解：過點P分別向OA、OB作垂線，
S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，F(xiàn)G =MN
PH=PE
點P在∠AOB的平分線上.
2、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF =BGCF.

證明：BD平分∠ABC，∠1 =∠2，
DF//BC，∠2 =∠3，
∠1=∠3，BF=DF.
同理：DE=CE.
EF =DFDF,
EF =BFCE.
3、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC =180°，對角線AC平分∠BAD.

（1）求證：BC =CD；
（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度數(shù)；
解:(1)如圖，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于點M;作CN⊥AD，垂足為N，
AC平分∠DAB，CM＝CN
又∠ABC +∠ADC＝180°，∠MBC +∠ADC＝180°
∠NDC＝∠MBC，在△NDC與△MBC中
BC=DC
(2)如圖，延長AB到B，使BB＝AD
AB+AD＝AC，∴AB＝AC
由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC與△BBC中
∴△ADC ≌△EBC，故AD＝EC
又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC
故△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°;
∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°
即∠BCD＝60°
4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)BC =a、AC =b、AB =c.
（1）求線段BG的長；[來源:學(xué).科.網(wǎng)]
（2）求證：DG平分∠EDF.
解：（1）△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
D是BC的中點
∴BD＝CD
∴BG =AC +AG
BG +(AC +AG)=AB +AC,
∴BG =（AB +AC)=（b+c)
(2)證明:點D.F分別是BC、AB的中點
∴DF＝AC=b，BF=AB=c
又FG＝BGBF =（b+c)-c =b
∴DF=FG
∴∠FDG＝∠FGD
點D.E分別是BC、AC的中點，
∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF
5、如圖，BAMN，垂足為A，BA =4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，過點C作CDMN，垂足為D，設(shè)AP =x.CD的長度是否隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數(shù)式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度.
解：CD的長度不變
理由如下:
如圖，延長CB和PA，記交點為點Q
∠BPC ＝∠BPA，BC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性質(zhì))
BA⊥MN，CD⊥MM
∴AB∥CD，
∴△QAB ∽△△QDC
AB/CD=QB/QC=1/2
∴CD＝2AB＝2×4＝8
即CD＝8;
6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.
（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點Q在邊BC上時，求m的值.
解：(1)存在.
O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2).
∴OA＝BC＝5，BC∥OA，
以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F
則∠OEA＝∠OFA＝90°，如圖1
作DG⊥EF于G，連DB，則DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF
∴DE==1.5
∴E(1,2),F(4,2),
∴當(dāng)，即1≤m≤9時，邊BC上總存在這樣的點P，使∠OPA＝90°;
(2)如圖2，
BC＝OA＝5，BC∥OA
∴四邊形OABC是平行四邊形
∴OC∥AB，
∴∠AOC +∠OAB＝180°，
OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°
∴∠AQO＝90°，
以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點E.F，
則∠OEA＝∠OFA＝90°，
∴點Q只能是點E或點F，
當(dāng)Q在F點時，OF、AF分別是∠AOC與OAB的平分線，BC∥OA
∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB
而OC＝AB，
∴CF＝BF，即F是BC的中點。
而F點為(4，2)，
此時m的值為6.5，
當(dāng)在E點時，同理可求得此時m的值為3.5，
綜上所述，m的值為3.5或6.5.
7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；
（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB//DE，AE/DC，求證：；
（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E。若EB=EC，請問當(dāng)點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論。（不必說明理由）
解：（1）如圖，過點D作DE//BC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE；
（2），；，；，；.在△ABE和△DEC中，，，，.
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，BH⊥CD于H，∠BFE＝∠CHE＝90°
AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中，BE=CE，EF= EH，
Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4.
BE=CE，∠1=∠2.
∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠ABC＝∠DCB，
四邊形ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”。
當(dāng)點E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時，有兩種情況：
如圖，當(dāng)點E在BC邊上時，
同理可以證明△EFB≌△EHC，∠B＝∠C，四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”
當(dāng)點B在四邊形ABCD的外部時，四邊形ABCD不一定是“準(zhǔn)等腰梯形”。
分兩種情況：
情況一：當(dāng)∠BED的角平分線與線段BC的垂直平分線重合時，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”；
情況二：當(dāng)∠BED的角平分線與線段BC的垂直平分線相交時，四邊形ABCD不是“準(zhǔn)等腰梯形.

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