高三數(shù)學(xué)高考高分突破之概率統(tǒng)計(jì)專題02 非線性回歸方程（原卷版）60

這是一份高三數(shù)學(xué)高考高分突破之概率統(tǒng)計(jì)專題02 非線性回歸方程（原卷版）60，共12頁。
該景點(diǎn)為了預(yù)測2021年的旅游人數(shù)，建立了與的兩個回歸模型：
模型①：由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程；
模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求模型②的回歸方程．精確到個位，精確到．
（2）根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)（單位：萬人，精確到個位）．
參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明：
①對于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為．
②刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)．
③參考數(shù)據(jù)：，．
表中．
例2． 近年來，隨著國家綜合國力的提升和科技的進(jìn)步，截至2018年底，中國鐵路運(yùn)營里程達(dá)13.2萬千米，這個數(shù)字比1949年增長了5倍；高鐵運(yùn)營里程突破2.9萬千米，占世界高鐵運(yùn)營里程的以上，居世界第一位．如表截取了年中國高鐵密度的發(fā)展情況（單位：千米萬平方千米）．
已知高鐵密度與年份代碼之間滿足關(guān)系式，為大于0的常數(shù)）．若對兩邊取自然對數(shù)，得到，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程，保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；
（2）利用（1）的結(jié)論，預(yù)測到哪一年，高鐵密度會超過30千米萬平方千米．
參考公式：設(shè)具有線性相關(guān)系的兩個變量，的一組數(shù)據(jù)為，，2，，
則回歸方程的系數(shù)：，．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，．
例3． 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：
產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在的為三等品，在的為二等品，在的為一等品，該產(chǎn)品的三、二、一等品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5,5.5（單位：元），以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)位于該區(qū)間的概率.
（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；
（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
表中，，，
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬元）的回歸方程.
（?。┙㈥P(guān)于的回歸方程；
（ⅱ）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤-營銷費(fèi)用，?。?br>參考公式：對于一組數(shù)據(jù)：，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計(jì)分別為，
例4． 近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，共享經(jīng)濟(jì)覆蓋的范圍迅速擴(kuò)張，繼共享單車、共享汽車之后，共享房屋以“民宿”、“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”，為了確定未來發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了天.得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），為入住天數(shù)（單位：），以頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)與“入住率”的散點(diǎn)圖如圖
（1）若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記為“入住率”超過的農(nóng)家樂的個數(shù)，求的概率分布列；
（2）令，由散點(diǎn)圖判斷與哪個更合適于此模型（給出判斷即可，不必說明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程.（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（3）若一年按天計(jì)算，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時，年銷售額最大？（年銷售額入住率收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)）
參考數(shù)據(jù)：
例5． 已知某種細(xì)菌的適宜生長溫度為，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量（單位：個）隨溫度（單位：）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：
對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表所示：
其中，.
（1）請繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類型（結(jié)果精確到0.1）；
（2）當(dāng)溫度為時，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少？
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.參考數(shù)據(jù)：.
例6． 噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了了解聲音強(qiáng)度（單位：分貝）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測量得到的聲音強(qiáng)度和聲音能量（=1，2…，10）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
表中，。
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個適宜作為聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸方程；
（3）當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時屬于噪音，會產(chǎn)生噪音污染，城市中某點(diǎn)共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是和，且.己知點(diǎn)的聲音能量等于聲音能量與之和。請根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷點(diǎn)是否受到噪音污染的干擾，并說明理由。
附：對于一組數(shù)據(jù).其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.
例7． 某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計(jì)劃，需了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中α,β,λ,t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，i=1,2,?,12，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．令ui=xi2,vi=lnyi(i=1,2,?,12)，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：
（1）設(shè)ui和yi的相關(guān)系數(shù)為r1，xi和vi的相關(guān)系數(shù)為r2，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？
附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2i=1n(yi?y)2，回歸直線y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2，a=y?bx；
② 參考數(shù)據(jù)：308=4×77，90≈9.4868，e4.4998≈90．
例8． 習(xí)近平總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這將進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展。以下是近幾年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：
（1）請根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個更適宜作為年銷售量關(guān)于年份代碼的回歸方程類型? (給出判斷即可，不必說明理由)
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測年我國新能源乘用車的銷售量(精確到).
附: 1.最小二乘法估計(jì)公式：
例9． 某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：
（Ⅰ）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中，為大于的常數(shù)）哪一個更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）；
（Ⅱ）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：
根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；
（Ⅲ）已知企業(yè)年利潤（單位：千萬元）與，的關(guān)系為（其中），根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，
例10．近年來隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，舊貨交易市場也得以快速發(fā)展.某網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺對2018年某種機(jī)械設(shè)備的線上交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設(shè)備的使用時間，（單位：萬元）表示其相應(yīng)的平均交易價(jià)格.
（1）已知2018年在此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺成交的該種機(jī)械設(shè)備為100臺，現(xiàn)從這100臺設(shè)備中，按分層抽樣抽取使用時間的4臺設(shè)備，再從這4臺設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺，求這2臺設(shè)備的使用時間都在的概率.
（2）由散點(diǎn)圖分析后，可用作為此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺上該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價(jià)格關(guān)于其使用時間的回歸方程.
表中，
（i）根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；
（ii）根據(jù)上述回歸方程，求當(dāng)使用時間時，該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價(jià)格的預(yù)報(bào)值（精確到0.01）.
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
參考數(shù)據(jù)：，，.
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人數(shù)（萬人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
回歸方程
①
②
30407
14607
5.5
449
6.05
83
4195
9.00
年份
2012
2013
2014
2015
2016
年份代碼
1
2
3
4
5
高鐵密度
9.75
11.49
17.14
20.66
22.92
16.30
24.87
0.41
1.64
x
50
100
150
200
300
400
t
90
65
45
30
20
20
溫度/
12
14
16
18
20
22
24
繁殖數(shù)量/個
20
25
33
27
51
112
194
18
66
3.8
112
4.3
1428
20.5
45.7
0.51
5.1
x
y
i=112(xi?x)2
i=112(yi?y)2
u
v
20
66
770
200
460
4.20
i=112(ui?u)2
i=112(ui?u)(yi?y)
i=112(vi?v)2
i=112(xi?x)(vi?v)
3125000
21500
0.308
14
年份
2013
2014
2015
2016
2017
年份代碼
新能源乘用車年銷量（萬輛）
其中