時(shí)間：120分鐘 分值：120分
一、選擇題（滿分36分，共12小題，每小題3分）
1. 在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義的應(yīng)用，能理解一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，根據(jù)以上定義判斷即可．
【詳解】①符合一元二次方程的定義，故選項(xiàng)符合題意；
②當(dāng)時(shí)，是一元一次方程，不是一元二次方程，故選項(xiàng)不符合題意；
③化簡(jiǎn)后，是一元一次方程，不是一元二次方程，故選項(xiàng)不符合題意；
④不是整式方程，故選項(xiàng)不符合題意；
綜上可知是一元二次方程的共有1個(gè)
故選：A
2. 已知的半徑為5，是的弦，點(diǎn)P在弦上，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)C，連接，則，

，
，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
在中，根據(jù)勾股定理得：
,
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理和勾股定理，正確作輔助線，熟練利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3. △ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】解：設(shè)所對(duì)的邊分別為，
，
不妨設(shè)，由勾股定理得到

，
故選：B.
4. 已知，在矩形中，于，設(shè)，且，，則的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC．
【詳解】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的對(duì)邊AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵csα=，
∴，
∴AC=×4=，
由勾股定理得，BC==，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出BC是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則的正切值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接判斷是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】連接，
則，，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴，
故選D．
6. 如圖，中，，內(nèi)切于點(diǎn)，，，則的半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，連接、，，由切線長(zhǎng)定理可得，，，證明四邊形是正方形，設(shè)，則，，由勾股定理可得，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接、，，
，
由切線長(zhǎng)定理可得，，，
，，
，，
，，，，
四邊形是正方形，
設(shè)，則，，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：或（不符合題意，舍去），
的半徑為，
故選：D．
7. 如圖，線段 AB 經(jīng)過(guò)⊙O 的圓心， AC ， BD 分別與⊙O 相切于點(diǎn) C ，D ．若 AC =BD = 4 ，∠A=45°，則弧CD的長(zhǎng)度為（ ）
A. πB. 2πC. 2πD. 4π
【答案】B
【解析】
【分析】連接OC、OD，根據(jù)切線性質(zhì)和∠A=45°，易證得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得即可．
【詳解】連接OC、OD，
∵AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A=45°，
∴∠AOC=45°，
∴AC=OC=4，
∵AC=BD=4，OC=OD=4，
∴OD=BD，
∴∠BOD=45°，
∴∠COD=180°-45°-45°=90°，
∴的長(zhǎng)度為：=2π，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算等，證得∠COD=90°是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊長(zhǎng)，邊上的高為，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】證明，則，設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，解方程即可．本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x，則，
∴，
解得：，
即這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為．
故選：A
9. 下列語(yǔ)句中，正確的是（ ）
A. 長(zhǎng)度相等的兩條弧相等
B. 平分弦的直徑垂直于弦
C. 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等
D. 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距也相等．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理知，選項(xiàng)說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)符合題意；
D、任何圖形的對(duì)稱軸都是直線，而圓的直徑是線段，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
10. 2010年某市政府投資2億元人民幣建設(shè)了廉租房8萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同．設(shè)每年市政府投資的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A 2（1+x）2=9.5B. 2（1+x）+2（1+x）2=9.5
C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5D. 8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)每年市政府投資的增長(zhǎng)率為x．根據(jù)到2012年底三年共累計(jì)投資9.5億元人民幣建設(shè)廉租房，列方程求解
【詳解】（1）設(shè)每年市政府投資的增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．
故選C．
【點(diǎn)睛】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程
11. 關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為12，則的值為（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，再由代入即可.
【詳解】設(shè)，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；牢記韋達(dá)定理，靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
12. 若為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A. B. 12C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，則，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．
【詳解】解：為的實(shí)數(shù)根，
，即，
，
為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若、是一元二次方程的兩根時(shí)，則，．
二、填空題（滿分15分，共5小題，每小題3分）
13. 已知一元二次方程有一個(gè)根為1，則的值為_(kāi)_．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．根據(jù)一元二次方程的解的定義，把把代入方程得關(guān)于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
【詳解】解：一元二次方程有一個(gè)根為1，
把代入方程得，
解得．
故答案為：2．
14. 如圖，在中，，是的外接圓，，則圖中陰影部分的面積______（結(jié)果保留和根號(hào)）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、扇形面積公式，連接，，作于，由圓周角定理可得，從而得出，由含角的直角三角形的性質(zhì)可得，由垂徑定理可得，由勾股定計(jì)算出，，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
詳解】解：如圖，連接，，作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案為：．
15. 如圖是一個(gè)汽油桶的截面圖，其上方有一個(gè)進(jìn)油孔，該汽油桶的截面直徑為，此時(shí)汽油桶內(nèi)液面寬度，現(xiàn)在從進(jìn)油孔處倒油，當(dāng)液面時(shí)，液面上升了__________．
【答案】8或22
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．實(shí)質(zhì)是求兩條平行線間的距離，根據(jù)勾股定理求弦心距，作差或作和分別求解即可．
【詳解】連接．作于．則在直角中，，
，根據(jù)勾股定理得到：，
當(dāng)油面寬為時(shí)，連接．作于．
在直角中，，
，根據(jù)勾股定理得到：，即弦的弦心距是，
當(dāng)油面沒(méi)超過(guò)圓心O時(shí)，如圖
油上升了；
當(dāng)油面超過(guò)圓心O時(shí)，如圖
油上升了．
因而油上升了或．
故答案為8或22．
16. 若關(guān)于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有實(shí)數(shù)根，則 m 取值范圍是____．
【答案】m≤2且m≠1
【解析】
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有實(shí)數(shù)根，
∴?＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0，
解得m≤2且m≠1．
故答案為m≤2且m≠1．
17. 對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“◎”如下：◎．若◎，則_____．
【答案】-3或4
【解析】
【分析】利用新定義得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【詳解】根據(jù)題意得，，
，
，
或，
所以．
故答案為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
三、解答題（滿分69分，共8小題）
18. 計(jì)算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；
（2）先進(jìn)行算式平方根、正切值、絕對(duì)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：原式
；
【小問(wèn)2詳解】
解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及特殊角的三角函數(shù)、二次根式的混合運(yùn)算、絕對(duì)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟記特殊角的三角函數(shù)值，掌握運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．
19. 解下列方程：
（1）5x+2=3x2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）x1=3，x2=9．
【解析】
【分析】（1）先移項(xiàng)化簡(jiǎn)，再用因式分解法即可解出；
（2）先移項(xiàng)化簡(jiǎn)，再用因式分解法即可解出.
【詳解】（1）5x+2=3x2，
3x2﹣5x﹣2=0
（3x+1）（x﹣2）=0
所以x1=﹣，x2=2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，
x﹣3=0或x﹣9=0，
所以x1=3，x2=9．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元二次方程-因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握解一元二次方程-因式分解法.
20. 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若是方程的一個(gè)根，求的值及方程的另一個(gè)根．
【答案】（1）
（2），方程的另一根為
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式及方程的解，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
（1）由方程的根的情況可得到關(guān)于的不等式，可求得的取值范圍；
（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意得：，
解得；
【小問(wèn)2詳解】
解：把代入方程可得，
解得，
∴方程為，
解得或，
即方程的另一根為．
21. 如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90o，E為AB的中點(diǎn)，求證：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【詳解】試題分析: (1)易證△ADC∽△ACB 得即,
(2)由E為AB中點(diǎn)得CE= AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD.
試題解析:(1)∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
又∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB
∴即,
(2)∵E為AB的中點(diǎn),
∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD.
22. 某校初三課外活動(dòng)小組，在測(cè)量樹(shù)高的一次活動(dòng)中．如圖所示，測(cè)得樹(shù)底部中心A到斜坡底C的水平距離為8.8m，在陽(yáng)光下某一時(shí)刻測(cè)得l米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.8m，樹(shù)影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求樹(shù)高AB．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
【答案】樹(shù)高AB為16m
【解析】
【分析】點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算和相似三角形的相似比求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖，
∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，
∴∠DCF=30°，
而CD=3.2m，
∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，AC⊥AB，
∴四邊形AEDF是矩形，
∴AE=DF，DE=AF，
∵AC=8.8m，
∴DE=AF=AC+CF=8.8+，
∴，
∴BE=，
∴AB=BE+AE=≈16（m）．
答：樹(shù)高AB為16m．
【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，理解坡比，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在四邊形中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，平分．

