知識點(diǎn)01 平移的概念
平移的概念：
在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的 ，叫做圖形的平移變換，簡稱 。平移前后的點(diǎn)叫做 ，平移前后的角叫做 ，平移前后的邊叫做 。
平移的要素：
平移 與平移 為平移要素。
【即學(xué)即練1】
1．下列運(yùn)動屬于平移的是（ ）
A．蕩秋千的小朋友B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片
C．正在上升的電梯D．行駛的自行車后輪
【即學(xué)即練2】
2．下面的每組圖形中，平移左圖可以得到右圖的一組是（ ）
A．B．
C．D．
知識點(diǎn)02 平移的性質(zhì)
平移的性質(zhì)：
①平移前后圖形的形狀大小 。
②對應(yīng)角 ，對應(yīng)邊 。
③連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段 。
【即學(xué)即練1】
3．如圖，△ABC沿射線BC方向平移到△DEF（點(diǎn)E在線段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，則平移距離為（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．10cm
【即學(xué)即練2】
4．如圖，將△ABC沿AB方向平移后，到達(dá)△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
知識點(diǎn)03 平移的作圖
平移的作圖步驟：
①確定平移條件。即 與 。
②找出圖中的關(guān)鍵點(diǎn)按照平移條件進(jìn)行平移，得到平移前后的 。
③將平移后的對應(yīng)點(diǎn)按照原圖形進(jìn)行連接。
【即學(xué)即練1】
5．已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將△ABC向右平移3個單位長度得到△A1B1C1，△A1B1C1再向下平移6個單位長度得到△A2B2C2．
（圖中每個小方格邊長均為1個單位長度）．
在圖中畫出平移后的△A1B1C1以及△A2B2C2；
題型01 判斷生活中的平移現(xiàn)象
【典例1】在下列實(shí)例中，屬于平移過程的有（ ）
①時針運(yùn)行的過程；
②電梯上升的過程；
③地球自轉(zhuǎn)的過程；
④小汽車在平直的公路行駛．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式1】下列現(xiàn)象屬于平移的是（ ）
A．下雨天雨刮刮車玻璃
B．每天早上打開教室門
C．每天早上打開教室窗戶
D．蕩秋千
【變式2】2022年第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在中國舉辦，吉祥物“冰墩墩”深受大家喜愛，由圖1平移得到的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【變式3】下列各組圖形，可由一個圖形平移得到另一個圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
題型02 利用平移的性質(zhì)求線段長度和角度
【典例1】如圖，三角形ABC沿射線BC方向平移到三角形DEF（點(diǎn)E在線段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距離為（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．16cm
【變式1】如圖，將直角△ABC沿邊AC的方向平移到△DEF的位置，連結(jié)BE，若CD＝6，AF＝14，則BE的長為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【變式2】如圖，△ABC以每秒2cm的速度沿著射線BC向右平移，平移2秒后所得圖形是△DEF，如果AD＝2CE，那么BC的長是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【變式3】如圖，將周長為16個單位長度的△ABC沿BC方向向右平移3個單位長度，得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ）
A．20個單位長度B．22個單位長度
C．28個單位長度D．32個單位長度
【典例1】如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B＝97°，∠C＝40°，則∠GHC的度數(shù)為（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【變式1】如圖，∠1＝70°，∠2＝160°直線a平移后得到直線b，則∠3＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【變式2】如圖，點(diǎn)B，C在直線l上，直線l外有一點(diǎn)A，連接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是鈍角，將三角形ABC沿著直線l向右平移得到三角形A1B1C1，連接AB1，在平移過程中，當(dāng)∠AB1A1＝2∠CAB1時，∠CAB1的度數(shù)是（ ）
A．15°B．30°C．15°或45°D．30°或45°
題型03 利用平移求面積
【典例1】如圖，將Rt△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，平移距離為7，AB＝13，DO＝6，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．70B．48C．84D．96
【變式1】如圖，直徑為4cm的圓O1向右平移5cm得到圓O2，則圖中陰影部分面積為（ ）
A．20cm2B．10cm2C．25cm2D．16cm2
【變式2】如圖，三角形ABC的邊BC長為4cm，將三角形ABC向上平移2cm得到三角形A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
【變式3】如圖，長為50m，寬為30m的長方形地塊上，有縱橫交錯的幾條小路，寬均為1m，其它部分均種植草坪，則種植草坪的面積為（ ）
A．1344m2B．1421m2C．1431m2D．1341m2
【變式4】如圖在一塊長為12m，寬為6m的長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是2m），則空白部分表示的草地面積是（ ）
