注意事項
考生在答題前請認真閱讀本注意事項
1.本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回.
2.答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題紙指定的位置.
3.答案必須按要求填涂、書寫在答題紙上，在試卷、草稿紙上答題一律無效.
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的選項序號填涂在答題紙上.
1.二次函數的圖象的頂點坐標是（ ）
A.B.C.D.
2.已知的直徑是10，點到圓心的距離是10，則點與的位置關系是（ ）
A.點在內B.點在上C.點在外D.點在圓心
3.在一個不透明的袋子中裝有3個紅球，2個白球和4個黃球.每個球除顏色外其余均相同，從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是（ ）
A.B.C.D.
4.如圖，，分別與相切于，兩點，點為上一點，連接，，若，則的度數為（ ）
A.B.C.D.
5.如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為2：3，點，的對應點分別為點，.若，則的長為（ ）
A.8B.9C.10D.15
6.若點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A.B.C.D.
7.若圓錐的底面積為，高為12，則它的側面積為（ ）
A.B.C.D.
8.二次函數的圖象與軸有兩個不同交點，則的值可以是（ ）
A.0B.1C.2D.3
9.如圖，折疊矩形紙片，使點落在點處，折痕為，已知，，則的長為（ ）
A.B.C.D.
10.如圖，矩形中，點在雙曲線上，點，在軸上，延長至點，使，連接交軸于點，連接，則的面積為（ ）
A.3B.4C.5D.6
二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每題3分，第13~18題每題4分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11.若將拋物線向上平移3個單位，則所得新拋物線的解析式是______.
12.某蔬菜基地所建的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知，半徑，高度為______.
13.已知近視眼鏡的度數（度）與鏡片焦距（）成反比，當近視眼鏡的度數為200度時，鏡片焦距為，則鏡片焦距為時，近視眼鏡的度數為______度.
14.《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如圖所示，在井口處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點，如果測得，，，那么為______.
15.將一個籃球和一個足球隨機放入三個不同的籃子中，則恰有一個籃子為空的概率為______.
16.如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點，，，，都在的邊上，則與四邊形的面積比為______.
17.已知二次函數的圖象與軸交于，兩點，且滿足.當時，則該函數的最大值與滿足的關系式是______.
18.如圖，中，點為延長線上一點，且，若，，則的最大值為______.
三、解答題（本大題共8小題，共90分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19.（本小題滿分9分）
如圖，在中，為上一點，，求的值.
20.（本小題滿分10分）
如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于第一象限，兩點，與坐標軸交于，兩點，連接，（是坐標原點）.
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求的面積.
21.（本小題滿分10分）
有4張印有“梅”、“蘭”、“竹”、“菊”字樣的卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同），放在一個不透明的盒子中，將卡片洗勻.
（1）從盒子中任意取出一張卡片，恰好取出印有“蘭”字的卡片的概率為______；
（2）先從盒子中任意取出一張卡片，記錄后放回并攪勻，再從其中任意取出一張卡片，求取出的兩張卡片中，至少有1張印有“蘭”字的卡片的概率.（用列表法或畫樹狀圖）
22.（本小題滿分11分）
如圖，，，為上三點，線段的延長線與過點的切線互相垂直，點為垂足，，連接，.
（1）求的度數；
（2）若的半徑為2，求圖中陰影部分（弧與線段，圍成部分）的面積.
23.（本小題滿分10分）
某公司營銷，兩種產品，根據市場調研，確定兩條信息：
信息1：銷售種產品所獲利潤（萬元）與所售產品（噸）之間存在二次函數關系，如圖所示：
信息2：銷售種產品所獲利潤（萬元）與銷售產品（噸）之間存在正比例函數關系.根據以上信息，解答下列問題；
（1）求二次函數的表達式；
（2）該公司準備購進，兩種產品共10噸，請設計一個營銷方案，使銷售，兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少萬元？
24.（本小題滿分12分）
如圖，銳角三角形內接于，平分線交于點，交邊于點，連接.
（1）求證：；
（2）已知，，求線段的長（用含，的代數式表示）；
（3）已知點在線段上（不與點，點重合），點在線段上（不與點，點重合），，求證：.
25.（本小題滿分14分）
如圖，正方形中，點，分別在正方形的邊，上，以為直角邊作等腰直角三角形，且.
（圖1）（圖2）（圖3）
（1）如圖1，當點在邊上，且，時，則______；
（2）如圖2，若是的中點，與相交于點，連接，求證：平分；
（3）如圖3，若點和點重合，，分別交于點，，連接，求證：.
