注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.若拋物線的焦點坐標為，則實數(shù)的值為（ ）
A.B.2C.D.4
4.下圖是函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)的解析 式可以是（ ）
A.B.
C.D.
5.已知甲盒中有3個紅球和2個黃球，乙盒中有2個紅球和1個黃球.現(xiàn)從甲盒中隨機抽取1個球放入乙盒中，攪拌均勻后，再從乙盒中抽取1個球，此球恰為紅球的概率是（ ）
A.B.C.D.
6.若，則（ ）
A.B.C.D.
7.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于，兩點.設為曲線在點處切線的斜率，為曲線在點處切線的斜率，則的最大值為（ ）
A.B.1C.D.
8.在平面四邊形中，，分別為，的中點.若，，且，則（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（ ）
A.B.C.D.
10.某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓.測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）與太陽中心的距離為，遠日點（距離太陽最遠的點）與太陽中心的距離為，并且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則（ ）
A.軌道的焦距為B.軌道的離心率為
C.軌道的短軸長為D.當越大時，軌道越扁
11.在正方體中，點為線段上的動點，直線為平面與平面的交線，則（ ）
A.存在點，使得面
B.存在點，使得面
C.當點不是的中點時，都有面
D.當點不是的中點時，都有面
12.設等比數(shù)列的公比為，前項積為，下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，且為數(shù)列的唯一最大項，則
D.若，且，則使得成立的的最大值為20
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知隨機變量的分布列如下：
則數(shù)學期望______.
14.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則不等式的解集為______.
15.已知，，，若在圓（）上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是______.
16.已知正四棱錐的頂點均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.（本題滿分10分）已知數(shù)列滿足，且.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列：
（2）求數(shù)列的前項和.
18.（本題滿分12分）如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對角線進行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.
圖1 圖2
（1）當時，求的長；
（2）當平面平面時，求平面和平面的夾角的余弦值.
19.（本題滿分12分）某廠為了考察設備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：
（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析設備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？
（2）如果以這次測試中設備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認為設備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認為設備更新失敗.
①求經(jīng)核查認定設備更新失敗的概率；
②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.
附：
20.（本題滿分12分）在中，角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.
（1）證明：；
（2）如圖，點在線段的延長線上，且，，當點運動時，探究是否為定值？
21.（本題滿分12分）已知函數(shù).
（1）若有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍：
（2）證明：.
22.（本題滿分12分）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，其中點，在第一象限.
（1）探求參數(shù)，滿足的關系式；
（2）若為坐標原點，為雙曲線的左焦點，證明：.
長沙市2024年新高考適應性考試
數(shù)學參考答案
5.解析 若從甲盒中抽到黃球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為；
若從甲盒中抽到紅球放入乙盒，則從乙盒中抽到紅球的概率為.
因此，從乙盒中抽到的紅球的概率為.
6.解析 由已知得，即（），
則.從而.
7.解析 易知，且.由，，
可得，，則.
設，則，可得在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，有，即的最大值為.
8.解析 如圖，可知.
由，即，可得.
從而，，即.
10.解析 由，解得，，
則軌道的焦距為，離心率為，軌道的短軸長為.
又，則越大時，離心率越小，則軌道越圓.
11.解析 當點與點重合時，由，可知面，即A正確.
若面，則，可得，即為直角三角形，且為斜邊.易知，與之矛盾，即B錯誤.
當不是的中點時，由，可知面，又直線為面與面的交線，則.從而，可得面，即C正確.
同上，有，而面，則面，即D正確.
12.解析 若，則，可得，即選項A錯誤；
而，即選項B正確.
若，且是數(shù)列的唯一最大項.當時，，不合題意；
當時，由，可得，即，解得，即選項C正確.
若，當時，，，滿足，不合題意；
當時，由可得，，，則，，…，（時，數(shù)列單調(diào)遞減），即選項D正確.
13.【答案】2.1
14.【答案】
15.【答案】
解析 設，將坐標代入式子，可得，
即，則點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.
依題意，兩圓有公共點，則，解得.
16.【答案】
解析 設球的半徑為，正四棱錐的高、底面外接圓的半徑分別為，.
如圖，球心在正四棱錐內(nèi)時，由，可得，
即（*）.