A．70m2B．60m2C．48m2D．18m2
題型04 平移作圖
【典例1】如圖，在邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無刻度的直尺畫圖．
（1）畫出△A′B′C′；
（2）直接寫出三角形ABC的面積．
【變式1】如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在每格為1個單位長度的格點(diǎn)上，請將△ABC先向下平移三個單位長度后再向右平移四個單位長度后得到△A1B1C1．
（1）畫出平移后的圖形；
（2）在（1）的條件下，連接BB1、CB1，直接寫出三角形BCB1的面積為 ．
【變式2】如圖，三角形ABC的位置如圖所示．
（1）將三角形ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，畫出平移后的三角形A1B1C1；
（2）三角形A1B1C1的面積為 平方單位．
【變式3】如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個格點(diǎn)三角形ABC（△ABC的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）畫出△ABC中AB邊上的高CD；
（2）將△ABC先向上平移3格，再向右平移4格，畫出平移后的△A′B′C′；
（3）在圖中畫出一個銳角格點(diǎn)三角形ABP，使得其面積等于△ABC的面積，并回答滿足條件的點(diǎn)P有多少個．
1．如圖所示，下列四個圖形中，能由原圖經(jīng)過平移得到的圖形是（ ）
A．B．C．D．
2．下列現(xiàn)象中，屬于平移的是（ ）
A．滾動的足球B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片
C．正在上升的電梯D．正在行駛的汽車后輪
3．如圖，△ABC沿射線BC方向平移到△DEF（點(diǎn)E在線段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距離為（ ）
A．3cmB．5cmC．8cmD．13cm
4．如圖，△DEF經(jīng)過怎樣的平移得到△ABC（ ）
A．把△DEF向左平移4個單位，再向上平移2個單位
B．把△DEF向右平移4個單位，再向下平移2個單位
C．把△DEF向右平移4個單位，再向上平移2個單位
D．把△DEF向左平移4個單位，再向下平移2個單位
5．如圖，將△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周長為16cm，則四邊形ABFD的周長為（ ）
A．16cmB．22cmC．20cmD．24cm
6．如圖所示是某酒店門前的臺階，現(xiàn)該酒店經(jīng)理要在臺階上鋪上一塊紅地毯，問這塊紅地毯至少需要（ ）
A．23平方米B．90平方米C．130平方米D．120平方米
7．如圖，某園林內(nèi)，在一塊長33m，寬21m的長方形土地上，有兩條斜交叉的小路，其余地方種植花卉進(jìn)行綠化．已知小路的出路口均為1.5m，則綠化地的面積為（ ）
A．693B．614.25C．78.75D．589
8．如圖，在一塊長14m、寬6m的長方形場地上，有一條彎曲的道路，其余的部分為綠化區(qū)，道路的左邊線向右平移3m就是它的右邊線，則綠化區(qū)的面積是（ ）
A．56m2B．66m2C．72m2D．96m2
9．如圖所示，由△ABC平移得到的三角形的個數(shù)是（ ）
A．5B．15C．8D．6
10．如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，將三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB＝7，BE＝3，DM＝2，則陰影部分的面積是（ ）
A．15B．18C．21D．不確定
11．如圖，將△BDE沿直線BA向左平移后，到達(dá)△ABC的位置，若∠EBD＝55°，∠ADE＝95°，則∠CBE＝ ．
12．如圖，在一塊長8米，寬6米的長方形草地上，有一條彎曲的小路，小路的左邊線向右平移1米就是它的右邊線，則這塊草地的綠地面積為 米2．
13．如圖，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，將△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長為 cm．
14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB是銳角，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△DEF（平移后點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)），連接CD，若在整個平移過程中，∠ACD和∠CDE的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACD＝ ．
15．如圖，直線MN∥PQ，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，固定△ABC的位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點(diǎn)F正好落在直線MN上，再將△DEF繞點(diǎn)F順時針方向以每秒10°的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF與直線MN首次重合時停止運(yùn)動當(dāng)經(jīng)過t秒時，線段DE與△ABC的一條邊平行，則t的值 ．
16．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分（圖中陰影部分）的面積是△ABC的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距離．
17．將△ABC沿BC的方向平移得到△DEF．
（1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度數(shù)；
（2）若△ABC的周長為12，BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，連結(jié)AD，則四邊形ABFD的周長為 cm．
18．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．
