高三數(shù)學(xué)高考高分突破之概率統(tǒng)計(jì)專題23 彩票問題（解析版）33

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（2）求其獲得三等獎及以上獎的概率．
【解析】解：（1）某種彩票的投注號碼由7位數(shù)字組成，每位數(shù)字均為這10個數(shù)碼中的任意1個．
由搖號得出1個7位數(shù)（首位可為為中獎號，基本事件總數(shù)，
有6位相連數(shù)字與中獎號的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相同即得二等獎，
二等獎包含的基本事件個數(shù)，
其獲得二等獎的概率．（6分）
（2）其獲得三等獎及以上獎包含獲得一等獎、獲得二等獎、獲得三等獎3種情況，
其獲得三等獎及以上獎的概率．（16分）
例2．某彩票的號碼形如“”（其中，1，2，3，4，5，6，7，8，，，2，3，4，．現(xiàn)從這十個數(shù)字中每次取出一個數(shù)字，放回后再取下一個數(shù)字，取5次，依次按序排成一行成為一等獎號碼．若彩票上的號碼與一等獎號碼恰有4個連續(xù)的數(shù)字相同（包括數(shù)字順序相同）則為二等獎號碼，恰有3個連續(xù)的數(shù)字相同（包括數(shù)字順序相同）則為三等獎號碼，其它為不中獎號碼．
（1）求某人買一張彩票中一等獎的概率；
（2）若一等獎獎金1000元，二等獎獎金500元，三等獎獎金100元，求某人買一張彩票獲得獎金數(shù)（元的概率分布及其數(shù)學(xué)期望；
（3）某人買了3張彩票，恰有1張獲獎的概率是恰有2張獲獎的概率的多少倍？
【解析】解：（1）某人買一張彩票中一等獎的概率為；
（2）某人買一張彩票中二獎的概率為，
某人買一張彩票中三獎的概率為．
某人買一張彩票得獎金數(shù)（元的概率分布為：
則．
（3）購買彩票獲獎的概率為，
某人買了3張彩票，恰有1張獲獎的概率是，
恰有2張獲獎的概率是，
此時．
例3．某市發(fā)行一種電腦彩票，從1到35這35個數(shù)中任選7個不同的數(shù)作為一注，開獎號碼為從35個數(shù)中抽出7個不同的數(shù)，若購買的一注號碼與這7個數(shù)字完全相同，即中一等獎；若購買的一注號碼中有且僅有6個數(shù)與這7個數(shù)中的6個數(shù)字相同，即中二等獎；若購買的一注號碼中有且僅有5個數(shù)與這7個數(shù)中的5個數(shù)字相同，即中三等獎．
（1）隨機(jī)購買一注彩票中一等獎的概率是多少？隨機(jī)購買一注彩票能中獎的概率是多少？（結(jié)果可以用含組合數(shù)的分?jǐn)?shù)表示）
（2）從問題（1）得到啟發(fā)，試判斷組合數(shù)與的大小關(guān)系，并從組合的意義角度加以解釋．
【解析】（1）購買一注彩票中一等獎的概率
購買一注彩票能中獎的概率
（2）
即從個不同元素中取出不同元素的組合數(shù)不小于將個元素分成和兩部分，然后從個元素中取，從個中取個的方法數(shù)．
例4．某福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為2元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：
①該福利彩票中獎概率為0.2；
②每張中獎彩票的中獎獎金有5元，10元和100元三種；
③顧客購買一張彩票，獲得10元獎金的概率為0.08，獲得100元獎金的概率為．
（1）若某顧客每天都買一張?jiān)擃愋偷母＠势?，求其在?天才中獎的概率；
（2）福彩中心為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展，應(yīng)如何設(shè)定的取值．
【解析】（1）設(shè)：第天中獎，：第3天才中獎，
則
所以，該顧客第3天才中獎的概率為0.128 （4分）
（2）設(shè)賣出一張彩票可能獲得的資金為，
則可以取2，，，，（6分）
，
，
，
，
的分布列為：
（10分）
所以，
令，得
所以當(dāng)時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展．（12分）
例5．福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：①該福利彩票中獎率為；②每張中獎彩票的中獎獎金有5元，50元和150元三種；③顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為，獲得50元獎金的概率為．
（1）假設(shè)某顧客一次性花50元購買10張彩票，求該顧客中獎的概率；
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票獲得的資金為元，求的概率分布（用表示）；
（3）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求的取值范圍．
【解析】解：（1）設(shè)至少一張中獎為事件，
則顧客中獎的概率 ．
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為元，
則可以取5，0，，，
的分布列為：
（3）由（2）的期望為，
福彩中心能夠籌得資金，即，
所以當(dāng)時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．
例6．某種福利彩票每期的開獎方式是，從1，2，，20的基本號碼中由電腦隨機(jī)選出4個不同的幸運(yùn)號碼（不計(jì)順序），凡購買彩票者，可自由選擇1個，2個，3個或4個不同的基本號碼組合成一注彩票，若彩票上所選的基本號碼都為幸運(yùn)號碼就中獎．根據(jù)所選基本號碼（幸運(yùn)號碼）的個數(shù)，中獎等級分為
（1）求購買一注彩票獲得三等獎或者四等獎的概率；
（2）設(shè)隨機(jī)變量表示一注彩票的獲獎等級，取值0，1，2，3，表示未獲獎），求隨機(jī)變量的分布列．
