2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．
3．請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握定義解答的關(guān)鍵．
【詳解】根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故選A．
2. 如圖，將繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角，，由即可求解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，
，
，
故選：C．
3. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 相等的圓心角所對(duì)的弧相等B. 相等的圓心角所對(duì)的弦相等
C. 相等的弧所對(duì)的弦相等D. 相等的弦所對(duì)的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】首先要明確否同圓或者等圓，其次還要明確優(yōu)弧還是劣弧.
【詳解】A、B選項(xiàng)中的結(jié)論必須要有“同圓或等圓”的前提，故均錯(cuò)誤；D選項(xiàng)除了要明確“同圓或等圓”外，還要明確是優(yōu)弧還是劣弧，故也錯(cuò)誤；
故選擇C.
【點(diǎn)睛】對(duì)于定理，一定不能忽略它的前提和一些限制條件.
4. 兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為5，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A. 內(nèi)切B. 相交C. 外切D. 外離
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系，本題直接告訴了兩圓的半徑及圓心距，根據(jù)數(shù)量關(guān)系與兩圓位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)情況便可直接得出答案．外離，則；外切，則；相交，則；內(nèi)切，則；內(nèi)含，則．（d表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．
【詳解】解：∵兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為5，且，
∴兩圓的位置關(guān)系是相交，
故選：B．
5. 在中，，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A. 36B. 80C. 90D. 100
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是明確三角函數(shù)的意義，準(zhǔn)確得出直角三角形邊之間的關(guān)系．根據(jù)三角函數(shù)值確定和的關(guān)系，再利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
6. 如圖，在和中，，要使與相似，還需要滿足下列條件中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形相似的判定，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可．
【詳解】∵，
∴，
∵，
，
故選A．
7. 如圖，兩圓相交于，兩點(diǎn)，小圓經(jīng)過大圓的圓心，四邊形內(nèi)接于小圓，點(diǎn)在大圓上，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于小圓，
∴，
故選：A．
8. 如圖，已知在中，，高，相交于O點(diǎn)，連接，那么下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A. B. 和的周長(zhǎng)比為
C. D. 和的面積比為
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，余弦函數(shù)，利用相似的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．
【詳解】∵，高，相交于O點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A正確；
∵，，
∴和周長(zhǎng)比為，
故B正確；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故D正確；
在和，只有一個(gè)公共角，無法判定相似，
故C錯(cuò)誤；
故選C．
9. 若拋物線向上平移p（p為正數(shù)且不等于3）個(gè)單位后，在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則p的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的平移，拋物線與x軸的交點(diǎn)，解不等式組，在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，函數(shù)值小于零；當(dāng)，函數(shù)值大于或等于零；
列式計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)題意，平移后的拋物線的表達(dá)式為，
∵平移后拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∴要使在范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，只需當(dāng)，函數(shù)值小于零；當(dāng)，函數(shù)值大于或等于零；
∴，
解得，
故選D．
10. 如圖，在直角中，，D，E分別是，上的一點(diǎn)，且．若以為直徑的圓與斜邊相交于M，N，則的最大值為（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于F，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，最小，根據(jù)垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】如圖，作于F，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，最小，有最大值，
∴，
連接，
∴，
根據(jù)垂徑定理，得，
故選B．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11. 函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而______．（填“增大”或“減小”）
【答案】減小
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的增減性，根據(jù)拋物線開口向下，對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大減小解答即可．
【詳解】∵，
∴拋物線開口向下，
∴，即對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大減小，
故答案：減小．
12. 如圖，是的弦，半徑，，則弦的長(zhǎng)是______．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.過點(diǎn)O作，垂足為C，利用垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可.
【詳解】解：過點(diǎn)O作，垂足為C，

∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：.
13. 雙曲線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作軸于C，連接，則的面積是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)k的幾何意義．根據(jù)題意得點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到，由反比例函數(shù)k的幾何意義得到，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：雙曲線與直線相交于A，B兩點(diǎn)，
點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
，
故答案為：2．
14. 如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，．
（1）的值為______；
（2）的面積為______．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】本題考查了角的平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的應(yīng)用，
（1）作于H，得，利用兩次勾股定理計(jì)算即可．
（2）利用三角函數(shù)求得即可．
【詳解】（1）作于H，
∵平分交于點(diǎn)D，，
∴，
在中，由勾股定理,得．
在中，，
即，
得，
得，
故答案為：6．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案為：．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15. 如圖，已知為的直徑，弦，，交于F．求證：．
【答案】證明詳見解析．
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理及推論，等腰三角形的判定定理，連接，證，根據(jù)圓周角定理的推論，等腰三角形的判定即可證得．
【詳解】證明：連接，
，
∴，
又∵，
∴，
，
．
16. 某種型號(hào)的蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，已知當(dāng)時(shí)，．
（1）求出I與R的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）某次使用這種蓄電池時(shí)，電路中電阻，求此時(shí)電路中電流的大小．
【答案】16. ；
17. ．
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)．熟練掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的值求函數(shù)值，是解決問題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)該反比函數(shù)解析式為 ，根據(jù)當(dāng) 時(shí)， ，可得該反比函數(shù)解析式為，
（2）把代入，即可求解．
小問1詳解】
解：設(shè)，
把，代入，
得，，
解得，，
∴；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，
，
答：所求電路中電流為．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17. 如圖，AB為的直徑，AC平分交于點(diǎn)C，，垂足為點(diǎn)D.求證：CD是的切線．
【答案】見解析
【解析】
【分析】連接OC，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠ACO，根據(jù)平行線的判定得出OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OC⊥DC，再根據(jù)切線的判定得出即可．
【詳解】解：證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC過圓心O，
∴CD是⊙O的切線．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記經(jīng)過半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線是解此題的關(guān)鍵．
18. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，O為邊的中點(diǎn)，若把四邊形繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，試解決下列問題：
（1）畫出四邊形旋轉(zhuǎn)后的圖形四邊形；
（2）設(shè)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求的值．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換作圖及解直角三角形，根據(jù)已知在Rt中求出的值是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到、、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、、，順次連接即可．
（2）先利用網(wǎng)格得出為直角三角形，再根據(jù)正切函數(shù)定義計(jì)算．
【小問1詳解】
解：四邊形如圖所示；
【小問2詳解】
連接，則，，，則，，
∴，則為直角三角形，
∴，
∴．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19. 從噴水池噴頭出的流水線，在空中形成一條拋物線，如圖所示．拋物線上點(diǎn)的豎直高度y（單位：m）與該點(diǎn)到噴頭的水平距離x（單位：m）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，求噴出的流水線到達(dá)的最大高度和最大的水平距離是多少？

【答案】流水線到達(dá)的最大高度為，最大的水平距離為9m
【解析】
【分析】本題考查了拋物線的應(yīng)用，利用配方法求解，令解方程計(jì)算即可．
【詳解】解：配方得，
當(dāng)時(shí)，，
令得，，
解得：，（舍去），
答：流水線到達(dá)的最大高度為，最大的水平距離為9m．
20. 如圖，A，B兩個(gè)村莊之間有一條小河，為測(cè)量A，B兩村之間的距離，在小河一側(cè)的公路l上選出了C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，并使，若測(cè)得，，米，試求A，B兩個(gè)村莊之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】米．
【解析】
【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，連接，作于E．求得，，的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，作于E．則四邊形是矩形，
在中，，
∴（米），
在中，，
∴（米）．
∴（米），
又四邊形是矩形，（米），
∴（米），，
∴（米），
∴（米），
答：A，B兩個(gè)村莊之間的距離為米．
六、（本題滿分12分）
21. 如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，OA=5，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C.
（1）求證：AB=AC；
（2）若，求⊙O的半徑.
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【解析】
【分析】（1）由同圓半徑相等和對(duì)頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質(zhì)和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據(jù)等角對(duì)等邊得AB=AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據(jù)勾股定理列等式，并根據(jù)AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．
【詳解】解：（1）連接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，
∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，
則⊙O半徑為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；并利用勾股定理列等式，求圓的半徑；此類題的一般做法是：若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系；簡(jiǎn)記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．
七、（本題滿分12分）
22. 某公司開發(fā)出一種新技術(shù)產(chǎn)品，上市推廣應(yīng)用，從銷售的第1個(gè)月開始，當(dāng)月銷售量y（件）與第x個(gè)月之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示，月產(chǎn)品銷售成本z（元）與當(dāng)月銷售量y（件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，每件產(chǎn)品的售價(jià)為100元．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和z與y之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）求第幾個(gè)月獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）；；
（2）第9個(gè)月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6500元
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法．
（1）利用待定系數(shù)法解答即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的最值．
【小問1詳解】
設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式，代入和，
得，
解得，
∴；
將代入，
得，
∴．
【小問2詳解】
設(shè)第x個(gè)月的利潤(rùn)為w元，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
答：第9個(gè)月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6500元．
八、（本題滿分14分）
23. 如圖1，在中，點(diǎn)P在最長(zhǎng)邊上，點(diǎn)Q在射線上，連接，，若，則稱點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”．
初步運(yùn)用
（1）如圖1，在中，點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”，證明：；
（2）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”，若，求的值；
拓展提升
如圖2，在等腰中，，在線段上找出一點(diǎn)P，在射線找出一點(diǎn)Q，使點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”．畫出圖形并求和的長(zhǎng)．
【答案】初步運(yùn)用：（1）證明詳見解析；（2）；拓展提升：圖見解析，，
【解析】
【分析】本題考查了三角形相似的新定義問題．
（1）根據(jù)點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”，得到，得到，結(jié)合公共角證明．
（2）根據(jù)點(diǎn)P，Q為，邊上一對(duì)“相似點(diǎn)”，得到，證明，列比例式計(jì)算即可．
過點(diǎn)B作，使交于P；過點(diǎn)P作，使交的延長(zhǎng)線于Q，根據(jù)定義計(jì)算求解即可．
【詳解】解：初步運(yùn)用
（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)．
∴，解得（其中負(fù)值舍去），
∴．
拓展提升
過點(diǎn)B作，使交于P；過點(diǎn)P作，使交的延長(zhǎng)線于Q．
∵，
∴，，
即，，
∴，
∴．

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