浙江省金華市十校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．考試時(shí)間120分鐘．試卷總分為150分．請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．
選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線：與直線：互相平行，則（）
A 1B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程，解出驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，
則有，
解得，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)兩直線不重合，
故選：C.
2. 已知等差數(shù)列中，，則（）
A. 24B. 36C. 48D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.
【詳解】由題意.
故選：D.
3. 如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可直接得到答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，
故選：A.
4. 過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意設(shè)直線方程為：，將點(diǎn)代入求解.
【詳解】解：由題意設(shè)直線方程為：，
因該直線過點(diǎn)，
所以，
解得，
所以直線方程為：，
故選：C
5. 圓C：與圓的位置關(guān)系不可能（）
A. 內(nèi)含B. 內(nèi)切C. 相交D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由題可得兩圓半徑與圓心，后由圓心距與兩圓半徑間關(guān)系可得答案.
【詳解】由題可得圓C：，則其圓心，半徑為；
圓，則其圓心為，半徑為.
則兩圓圓心距為，
故兩圓可能內(nèi)含，內(nèi)切，相交，不可能外切，外離.
故選：D
6. 已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系得兩平面的位置關(guān)系，由此即可得解.
【詳解】由題意或.
故選：B.
7. 法國(guó)天文學(xué)家喬凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，并稱為卡西尼卵形線（CassiniOval）小張同學(xué)受到啟發(fā)，提出類似疑問，若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所成向量的數(shù)量積為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么呢？設(shè)定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)為，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）
A. 直線B. 圓C. 橢圓D. 拋物線
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得的軌跡方程，從而確定正確答案.
【詳解】設(shè)，以線段的中點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為軸，
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，則，
即，所以的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.
故選：B

8. 已知直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點(diǎn)，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先得點(diǎn)在雙曲線上面運(yùn)動(dòng)，畫出圖形結(jié)合雙曲線定義以及三角形三邊關(guān)系分類討論即可求解.
【詳解】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得，
由題意，化簡(jiǎn)得，
解得，
所以過點(diǎn)且與垂直的直線方程為，
在該直線方程中分別令，依次解得，
所以，
即點(diǎn)在雙曲線上面運(yùn)動(dòng)，雙曲線的圖象如圖所示：

若在右支上面，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，不妨設(shè)其左焦點(diǎn)為，
所以，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中點(diǎn)為線段與雙曲線右支的焦點(diǎn)，
若在左支上面，如圖所示：

所以，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，其中點(diǎn)為線段與雙曲線左支的焦點(diǎn)，
綜上所述，點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是求出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，由此即可順利得解.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】對(duì)A，，故A正確；
對(duì)B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，C 正確；
對(duì)D，，D正確.
故選：ACD
10. 已知等差數(shù)列的公差為，若，，則首項(xiàng)的值可能是（）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)，建立不等式組，可得答案.
【詳解】由題意，得，所以.
故選：BC.
11. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的（）
A. 拋物線的方程為：
B.
C. 當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，三角形面積的最小值為1
D. 若，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由拋物線準(zhǔn)線列方程求出參數(shù)即可判斷；對(duì)于B，由拋物線定義即可判斷；對(duì)于C，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式得三角形面積表達(dá)式，進(jìn)一步由基本不等式即可判斷；對(duì)于D，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，結(jié)合已知得或，進(jìn)一步由余弦定理基本不等式可得，由此即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為：，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以由拋物線定義可知，故B正確；
對(duì)于C，由題意拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然過焦點(diǎn)的直線斜率存在，如圖所示：
不妨取直線的方程為，且，
聯(lián)立拋物線方程，得，
所以，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以三角形面積為，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
即三角形面積的最小值為2，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，顯然直線斜率存在，不妨取直線的方程為，且，如圖所示：
聯(lián)立拋物線方程，得，
所以，
所以，
，
因?yàn)椋?br>所以，
解得或，
即或，
而
，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，解得，
此時(shí)或，且此時(shí)滿足，
即，所以最大值為，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由弦長(zhǎng)公式結(jié)合已知得關(guān)系，事實(shí)上這是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得，但是驗(yàn)證基本不等式等號(hào)是否成立的重要條件.
12. “阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，是一個(gè)八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，某玩具廠商制作一個(gè)這種形狀棱長(zhǎng)為，重量為的實(shí)心玩具，則下列說法正確的是（）

A. 將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為.
B. 將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為.
C. 將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為.
D. 將玩具放至水中，其會(huì)飄浮在水面上.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用補(bǔ)體法求得正方體棱長(zhǎng)判斷A，利用對(duì)稱性得球的直徑判斷B，求解兩平行平面的距離判斷C，先求出幾何體的體積，通過與水密度的大小比較即可判斷D.
【詳解】將該幾何體放置在如圖的正方體中，

對(duì)于A，將玩具放到一個(gè)正方體包裝盒內(nèi)，包裝盒棱長(zhǎng)最小為圖中正方體的棱長(zhǎng)，
由題意，該幾何的棱長(zhǎng)為，所以正方體的棱長(zhǎng)為，正確；
對(duì)于B，將玩具放到一個(gè)球形包裝盒內(nèi)，包裝盒的半徑最小為該幾何體外接球的半徑，
根據(jù)正方體和多面體的對(duì)稱性知，該幾何體外接球直徑為正方體面對(duì)角線，即，解得，
所以包裝盒半徑最小為，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將玩具以正三角形所在面為底面放置，該玩具的高度為兩平行平面與平面的距離，證明求解過程如下：如圖，