（1）在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，并使得AD∥BC且DC⊥BC，連接AD；
（2）平移△ABC，使點(diǎn)B平移到點(diǎn)D，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，畫出平移后的圖形△EDF；
（3）連接AE，請直接寫出三角形ADE的面積．
19．如圖，在一次演出中，△ABC位置上重合著兩個三角形道具，演員把其中一個沿直角ABC的BC邊所在的直線向右推動，使之平移到△DEF位置．
（1）若BE＝3，EF＝8，求EC的長．
（2）除了∠ABC＝90°，還能求出哪些角的度數(shù)？求出這些角的度數(shù)．
（3）你還能得出哪些關(guān)于線段位置關(guān)系的結(jié)論？寫出一個，并加以證明．
20．已知射線AB⊥射線AC于點(diǎn)A，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在射線AB，AC上，過點(diǎn)D，F(xiàn)作射線DE，F(xiàn)G，使∠BDE+∠AFG＝90°，如圖1所示．
（1）試判斷直線DE與直線FG的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，已知∠ADE的角平分線與∠AFG的角平分線相交于點(diǎn)P． ①當(dāng)∠BDE＝60°時，則∠DPF＝ ；
②當(dāng)∠BDE＝α（α≠60°）時，∠DPF的大小是否保持不變？若不變，請說明理由；若改變，請求出∠DPF的度數(shù)．
（3）當(dāng)∠BDE沿射線AB平移且∠BDE＝α?xí)r，請直接寫出∠ADE的角平分線與∠AFG的角平分線所在直線相交形成的∠DPF的度數(shù)．
第06講 平移
知識點(diǎn)01 平移的概念
平移的概念：
在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的 平行移動 ，叫做圖形的平移變換，簡稱 平移 。平移前后的點(diǎn)叫做 對應(yīng)點(diǎn) ，平移前后的角叫做 對應(yīng)角 ，平移前后的邊叫做 對應(yīng)邊 。
平移的要素：
平移 方向 與平移 距離 為平移要素。
【即學(xué)即練1】
1．下列運(yùn)動屬于平移的是（ ）
A．蕩秋千的小朋友B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片
C．正在上升的電梯D．行駛的自行車后輪
【分析】利用平移的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．蕩秋千的小朋友是旋轉(zhuǎn)，不符合題意；
B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片是旋轉(zhuǎn)，不符合題意；
C．正在上升的電梯是平移，符合題意；
D．行駛的自行車后輪是旋轉(zhuǎn)，不符合題意．
故選：C．
【即學(xué)即練2】
2．下面的每組圖形中，平移左圖可以得到右圖的一組是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、左圖與右圖的形狀不同，所以A選項(xiàng)錯誤；
B、左圖與右圖的大小不同，所以B選項(xiàng)錯誤；
C、左圖通過翻折得到右圖，所以C選項(xiàng)錯誤；
D、左圖通過平移可得到右圖，所以D選項(xiàng)正確．
故選：D．
知識點(diǎn)02 平移的性質(zhì)
平移的性質(zhì)：
①平移前后圖形的形狀大小 不變 。
②對應(yīng)角 相等 ，對應(yīng)邊 平行且相等 。
③連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段 平行且相等 。
【即學(xué)即練1】
3．如圖，△ABC沿射線BC方向平移到△DEF（點(diǎn)E在線段BC上）．若BF＝10cm，EC＝4cm，則平移距離為（ ）
A．3cmB．4cmC．6cmD．10cm
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)有：△ABC≌△DEF，則有BC＝EF，即有BE＝CF，根據(jù)，問題得解．
【解答】解：根據(jù)平移的性質(zhì)有：△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF，
∵BF＝10cm，EC＝4cm，
∴，
∴則平移距離為3cm，
故選：A．
【即學(xué)即練2】
4．如圖，將△ABC沿AB方向平移后，到達(dá)△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】利用平移的性質(zhì)求出∠EBD，再利用平角的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知∠EBD＝∠CAB＝50°，
∵∠ABC+∠CBE+∠EBD＝180°，
∴∠CBE＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故選：A．
知識點(diǎn)03 平移的作圖
平移的作圖步驟：
①確定平移條件。即 平移方向 與 平移距離 。
②找出圖中的關(guān)鍵點(diǎn)按照平移條件進(jìn)行平移，得到平移前后的 對應(yīng)點(diǎn) 。
③將平移后的對應(yīng)點(diǎn)按照原圖形進(jìn)行連接。
【即學(xué)即練1】
5．已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將△ABC向右平移3個單位長度得到△A1B1C1，△A1B1C1再向下平移6個單位長度得到△A2B2C2．
（圖中每個小方格邊長均為1個單位長度）．
在圖中畫出平移后的△A1B1C1以及△A2B2C2；
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
【解答】解：如圖，△A1B1C1和△A2B2C2即為所求．
題型01 判斷生活中的平移現(xiàn)象
【典例1】在下列實(shí)例中，屬于平移過程的有（ ）
①時針運(yùn)行的過程；
②電梯上升的過程；
③地球自轉(zhuǎn)的過程；
④小汽車在平直的公路行駛．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)平移的定義直接判斷即可．
【解答】解：①時針運(yùn)行的過程是旋轉(zhuǎn)；
②電梯上升的過程是平移；
③地球自轉(zhuǎn)的過程是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；