（1）求證：是切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】（1）連，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得，進(jìn)而得出，可知，為圓的半徑，即可得出最后結(jié)論；
（2）連接，交于點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到，得出四邊形為矩形，進(jìn)而得出四邊形為矩形，設(shè)，得出，，利用勾股定理，求出的值，進(jìn)而求出最后結(jié)果
【小問(wèn)1詳解】
證明:如圖（1），連，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切線．
【小問(wèn)2詳解】
如圖（2），連接，交于點(diǎn)，

為的直徑，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，
，
，
，
，
四邊形為矩形，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角為直角，垂徑定理，中位線性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
24. 一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購(gòu)買力一批樹(shù)苗，園林公司規(guī)定：如果購(gòu)買樹(shù)苗不超過(guò)60棵，每棵售價(jià)120元；如果購(gòu)買樹(shù)苗超過(guò)60棵，每增加1棵，所出售的這批樹(shù)苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹(shù)苗最低售價(jià)不得少于100元，該校最終向園林公司支付樹(shù)苗款8800元，請(qǐng)問(wèn)該校共購(gòu)買了多少棵樹(shù)苗？
【答案】該校共購(gòu)買了80棵樹(shù)苗
【解析】
【分析】由題意知該校購(gòu)買樹(shù)苗超過(guò)60棵，設(shè)該校共購(gòu)買了x棵樹(shù)苗，根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】解：因?yàn)?0棵樹(shù)苗售價(jià)為120元×60＝7200元＜8800元，
所以該校購(gòu)買樹(shù)苗超過(guò)60棵，設(shè)該校共購(gòu)買了x棵樹(shù)苗，由題意得：
x[120－0.5(x－60)]＝8800，
解得：x1＝220，x2＝80．
當(dāng)x2＝220時(shí)，120－0.5×(220－60)＝40＜100，
∴x1＝220(不合題意，舍去)；
當(dāng)x2＝80時(shí)，120－0.5×(80－60)＝110＞100，
∴x＝80，
答：該校共購(gòu)買了80棵樹(shù)苗．
25. 如圖，是上的5等分點(diǎn)，連接，得到一個(gè)五角星圖形和五邊形．
（1）計(jì)算的度數(shù)；
（2）連接，證明：；
（3）求證：．

【答案】(1)36°;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）由題意可得∠COD=70°，由圓周角的定理可得∠CAD=36°；
（2）由圓周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME；
（3）通過(guò)證明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2=BE?NE，通過(guò)證明BM=NE，即可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵是上的5等分點(diǎn)，
∴的度數(shù)
∴
∵
∴
（2）連接

∵是上的5等分點(diǎn)，
∴
∴
∴，且
∴
∴
∴
（3）連接

∵
∴，且
∴
∴
∴，且
∴
∵
∴
∴
∴，且
∴
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的性質(zhì)和判定，證明△AEN∽△BEA是本題的關(guān)鍵．

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