球心在正四棱錐外時，亦能得到（*）式.
又正四棱錐的體積為，則，代入（*）式可得.
通過對關于的函數(shù)求導，即，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，
在單調(diào)遞增，則.從而，球的體積的最小值.
17.（本題滿分10分）
解析 （1）由，
可知數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）可知，，則.
從而
.
18.（本題滿分12分）
解析 （1）由，，且，可得平面，則.
在中，根據(jù)勾股定理，..
（2）如圖，過點作于點，易知.
由平面平面，可知平面.
在平面中，過點作的垂線為軸，以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，
建立空間直角坐標系，則，，，，
有，，，.
設平面的法向量，則，
令，解得其中一個法向量；
設平面的法向量，則，
令，解得其中一個法向量.
從而，
即平面和平面夾角的余弦值為.
19.（本題滿分12分）
解析 （1）零假設為：設備更新與產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率獨立，即設備更新前與更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率沒有差異.
由列聯(lián)表可計算，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，
我們可以推斷不成立，因此可以認為設備更新后能夠提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.
（2）根據(jù)題意，設備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨立的.
①設表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則，可得
②實際上設備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時，認為更新失敗，此時作出了錯誤的判斷，由于作出錯誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.
20.（本題滿分12分）
證明 （1）由，可得，
則，整理得.
（2）根據(jù)，結(jié)合余弦定理可得，
即，則，
從而，故為定值.
21.（本題滿分12分）
解析 （1）易知函數(shù)的定義域為.由，可得.
設，則，，
且與有相同的零點個數(shù).
思路1：令，，則.
當時，，則，即，可得在單調(diào)遞減，
則有且僅有一個零點.
當時，顯然，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點.
當時，由，解得，，且.
當時，，即，則單調(diào)遞增；
當時，，即，則單調(diào)遞減.
不難得知，，則在有一個零點，可知不只一個零點，不合題意.
綜上，可知.
思路2：令，.
當時，在單調(diào)遞減，有，即，
可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點.
當時，.
若，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點.
若，存在，，且，使得.后續(xù)過程同思路1.
綜上，可知.
（2）取，當時，，有，
即，則.
令，，則，即，
從而.
22.（本題滿分12分）
解析 （1）聯(lián)立方程，整理得（*）.
由，且是雙曲線與直線的唯一公共點，可得，
則，即為參數(shù)，滿足的關系式.
結(jié)合圖象，由點在第一象限，可知，且.（若考生沒有給出，的范圍，不扣分）
（2）易知，雙曲線的左焦點，漸近線為.
聯(lián)立方程，解得，即；
聯(lián)立方程，解得，即.
結(jié)合，（*）式可變形為，解得，可得.
要證，即證，即證，
即證，即證（**）.
思路1：由，得.
根據(jù)直線的斜率公式，，，，
則，
，
可得，
因此，.
思路2：根據(jù)直線的斜率公式，，，，
則，.
要證（**）式，即證，
即證，化簡得，
由（*）式可知該式顯然成立.1
2
3
0.1
0.7
0.2
產(chǎn)品
優(yōu)質(zhì)品
非優(yōu)質(zhì)品
更新前
24
16
更新后
48
12
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
C
D
A
A
B
ACD
BC
ACD
BCD

相關試卷

湖南省長沙市2024屆高三上學期1月新高考適應性考試數(shù)學試卷(含答案)：

這是一份湖南省長沙市2024屆高三上學期1月新高考適應性考試數(shù)學試卷(含答案)，共15頁。試卷主要包含了選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷含答案解析：

這是一份湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷含答案解析，共14頁。試卷主要包含了請保持答題卡的整潔，若，則，下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

46，湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷：

這是一份46，湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷，共20頁。試卷主要包含了請保持答題卡的整潔， 若，則， 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷

湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷
湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷

湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷
湖南省長沙市2023屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷+答案

湖南省長沙市2023屆高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試卷+答案
2023屆湖南省長沙市高三上學期新高考1月適應性考試數(shù)學試卷（PDF版）

2023屆湖南省長沙市高三上學期新高考1月適應性考試數(shù)學試卷（PDF版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部