④小汽車在平直的公路行駛是平移．
故屬于平移的有2個．
故選：B．
【變式1】下列現(xiàn)象屬于平移的是（ ）
A．下雨天雨刮刮車玻璃
B．每天早上打開教室門
C．每天早上打開教室窗戶
D．蕩秋千
【分析】根據(jù)平移不改變圖形的形狀和大小，只是改變位置解答即可．
【解答】解：A．下雨天雨刮刮車玻璃是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故不符合題意；
B．每天早上打開教室門是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故不符合題意；
C．每天早上打開教室窗戶是平移現(xiàn)象，符合題意；
D．蕩秋千是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故不符合題意．
故選：C．
【變式2】2022年第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在中國舉辦，吉祥物“冰墩墩”深受大家喜愛，由圖1平移得到的圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)平移的定義，以及平移的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：根據(jù)平移的定義：是指在同一個平面內(nèi)，如果一個圖形上的所有點(diǎn)都按照某個直線方向做相同距離的移動，那么這樣的圖形運(yùn)動就叫做圖形的平移運(yùn)動，簡稱平移，
平移不會改變圖形的形狀和大小，
圖形經(jīng)過平移以后，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段也相等，
則通過平移吉祥物“冰墩墩”得到的圖形為：，
故選：B．
【變式3】下列各組圖形，可由一個圖形平移得到另一個圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)平移的基本性質(zhì)，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)進(jìn)行一一分析即可得到答案．
【解答】解：A、圖形由軸對稱所得到，不屬于平移，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發(fā)生變化，符合平移性質(zhì)，故本選項(xiàng)符合題意；
C、圖形由旋轉(zhuǎn)所得到，不屬于平移，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、圖形大小不一，大小發(fā)生變化，不符合平移性質(zhì)，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
題型02 利用平移的性質(zhì)求線段長度和角度
【典例1】如圖，三角形ABC沿射線BC方向平移到三角形DEF（點(diǎn)E在線段BC上），如果BC＝10cm，EC＝6cm，那么平移距離為（ ）
A．4cmB．6cmC．10cmD．16cm
【分析】觀察圖象，發(fā)現(xiàn)平移前后，B、E對應(yīng)，C、F對應(yīng)，根據(jù)平移的性質(zhì)，易得平移的距離＝BE＝10﹣6＝4cm，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由題意平移的距離為BE＝BC﹣EC＝10﹣6＝4（cm）．
故選：A．
【變式1】如圖，將直角△ABC沿邊AC的方向平移到△DEF的位置，連結(jié)BE，若CD＝6，AF＝14，則BE的長為（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到BE＝AD，DF＝AC，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，BE＝AD，DF＝AC，
則DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，
∴AD＝（AF﹣CD）＝（14﹣6）＝4，
∴BE＝4，
故選：A．
【變式2】如圖，△ABC以每秒2cm的速度沿著射線BC向右平移，平移2秒后所得圖形是△DEF，如果AD＝2CE，那么BC的長是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿著射線BC向右平移，平移2秒后所得圖形是△DEF，
∴AD＝BE＝2×2＝4（cm），
∵AD＝2CE，
∴CE＝2cm，
∴BC＝BE+CE＝6（cm），
故選：B．
【變式3】如圖，將周長為16個單位長度的△ABC沿BC方向向右平移3個單位長度，得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（ ）
A．20個單位長度B．22個單位長度
C．28個單位長度D．32個單位長度
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四邊形ABFD的周長等于△ABC的周長與AD、CF的和，再求解即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3個單位長度得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3，
∴四邊形ABFD的周長＝AB+BF+DF+AD
＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周長+AD+CF
＝16+3+3
＝22（個單位長度）．
故選：B．
【典例1】如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B＝97°，∠C＝40°，則∠GHC的度數(shù)為（ ）
A．147°B．40°C．97°D．43°
【分析】求出∠D＝43°，判斷出AB∥DE，利用平行線的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：∵∠B＝97°，∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣97°﹣40°＝43°，
由平移的性質(zhì)可知∠D＝∠A＝43°，AC∥DF，
∴∠GHC＝∠D＝43°，
故選：D．
【變式1】如圖，∠1＝70°，∠2＝160°直線a平移后得到直線b，則∠3＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如圖：
∵直線a平移后得到直線b，