26.（本小題滿分14分）
用好錯題本可以有效的積累解題策略，減少再錯的可能.下面是小穎同學錯題本上的一道題，請仔細閱讀，并完成相應任務.
任務一：請幫助小穎完成上述錯題訂正；
任務二：若點也是此拋物線上的點，記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，直接寫出的取值范圍.
2023~2024學年度第一學期階段性評價
九年級數學參考答案與評分標準
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1.A2.C3.B4.D5.B6.D7.C8.B9.A10.A
第9題解題過程：連接交于點，則由折疊可知垂直平分于點，
從而.在中，由勾股定理，得，
于是．，，．
，即．．．
第10題解題過程：如圖，設交軸于，交于，
設，則，設．
點在上，，，
四邊形是矩形，，，
，，，
，，，，
，
二、填空題（本題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分）
11.12.413.25014.3
15.16.17.18.9
第18題解題過程：，，
，，，
，
，
最大時，最大，則最大，
經過點、、三點畫，是等邊三角形，，
在中，當為直徑時，最大為6，此時，，最大為：.
三、解答題（本題共8小題，共90分）
19.解，
.
，，
，
20.解：（1）把代入，得，反比例函數的表達式為：；
（2）把，代入，得，
解得，，
一次函數的解析式為，
把代入，得，
，
.
21.解：（1）；
（2）解法一：畫樹狀圖如下：
由圖可知，共有16種等可能的結果，其中取出的兩張卡片中，至少有1張印有“蘭”字的卡片的有7種結果，
故（取出的兩張卡片中，至少有1張印有“蘭”字的卡片）.
解法二：列表如下：
由表可知，共有16種等可能的結果，其中取出的兩張卡片中，至少有1張印有“蘭”字的卡片的有7種結果，故（取出的兩張卡片中，至少有1張印有“蘭”字的卡片）.
（用列表法請參照給分）
22.解：（1）連接，則，
，，是等邊三角形，
，
與相切于點，，，
，
的度數是.
（2）設交于點，
于點，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
圖中陰影部分的面積是.
23.解：（1）設銷售種產品所獲利潤與銷售產品之間的函數關系式為，
將、代入解析式，得：，解得：，
銷售種產品所獲利潤與銷售產品之間的函數關系式為；
（2）設購進產品噸，購進產品噸，銷售、兩種產品獲得的利潤之和為萬元，
則，
，
，
，
當時，取得最大值，最大值為6.6萬元，
答：購進產品6噸，購進產品4噸，銷售、兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元.
24.解：（1）平分，，
又，.
（2）由（1）得，
，
.
（3），又，，
，
，，
.
25.解：（1）.
（2）四邊形為正方形，，，
，，，
，，
是的中點，，，
又，，
，
，即平分；
（3）如圖，過點作交的延長線于點，
，可證得，，
，，
，，，，
，，，
在中，，，
，
，，
，即.
26.解：（1），
拋物線的對稱軸為；
（2）由
得拋物線的頂點坐標為，
當時：，
當時：，
，，
，過點垂直于軸的直線，如圖：
由圖象可知：當或時，直線與有且僅有一個交點，
的取值范圍為或；
（3）或.
（答對1個得2分，全對得5分）
解題過程：，，
，
當時，，，
①當在點的左側，即：，時，隨的增大而減小，
點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，
，
解得：或（舍去）；
②當在點與頂點坐標之間時，此時，即，不符合題意；
③當在坐標軸右側，即時，時，
點的縱坐標最大，拋物線的頂點處的縱坐標最小：，此時不符合題意；
當時，此時點的縱坐標最大，拋物線的頂點處的縱坐標最小，
解得：（舍去），或；；
綜上所述：或.*年*月*日星期天
錯題***
在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點，.
（1）求此拋物線的對稱軸；（用含的式子表示）
（2）記拋物線在，之間的部分為圖象（包括，兩點），軸上一動點，過點作垂直于軸的直線與有且僅有一個交點，求的取值范圍；
第2次
結果
第1次
梅
蘭
竹
菊
梅
（梅，梅）
（梅，蘭）
（梅，竹）
（梅，菊）
蘭
（蘭，梅）
（蘭，蘭）
（蘭，竹）
（蘭，菊）
竹
（竹，梅）
（竹，蘭）
（竹，竹）
（竹，菊）
菊
（菊，梅）
（菊，蘭）
（菊，竹）
（菊，菊）

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