注意事項(xiàng)：
1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑?；卮鸱沁x擇題時(shí)，用簽字筆直接寫在答題卡的相應(yīng)位置，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非指定區(qū)域均無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知i為虛數(shù)單位，且，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．若，則“”是“，夾角為鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)，我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過多少天？（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．19 B．35 C．45 D．55
6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體各個(gè)面中，面積最大的面的面積為（ ）
A． B． C． D．8
7．已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
8．若，則（ ）
A． B．0 C． D．1
9．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且（其中為的前n項(xiàng)和），則（ ）
A．3 B．0 C． D．6
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
11．如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，將沿直線AE翻折成與B、F不重合，連結(jié)，H為中點(diǎn)，連結(jié)CH，F(xiàn)H，則在翻折過程中，下列說法中不正確的是（ ）
A．CH的長是定值
B．在翻折過程中，三棱錐外接球的表面積為
C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為
D．點(diǎn)H到面的最大距離為
12．關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．為奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．的最小值為2 D．在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．某高三年級共有800人，從中隨機(jī)抽取50人參加比賽，按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行等距抽?。畬⑷w學(xué)生進(jìn)行編號分別為1~800，并按編號分成50組，若第3組抽取的編號為36，則第16組抽取的編號為___________．
14．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
15．若一個(gè)數(shù)列的后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和__________．
16．已知直線l過圓的圓心，且與圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為___________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）某公司對其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：
（1）求變量x和y的樣本相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并推斷變量x和y的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱．）
（2）求年銷售量y關(guān)于年投資額x的回歸方程．并預(yù)測投資額為700萬元時(shí)的銷售量．（參考：）
參考：
18．（12分）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，D為棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面ABC；
（2）若，求點(diǎn)C到平面的距離．
19．（12分）在（1）；（2）；（3）．
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：
在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足條件___________（填寫所選條件的序號）．
（1）求角C；
（2）若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．
20．（12分）已知為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）點(diǎn)A，B在雙曲線C上，直線PA，PB與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線AB上，若，是否存在定點(diǎn)T，使得為定值？若有，請求出該定點(diǎn)及定值；若沒有，請說明理由．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若的最小值為1，求a．
（二）選考題：共10分，請考生在第22，23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分。
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)在直線l上且，射線OP與曲線C相交于異于O點(diǎn)的點(diǎn)Q，求對的最小值．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式的解集包含，求a的取值集合．
西安市2024年高三年級第一次質(zhì)量檢測
文科數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
1．C 由題得，所以，故．
2．C ，則，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為在第三象限．
3．B 作出不等式組所表示的平面區(qū)域．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，即．
4．B 若向量夾角為鈍角，則且不共線
所以，解得且，所以“”是“向量夾角為鈍角”的必要不充分條件．
5．B 設(shè)x天后當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則，即，
，．
6．A 如圖，在棱長為4的正方體中，C為棱的中點(diǎn)，三棱錐即為該幾何體．
其中為直角三角形，，所以其面積為；
為等腰三角形，，點(diǎn)C到邊BD的距離為4，所以其面積為；
為等腰三角形，，所以點(diǎn)C到邊AB的距離為，
所以其面積為；
為等腰三角形，，
所以點(diǎn)C到邊AD的距離為，
所以其面積為．
綜上，該幾何體各個(gè)面中面積最大的面為，其面積為．
7．D 因?yàn)?，由，得?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
8．B 因?yàn)椋裕?br>即，則
所以
則，即．
9．A ，又是奇函數(shù)，是周期為3的周期函數(shù)．
又，①