∴a∥b，
∴∠CDA＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，
∵∠2＝∠CDA+∠FAD，
∴∠FAD＝50°，
∴∠3＝∠FAD＝50°，
故選：D．
【變式2】如圖，點(diǎn)B，C在直線l上，直線l外有一點(diǎn)A，連接AB，AC，∠BAC＝45°，∠ACB是鈍角，將三角形ABC沿著直線l向右平移得到三角形A1B1C1，連接AB1，在平移過程中，當(dāng)∠AB1A1＝2∠CAB1時，∠CAB1的度數(shù)是（ ）
A．15°B．30°C．15°或45°D．30°或45°
【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)B1在線段BC上時，當(dāng)點(diǎn)B1在BC的延長線上時，分別求解．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)B1在線段BC上時，
∵AB∥A1B1，
∴∠AB1A1＝∠BAB1，
∵∠AB1A1＝2∠CAB1，
∴∠B1AC＝∠BAC＝15°．
當(dāng)點(diǎn)B1在BC的延長線上時，
∵AB∥A1B1，
∴∠AB1A1＝∠BAB1，
∵∠AB1A1＝2∠CAB1，
∴∠CAB1＝45°．
故選：C．
題型03 利用平移求面積
【典例1】如圖，將Rt△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，平移距離為7，AB＝13，DO＝6，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．70B．48C．84D．96
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到S△DEF＝S△ABC，得到S陰影部分＝S梯形ABEO，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：DE＝AB＝7，BE＝CF＝7，S△DEF＝S△ABC，
∴OE＝DE﹣DO＝13﹣6＝7，S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC，
∴S陰影部分＝S梯形ABEO＝×（7+13）×7＝70，
故選：A．
【變式1】如圖，直徑為4cm的圓O1向右平移5cm得到圓O2，則圖中陰影部分面積為（ ）
A．20cm2B．10cm2C．25cm2D．16cm2
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)、矩形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：圖中陰影部分面積為：4×5＝20（cm2），
故選：A．
【變式2】如圖，三角形ABC的邊BC長為4cm，將三角形ABC向上平移2cm得到三角形A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出陰影部分的面積等于長方形BB′C′C的面積解答即可．
【解答】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面積＝三角形ABC的面積，
∴陰影部分的面積等于長方形BB′C′C的面積＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）．
故選：B．
【變式3】如圖，長為50m，寬為30m的長方形地塊上，有縱橫交錯的幾條小路，寬均為1m，其它部分均種植草坪，則種植草坪的面積為（ ）
A．1344m2B．1421m2C．1431m2D．1341m2
【分析】可以根據(jù)平移的性質(zhì)，此小路相當(dāng)于一條橫向長為50米與一條縱向長為30米的小路，種植草坪的面積＝長（50﹣1）米寬（30﹣1）米的長方形面積，依此計(jì)算即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意，小路的面積相當(dāng)于橫向與縱向的兩條小路，
種植花草的面積＝（50﹣1）×（30﹣1）＝49×29＝1421（m2）．
答：種植草坪的面積是1421m2．
故選：B．
【變式4】如圖在一塊長為12m，寬為6m的長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是2m），則空白部分表示的草地面積是（ ）
A．70m2B．60m2C．48m2D．18m2
【分析】根據(jù)矩形面積公式可求矩形的面積；因?yàn)榘赜托÷返娜魏蔚胤降乃綄挾榷际?，其面積與同寬的矩形面積相等，故可求草地面積．
【解答】解：草地面積＝矩形面積﹣小路面積
＝12×6﹣2×6
＝60（m2）．
故選：B．
題型04 平移作圖
【典例1】如圖，在邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無刻度的直尺畫圖．
（1）畫出△A′B′C′；
（2）直接寫出三角形ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′得到平移規(guī)律作圖即可得到答案；
（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可．
【解答】解：（1）由圖象可得，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′向下平移1個單位，向右平移6個單位，
故△A′B′C′圖象如圖所示，
；
（2）；
【變式1】如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在每格為1個單位長度的格點(diǎn)上，請將△ABC先向下平移三個單位長度后再向右平移四個單位長度后得到△A1B1C1．
（1）畫出平移后的圖形；
（2）在（1）的條件下，連接BB1、CB1，直接寫出三角形BCB1的面積為 ．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
（2）利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）三角形BCB1的面積為＝．
故答案為：．
【變式2】如圖，三角形ABC的位置如圖所示．
（1）將三角形ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，畫出平移后的三角形A1B1C1；
（2）三角形A1B1C1的面積為 平方單位．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖，三角形A1B1C1即為所求.
