的數(shù)學(xué)領(lǐng)域．這門(mén)學(xué)科有“數(shù)學(xué)皇后”的名聲絕非偶然．一些最為復(fù)雜的傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想便是由對(duì)數(shù)論的基本問(wèn)題的研究發(fā)展起來(lái)的．閱讀材料一，回答10小題．
材料一：設(shè)為正整數(shù)，若整數(shù)和被除的余數(shù)相同，則稱(chēng)和對(duì)模同余，記作．
10．在的所有正整數(shù)中，使得和被5除的余數(shù)相同的整數(shù)共有（ ）個(gè)
A．400B．401C．402D．403
Ⅱ填空題
“思辨”組展開(kāi)“沉思”活動(dòng)，體悟數(shù)學(xué)的真理．（填空題，每題3分，共6題，18分）
【沉思代數(shù)】代數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的基本功．據(jù)此，回答11，12，13小題．
11．因式分解：______．
12．我們定義：邊形為，其內(nèi)角和為，則的值為_(kāi)_____．（不要求求出具體結(jié)果，答案需為一個(gè)簡(jiǎn)單多項(xiàng)式）
13．方程組的解為_(kāi)_____．
【沉思幾何】平面幾何是數(shù)學(xué)的瑰寶，對(duì)提升人的思維能力有巨大幫助，據(jù)此，回答14，15，16小題．
14．在等腰直角三角形中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，滿(mǎn)足，則的度數(shù)為_(kāi)_____．（本題圖未畫(huà)出）
15．如圖，為中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
16．如圖，在中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平分，且，在上取點(diǎn)上取點(diǎn)，使，連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
Ⅲ解答題
“創(chuàng)新”組展開(kāi)“感悟”活動(dòng)，感悟數(shù)學(xué)的真諦．（解答題，第17題6分，第18題9分，第19，20，21每小題8分，第22題8分，第23題10分，第24題15分，25題10分，共72+10分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，．
（1）證明：．
（2）證明：．
（3）若是實(shí)數(shù)，求的最小值．
19．在等腰直角三角形與等腰直角三角形中，為中點(diǎn)，是中點(diǎn)，與交于點(diǎn)在線段上，使得，試判斷線段與的關(guān)系，并給出證明．
20．在中，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在，的延長(zhǎng)線上，滿(mǎn)足于點(diǎn)，交于點(diǎn)于點(diǎn)，求證：．
21在中，是邊的中線，分別是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．
22．有一個(gè)工程，甲完成需規(guī)定時(shí)間多5天，乙完成需規(guī)定時(shí)間的一半多兩天，丙完成需規(guī)定時(shí)間的多1天，丁完成需規(guī)定時(shí)間的多天，戊完成需規(guī)定時(shí)間的一半多半天，己恰好在規(guī)定時(shí)間完成，且甲，乙，戊，已的工作效率之和恰等于丙，丁的工作效率之和．
問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足題意的規(guī)定時(shí)間（量綱：天）？如果有，求出具體數(shù)值，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．
23．閱讀材料一和材料二，回答下面小題．
材料一：一般地，如果，且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，我們將它記作．
材料二：設(shè)是關(guān)于正整數(shù)的一個(gè)命題（或性質(zhì)）．如果（a）當(dāng)時(shí)，成立；（b）由成立可以推出成立．那么，對(duì)每個(gè)正整數(shù)都成立．該方法被稱(chēng)作第一數(shù)學(xué)歸納法．
【小試牛刀】
（1）根據(jù)材料，回答下面兩個(gè)問(wèn)題．
①已知，則的值為_(kāi)_____．
②設(shè)為正整數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最大值為_(kāi)_____．
【規(guī)律探索】
（2）閱讀材料二，試證明平均值不等式：設(shè)是個(gè)正實(shí)數(shù)．則并確定等式成立的條件．
【能力提升】
（3）設(shè)，滿(mǎn)足．求證：
并確定等式成立的條件．
24．“60°角”模型在幾何中是一個(gè)重要的模型，據(jù)此，回答24題．
【方法歸納】
（1）如圖所示，在三角形中，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)交于點(diǎn)交于點(diǎn)是中點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求證：．
【拓展培優(yōu)】
（2）如圖，在凸四邊形中，為正三角形，分別為，的中點(diǎn)，的平分線交直線于點(diǎn)的中垂線交于點(diǎn)，求證：．
25．（選做）閱讀材料：
1．我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)．
2．若是平面上不重合的兩點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓和過(guò)兩點(diǎn)的圓交與兩點(diǎn)，則我們稱(chēng)為“圓錐曲線聯(lián)合”四邊形．
（1）如圖，若是“圓雉曲線聯(lián)合”四邊形，求證：．
（2）若是“圓雉曲線聯(lián)合”四邊形，證明：存在一個(gè)以旁心為圓心的圓，與四邊形的四邊都相切．
（3）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，分別為內(nèi)心，，，若四點(diǎn)共圓，求證：關(guān)于對(duì)稱(chēng)．【知識(shí)鞏固】一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合．我們通常用大寫(xiě)拉丁字母表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母表示集合中的元素．只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的，記作．
1．如果是集合中的元素，我們則讀作屬于，記作，反之，讀作不屬于，記作．
2．集合的表示方法：①列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{ }”括起來(lái)表示集合②描述法：一般地，設(shè)是一個(gè)集合，我們把集合中所有具有共同特征的的元素所組成的集合表示為．（注：為實(shí)數(shù)集）
3．子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，就稱(chēng)集合為集合的子集．
4．交集：一般地，由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，稱(chēng)為集合與集合的交集，記作．
【古老的力學(xué)】密度：某種物質(zhì)組成的物體的質(zhì)量與它的體積之比．
公式：，其中是質(zhì)量，是體積．
——附中雙語(yǔ)物理社團(tuán)

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