當(dāng)時(shí)，有②，由①-②，得，
即
是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
，
定義在上的奇函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，
．
10．D 圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，
則圓C的方程，設(shè)，由，可得，
整理得，則圓與圓有公共點(diǎn)，
則，即，解之得．
11．B 取的中點(diǎn)G，連接GH，GE，則，且，又，且，
所以，且，是平行四邊形，，而，故A正確；
對于B，取AE的中點(diǎn)O，連接，所以，即點(diǎn)O為三棱錐的外接球的球心，所以三棱錐的外接球的表面積為，故B錯(cuò)誤；
對于C，連接，連接，，即，
所以，即分別為的中點(diǎn)，，．
又M為DE的中點(diǎn)，，
，
又平面，又，
又平面CFH，
，故C正確；
對于D，令點(diǎn)D到面的距離為h，因?yàn)镠為中點(diǎn)，所以點(diǎn)H到面的距離為．
因?yàn)?，因?yàn)槿忮F的底面積是定值，
所以當(dāng)平面平面ABE時(shí)，三棱錐的體積最大，取AE的中點(diǎn)O，連接，則平面ABE，
所以，即，解得，
所以點(diǎn)H到面的最大距離為，故D正確．故選：B．
12．D 由題知，．所以，所的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
因?yàn)?，所以為偶函?shù)；故A不正確；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?，所以?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；故B不正確；
因?yàn)?，故C不正確；
當(dāng)時(shí)，，令，得，無解；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義，當(dāng)時(shí)，，
令，得，得無解，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義，
當(dāng)時(shí)，，
令，得，得，得，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義，當(dāng)，
令，得得，無解，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)無意義，當(dāng)時(shí)，，
令，得，得，得，
綜上所述：在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)和．故選：D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．詳解：800人一共分成50組，每組16人，所以組距為16，系統(tǒng)抽樣可以看成是一個(gè)組距為16的等差數(shù)列，由第三組，得．
答案：244
14．詳解：因?yàn)椋瑒t．
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，
令，其中，則，解得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得．
答案：
15．詳解：由題可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以．所以．
所以．所以，故，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，
答案：
16．詳解：圓，圓心，半徑，所以，
又橢圓，則，右焦點(diǎn)為，
所以，
又，即，所以，即，
所的最大值為15，最小值為3．則的最大值與最小值之和為18．
答案：18
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．詳解：（1）由題意，，，，，，
變量x和y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)；
（2），
∴年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程為．
當(dāng)時(shí)，，所以研發(fā)的年投資額為700萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量約為19.2千件．
18．詳解：（1）證明：設(shè)．
四邊形是菱形，D為棱BC的中點(diǎn)，．
在中，，由，解得．
，即．
，且平面．
平面，且平面ABC．
平面平面平面ABC；
（2）由和（1）知平面ABC，是點(diǎn)到平面ABC的距離．
平面ABC，，則是以為斜邊的直角三角形，
，點(diǎn)D為棱BC的中點(diǎn)，，
的面積，的面積．
設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，則．
，解得．點(diǎn)C到平面的距離為．
19．詳解：選（1）：，
，
；
選（2）：，
；
選（3）：，
，
；
（2），又，
在三角形BCD中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，的最小值為．
20．詳解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為，
由題意知，解得雙曲線C的方程為；
（2）設(shè)直線AB的方程為，
，消去y，得，
則，
直線PA方程為，令，則，同理，
由，可得，
,
，即，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線AB方程為，恒過定點(diǎn)，顯然不成立；
，此時(shí)直線AB方程為，恒過定點(diǎn)，
，取PE中點(diǎn)T，為定值，
∴存在點(diǎn)使為定值．
21．詳解：（1），
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．
（2），
令，則，令，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，且，
所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以．所以成立，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，舍去．
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，舍去，
綜上，．
（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分．
22．詳解：（1）由曲線C的參數(shù)方程，得曲線C的普通方程為．
即，得曲線C的極坐標(biāo)方程為；
直線l的極坐標(biāo)方程為，即；
（2）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為，其中．
由（1）知．
．
．
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2．
23．詳解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；
當(dāng)時(shí)，，解得；所以的解集為．
（2）關(guān)于x的不等式解集包含，
等價(jià)于在恒成立，
因?yàn)椋圆坏仁胶愠闪ⅲ?br>即在恒成立，即，
又，所以，所以a的取值集合是． x
1
2
3
4
5
y
1.5
2
3.5
8
15

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