（2）三角形A1B1C1的面積為＝（平方單位）．
故答案為：．

【變式3】如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個格點(diǎn)三角形ABC（△ABC的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
（1）畫出△ABC中AB邊上的高CD；
（2）將△ABC先向上平移3格，再向右平移4格，畫出平移后的△A′B′C′；
（3）在圖中畫出一個銳角格點(diǎn)三角形ABP，使得其面積等于△ABC的面積，并回答滿足條件的點(diǎn)P有多少個．
【分析】（1）利用鈍角三角形高的作法得出答案即可；
（2）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置，再順次連接即可得到答案；
（3）利用銳角三角形的定義結(jié)合三角形面積即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，CD即為所求，
；
（2）如圖，△A′B′C′即為所求，
；
（3）如圖，△ABP即為所求，
，
由圖可得：滿足條件的點(diǎn)P有4個．
1．如圖所示，下列四個圖形中，能由原圖經(jīng)過平移得到的圖形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：下列四個圖形中，能由原圖經(jīng)過平移得到的圖形是B，
故選：A．
2．下列現(xiàn)象中，屬于平移的是（ ）
A．滾動的足球B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片
C．正在上升的電梯D．正在行駛的汽車后輪
【分析】利用平移的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．滾動的足球是旋轉(zhuǎn)，
故不符合題意；
B．轉(zhuǎn)動的電風(fēng)扇葉片是旋轉(zhuǎn)，
故不符合題意；
C．正在上升的電梯是平移，
故符合題意；
D．正在行駛的汽車后輪是旋轉(zhuǎn)，
故不符合題意；
故選：C．
3．如圖，△ABC沿射線BC方向平移到△DEF（點(diǎn)E在線段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距離為（ ）
A．3cmB．5cmC．8cmD．13cm
【分析】觀察圖象，發(fā)現(xiàn)平移前后，B、E對應(yīng)，C、F對應(yīng)，根據(jù)平移的性質(zhì)，易得平移的距離＝BE＝8﹣5＝3，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由題意平移的距離為BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3（cm），
故選：A．
4．如圖，△DEF經(jīng)過怎樣的平移得到△ABC（ ）
A．把△DEF向左平移4個單位，再向上平移2個單位
B．把△DEF向右平移4個單位，再向下平移2個單位
C．把△DEF向右平移4個單位，再向上平移2個單位
D．把△DEF向左平移4個單位，再向下平移2個單位
【分析】觀察圖象，找到對應(yīng)的點(diǎn)，連接對應(yīng)點(diǎn)即可．
【解答】解：觀察圖象可得．E、B，D、A，F(xiàn)、C分別對應(yīng)，且E、B、D、A在同一條直線上，
根據(jù)平移的性質(zhì)，易得沿射線BD的方向移動DA長，可由△DEF得到△ABC；
故選：C．
5．如圖，將△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周長為16cm，則四邊形ABFD的周長為（ ）
A．16cmB．22cmC．20cmD．24cm
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF＝AC，然后求出四邊形ABFD的周長等于△ABC的周長與AD、CF的和，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝3cm，
∴四邊形ABFD的周長＝△ABC的周長+AD+CF＝16+3+3＝22cm．
故選：B．
6．如圖所示是某酒店門前的臺階，現(xiàn)該酒店經(jīng)理要在臺階上鋪上一塊紅地毯，問這塊紅地毯至少需要（ ）
A．23平方米B．90平方米C．130平方米D．120平方米
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，先把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，再求得其面積即可．
【解答】解：利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構(gòu)成一個矩形，長寬分別為10米，8米，
故地毯的長度為8+10＝18（米），
則這塊紅地毯面積為：18×5＝90（m2）．
故選：B．
7．如圖，某園林內(nèi)，在一塊長33m，寬21m的長方形土地上，有兩條斜交叉的小路，其余地方種植花卉進(jìn)行綠化．已知小路的出路口均為1.5m，則綠化地的面積為（ ）
A．693B．614.25C．78.75D．589
【分析】利用平移的性質(zhì)來計(jì)算綠化地的面積．
【解答】解：根據(jù)平移得綠化地的長為（33﹣1.5）m，寬為（21﹣1.5）m，
∴栽種鮮花的面積為（33﹣1.5）×（21﹣1.5）＝614.25（m2）．
故選：B．
8．如圖，在一塊長14m、寬6m的長方形場地上，有一條彎曲的道路，其余的部分為綠化區(qū)，道路的左邊線向右平移3m就是它的右邊線，則綠化區(qū)的面積是（ ）
A．56m2B．66m2C．72m2D．96m2
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，綠化部分可看作是長為（14﹣3）米，寬為6米的矩形，然后根據(jù)矩形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：
（14﹣3）×6
＝11×6
＝66（平方米），
∴綠化區(qū)的面積是66平方米，
故選：B．
9．如圖所示，由△ABC平移得到的三角形的個數(shù)是（ ）
A．5B．15C．8D．6
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形直接求得結(jié)果．
【解答】解：平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向，
因此由△ABC平移得到的三角形有5個．
故選：A．
10．如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，將三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF，其中AB＝7，BE＝3，DM＝2，則陰影部分的面積是（ ）
A．15B．18C．21D．不確定
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出AD＝BE＝CF＝3，再根據(jù)S陰影部分＝S平行四邊形ACFD﹣S△ADM進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接AD，由平移的性質(zhì)可知，AD＝BE＝CF＝3，
∴S陰影部分＝S平行四邊形ACFD﹣S△ADM
＝3×7﹣×2×3
＝18，
故選：B．