不妨記正方體為，，，
故四邊形是平行四邊形，所以，
又，分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
故，又，平面，，
所以平面，又平面，所以，
同理，又，，平面，所以平面，
又平面平面，所以平面，
故即為平面與平面的距離，
則，由正方體棱長(zhǎng)為得，
由題意得，為等邊三角形，故，
根據(jù)，得，
解得，根據(jù)對(duì)稱性知，
所以，
則平面與平面的距離為，即該玩具的高度為，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，該幾何體的體積為.因?yàn)橥婢叩拿芏葹椋∮谒拿芏?，所以將玩具放至水中，其?huì)飄浮在水面上，正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間距離方法，一是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；二是利用等體積法求解；三是作出輔助線，在三角形中結(jié)合余弦定理等方法進(jìn)行求解.
非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 曲線在點(diǎn)處的切線斜率為________．
【答案】4
【解析】
【分析】函數(shù)求導(dǎo)后，求得，即為所求.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則，
故答案為：4.
14. 任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱8步“雹程），數(shù)列滿足冰雹猜想，其遞推關(guān)系為：（m為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為________．
【答案】1和8
【解析】
【分析】根據(jù)，且，利用遞推求解.
【詳解】解：因?yàn)?，且?br>所以或（舍去）；
或（舍去）；
或，
故答案為：1和8
15. 如圖，在四面體中，分別是上的點(diǎn)，且是和的交點(diǎn)，以為基底表示，則________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意首先得四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步結(jié)合線段比例分解向量成基底向量的線性組合即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，同理?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以
.
故答案為： .
16. 已知橢圓的離心率為為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，則斜率的取值構(gòu)成的集合為________．
【答案】
【解析】
【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程中，整理計(jì)算可得參數(shù).
【詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線為，
兩直線的交點(diǎn)，從而點(diǎn).
點(diǎn)在橢圓上，
則，即
則,則，，或.
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在一次招聘會(huì)上，兩家公司開出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．
（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？
（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報(bào)酬較多？（）．
【答案】（1）公司：（元）；公司：（元）
（2）從公司得到的報(bào)酬較多
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給條件分布求出在公司、第年的月工資；
（2）分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式求出總報(bào)酬，即可判斷.
【小問1詳解】
選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,
則他第年的月工資是：（元）；
選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增．
則他第年的月工資（元）．
小問2詳解】
若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報(bào)酬分別為：
公司A：
（元）．
公司B：（元），
因?yàn)?，故從公司得到的?bào)酬較多.
18. 如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)是下底面圓周上異于的動(dòng)點(diǎn)，圓柱的兩條母線．
（1）求證：平面平面；
（2）求四棱錐體積的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）18
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；
（2）應(yīng)用棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求出最大值即可.
【小問1詳解】
為圓柱的母線，平面，
又平面．①
是下底面圓的直徑，．②
①②及平面 , 平面，
平面，又平面平面平面．
【小問2詳解】
在中，設(shè)，則，
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“=”號(hào)．
故的最大值為18．
19. 已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)斜率為的直線與圓相交于兩點(diǎn)，
（1）求圓的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，繼而可寫出所求圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則，利用勾股定理求得的值,再根據(jù)圓心到直線的距離，建立方程，解出即可.
【小問1詳解】
設(shè)圓的半徑為，
圓與直線相切，
，
所以圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，即，
設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則，
則,
又由，得，
解得或
所以直線的方程為或．
20. 如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對(duì)角線交于點(diǎn)平面，平面是過直線的一個(gè)平面，與棱交于點(diǎn)，且．

（1）求證：；
（2）若平面交于點(diǎn)，求的值；
（3）若二面角的大小為，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）利用平面的基本事實(shí)證得三點(diǎn)共線，作于，利用平行關(guān)系推理計(jì)算即得.
（3）作出二面角的平面角，結(jié)合（2）的信息計(jì)算即得.
【小問1詳解】
四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，
而平面平面，平面，
所以.
【小問2詳解】
由平面，平面，得平面平面，
而，平面，于是平面，又平面，
則，即三點(diǎn)共線，由平面，平面，則，
如圖，在中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，于是，

設(shè)，由，得，，，
從而，所以，即．
【小問3詳解】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
由平面，平面，則，而平面，
則平面，而平面，于是，
則有為二面角的平面角，即，
在菱形中，由，得，則，
由（2）得，所以.
21. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）若數(shù)列滿足，求證：
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系求解；
（2），利用裂項(xiàng)相消法求解.
（3）由，利用分組求和法求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，．①，
②，
①-②得：，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，
所以；
【小問2詳解】
，
，
，
．
【小問3詳解】
，③
，④
③-④得：，
，
，
，
．
故.
22. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線的斜率為的面積為．已知，設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)分別為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當(dāng)直線與的斜率均存在時(shí)，討論直線是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）直線過定點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）由題意得，，結(jié)合的面積為列方程即可求解；
（2）設(shè)，，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，結(jié)合三點(diǎn)共線得，同理，得出關(guān)于的表達(dá)式即可求解.
【小問1詳解】

設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
直線的斜率為，又，
．
故拋物線的方程為：．
【小問2詳解】
設(shè)，過點(diǎn)的直線方程為：．
則聯(lián)立，整理得：，
由韋達(dá)定理可得：．
又設(shè)，
所以直線斜率為，
直線方程為，即的直線方程為：，
由三點(diǎn)共線可得：，即，
所以，
所以，因?yàn)椋曰?jiǎn)可得：，
同理，由三點(diǎn)共線可得：，
可得，
，
綜上可得的直線方程為：，
變形可得：，所以直線過定點(diǎn)．

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