11．如圖，將△BDE沿直線BA向左平移后，到達(dá)△ABC的位置，若∠EBD＝55°，∠ADE＝95°，則∠CBE＝ 30° ．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出△ACB≌△BED，進(jìn)而得出∠ABC＝∠ADE＝95°，進(jìn)而得出∠CBE的度數(shù)．
【解答】解：∵將△BDE沿直線BA向左平移后，到達(dá)△ABC的位置，
∴△ACB≌△BED，
∴∠ABC＝∠ADE＝95°，
則∠CBE的度數(shù)為：180°﹣95°﹣55°＝30°．
故答案為：30°．
12．如圖，在一塊長8米，寬6米的長方形草地上，有一條彎曲的小路，小路的左邊線向右平移1米就是它的右邊線，則這塊草地的綠地面積為 42 米2．
【分析】根據(jù)平移可知，綠地部分拼成的圖形長為（8﹣1）米，寬為6米，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得：
（8﹣1）×6
＝7×6
＝42（平方米），
所以：這塊草地的綠地面積為42平方米，
故答案為：42．
13．如圖，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，將△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長為 11 cm．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，根據(jù)周長公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm，
∴EC＝（5﹣a）cm，
∴陰影部分的周長＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+2+4＝11（cm），
故答案為：11．
14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB是銳角，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△DEF（平移后點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)），連接CD，若在整個平移過程中，∠ACD和∠CDE的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則∠ACD＝ 15°或30°或90° ．
【分析】根據(jù)△ABC的平移過程，分為了點(diǎn)E在BC上和點(diǎn)E在BC外兩種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)得到AB∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之間的等量關(guān)系，列出方程求解即可．
【解答】解：第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，過點(diǎn)C作CG∥AB，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①當(dāng)∠ACD＝2∠CDE時，
∴設(shè)∠CDE＝x，則∠ACD＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x，
∵∠ACD＝∠ACD+∠DCG，
∴2x+x＝45°，
解得：x＝15°，
∴∠ACD＝2x＝30°，
②當(dāng)∠CDE＝2∠ACD時，
∴設(shè)∠CDE＝x，則∠ACD＝x，
∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x，
∵∠ACD＝∠ACD+∠DCG，
∴2x+x＝45°，
解得：x＝30°，
∴∠ACD＝x＝15°，
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時，過點(diǎn)C作CG∥AB
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①當(dāng)∠ACD＝2∠CDE時，
設(shè)∠CDE＝x，則∠ACD＝2x，
∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x，
∵∠ACD＝∠ACG+∠DCG，
∴2x＝x+45°，
解得：x＝45°，
∴∠ACD＝2x＝90°，
②當(dāng)∠CDE＝2∠ACD時，由圖可知，∠CDE＜∠ACD，故不存在這種情況，
故答案為：15°或30°或90°．
15．如圖，直線MN∥PQ，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖放置，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，固定△ABC的位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點(diǎn)F正好落在直線MN上，再將△DEF繞點(diǎn)F順時針方向以每秒10°的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EF與直線MN首次重合時停止運(yùn)動當(dāng)經(jīng)過t秒時，線段DE與△ABC的一條邊平行，則t的值 3或7.5或12 ．
【分析】分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：共分三種情況：
情況1：D′E′∥BC時，
10t＝30，
∴t＝3，
情況2：D′E′∥AB時，
10t＝75，
∴t＝7.5
情況3：D′E′∥AC時，
10t＝120，
∴t＝12，
綜上，t的值為3或7.5或12．
故答案為：3或7.5或12．
16．如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分（圖中陰影部分）的面積是△ABC的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距離．
【分析】移動的距離可以視為FC或BE的長度，根據(jù)題意可知△ABC與陰影部分為相似三角形，且面積比為2：1，所以BC：EC＝：1，推出EC＝，所以BE＝2﹣．
【解答】解：∵△ABC沿BC邊平移到△DEF的位置，
∴AB∥EG，
∴△ABC∽△GEC，
∴＝（）2＝，
∴BC：EC＝：1，
∵BC＝2，
∴EC＝，
∴△ABC平移的距離為：BE＝2﹣．
17．將△ABC沿BC的方向平移得到△DEF．
（1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度數(shù)；
（2）若△ABC的周長為12，BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，連結(jié)AD，則四邊形ABFD的周長為 14 cm．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出∠ACB＝∠F，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解；
（2）先求出BE，再根據(jù)平移的性質(zhì)和四邊形的周長解答即可．
【解答】解：（1）由圖形平移的特征可知△ABC和△DEF的形狀與大小相同，
即△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠F＝26°，
∵∠B＝74°，
∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠B）＝180°﹣（26°+74°）＝80°；
（2）∵BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，
∴BE+CF＝BF﹣EC＝5.5﹣3.5＝2cm，
∴BE＝CF＝AD＝1cm，
∵△ABC的周長為12，
∴四邊形ABFD的周長＝AB+BE+EC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+CF+AD＝12+1+1＝14（cm），
故答案為：14．
18．如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．
（1）在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，點(diǎn)D在格點(diǎn)上，并使得AD∥BC且DC⊥BC，連接AD；
（2）平移△ABC，使點(diǎn)B平移到點(diǎn)D，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，畫出平移后的圖形△EDF；
（3）連接AE，請直接寫出三角形ADE的面積．
【分析】（1）根據(jù)平移和垂直的定義作圖即可．
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
（3）利用三角形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求．
（2）如圖，△EDF即為所求．
（3）三角形ADE的面積為＝3．
19．如圖，在一次演出中，△ABC位置上重合著兩個三角形道具，演員把其中一個沿直角ABC的BC邊所在的直線向右推動，使之平移到△DEF位置．
（1）若BE＝3，EF＝8，求EC的長．
（2）除了∠ABC＝90°，還能求出哪些角的度數(shù)？求出這些角的度數(shù)．
（3）你還能得出哪些關(guān)于線段位置關(guān)系的結(jié)論？寫出一個，并加以證明．
【分析】（1）由平移的性質(zhì)得出BE＝CF＝3，進(jìn)而求出EC即可；
（2）由平移前后的對應(yīng)角相等可得∠DEF＝∠ABC＝90°，再根據(jù)平角的定義得出∠BED＝180°﹣90°＝90°，進(jìn)而得到∠DEF＝∠DEB＝90°；
（3）由平移前后的對應(yīng)線段平行且相等可得結(jié)論．
【解答】解：（1）由平移的性質(zhì)可知，BE＝CF＝3，
∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3＝5，
（2）由平移的性質(zhì)可知，∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DEF＝∠DEB＝90°；
（3）AB∥DE，AC∥DF，
證明：∵將△ABC沿著直角ABC的BC邊所在的直線向右平移到△DEF位置，
∴AB∥DE，AC∥DF．
20．已知射線AB⊥射線AC于點(diǎn)A，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在射線AB，AC上，過點(diǎn)D，F(xiàn)作射線DE，F(xiàn)G，使∠BDE+∠AFG＝90°，如圖1所示．
（1）試判斷直線DE與直線FG的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，已知∠ADE的角平分線與∠AFG的角平分線相交于點(diǎn)P． ①當(dāng)∠BDE＝60°時，則∠DPF＝ 135° ；
②當(dāng)∠BDE＝α（α≠60°）時，∠DPF的大小是否保持不變？若不變，請說明理由；若改變，請求出∠DPF的度數(shù)．
（3）當(dāng)∠BDE沿射線AB平移且∠BDE＝α?xí)r，請直接寫出∠ADE的角平分線與∠AFG的角平分線所在直線相交形成的∠DPF的度數(shù)．
【分析】（1）過A作AK∥DE，可得∠BDE＝∠BAK，而∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，即有∠AFG＝∠KAC，故FG∥AK，從而DE∥FG；
（2）①過P作PT∥DE，由∠BDE＝60°，得∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，而FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，可得∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，故∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
②過P作PT∥DE，由∠BDE＝α，與①類似方法可得∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，即得∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）分兩種情況：當(dāng)P在∠AFG內(nèi)部時，由（2）可知，此時∠DPF＝135°；當(dāng)P在∠AFG外部時，過P作PQ∥DE，可得∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝45°．
【解答】解：（1）DE∥FG，理由如下：
過A作AK∥DE，如圖：
∴∠BDE＝∠BAK，
∵∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，
∴∠AFG＝∠KAC，
∴FG∥AK，
∴DE∥FG；
（2）①過P作PT∥DE，如圖：
∵∠BDE＝60°，
∴∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
故答案為：135°；
②∠DPF的大小保持不變，理由如下：
過P作PT∥DE，如圖：
∵∠BDE＝α，
∴∠ADE＝180°﹣α，∠AFG＝90°﹣α，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝45°﹣α，∠PDE＝90°﹣α，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）當(dāng)P在∠AFG內(nèi)部時，如圖：
由（2）可知，此時∠DPF＝135°；
當(dāng)P在∠AFG外部時，過P作PQ∥DE，如圖：
∴PQ∥DE∥FG，
設(shè)∠BDE＝β，
∴∠ADE＝180°﹣β，∠AFG＝90°﹣β，
∵DP平分∠ADE，PF平分∠AFG，
∴∠PDE＝90°﹣β＝∠DPQ，
∠MFG＝45°﹣β＝∠QPM．
∴∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝（90°﹣β）﹣（45°﹣β）＝45°，
綜上所述，∠DPF的度數(shù)是135°或45°．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①平移及其性質(zhì)
②平移作圖
掌握平移的概念及其性質(zhì)，能夠熟練判斷生活中的平移現(xiàn)象以及利用平移的性質(zhì)解決題目。
掌握平移作圖的步驟，能夠熟練的進(jìn)行平移作圖。
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掌握平移的概念及其性質(zhì)，能夠熟練判斷生活中的平移現(xiàn)象以及利用平移的性質(zhì)解決題目。
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