【解析】（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)事件表示獲得三等獎或四等獎，
則（A）．
（2）由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
隨機(jī)變量的分布列為：
例7．一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上中的兩個數(shù)字（允許重復(fù)）．中獎規(guī)則如下：
如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的兩個有序數(shù)字分別對應(yīng)相等，則中一等獎10元；
如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元；
其他情況均無獎金．
（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)“購買一張這種彩票中一等獎”為事件，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件，請指出事件的含義，并求事件發(fā)生的概率；
（Ⅲ）設(shè)購買一張這種彩票的收益為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望．
【解析】解：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，
小明中一等獎的概率是一個古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件由分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，
滿足條件的事件是1個，
小明（小輝）中一等獎的概率為
由相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式得到
小明，小輝都中一等獎的概率為
（Ⅱ）事件的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”
顯然，事件與事件互斥，
所以，（A）（B）
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．
（Ⅲ）對應(yīng)不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：
購買一張這種彩票的期望收益為損失1.72元．
例8．福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè)，現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：①該福利彩票中獎率為；②每張中獎彩票的中獎獎金有5元，50元和150元三種；③顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為，獲得50元獎金的概率為．
（1）假設(shè)某顧客一次性花15元購買三張彩票，求其至少有兩張彩票中獎的概率；
（2）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)，求的取值范圍．
【解析】解：（1）設(shè)至少有兩張彩票中獎事件，則（A），
（2）設(shè)福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為，則可以取5，0，，，
故的分布列為
所以的期望為
所以當(dāng)時，即
所以當(dāng)時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)．
例9．某人酷愛買彩票，一次他購買了1000注的彩票，共有50注中獎，于是他回到家對彩票的號碼進(jìn)行了分析，分析后又去買了1500注的彩票，有75注中獎．請分析他對號碼的研究是否對中獎產(chǎn)生了大的影響．
【解析】解：根據(jù)題意可知購買1000注的彩票，中獎50注，未中獎的有950注；購買1500注彩票，中獎75注，未中獎的有1425注．
列出對應(yīng)的列聯(lián)表如下：
假設(shè)：對彩票號碼的研究與中獎無關(guān)．
由表中數(shù)據(jù)，得的觀測值為．
因?yàn)?，所以沒有足夠的證據(jù)說明對彩票號碼的分析與中獎有關(guān)．
例10．某種彩票是由7位數(shù)字組成，每位數(shù)字均為這10個數(shù)碼中的任一個．由搖號得出一個7位數(shù)（首位可為為中獎號，如果某張彩票的7位數(shù)與中獎號碼相同即得一等獎；若有6位相連數(shù)字與中獎號的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相同即得二等獎；若有5位相連數(shù)字與中獎號的相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字相同即得三等獎；各獎不可兼得．某人一次買了10張不同號碼的彩票．
（1）求其獲得一等獎的概率；
（2）求其獲得三等獎及以上獎的概率．
【解析】解：（1）7個數(shù)字的所有排列共計(jì)種，買一注彩票獲得一等獎的選法僅有一種，
故他買一注彩票獲得一等獎的概率為．
再根據(jù)此人一次買了10張不同號碼的彩票，故他買一注彩票獲得一等獎的概率為．
（2）他中二等獎的概率為，他中三等獎的概率為，
故他獲得三等獎及以上獎的概率為．
例11．售價為2元的某種彩票的中獎概率如下：
（Ⅰ）某人花6元買三張?jiān)摲N彩票，恰好獲利2元的概率為多少？
（Ⅱ）某人花4元買兩張?jiān)摲N彩票，記獲利為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【解析】解：（Ⅰ）記“某人花6元買三張?jiān)摲N彩票，恰好獲利2元”為事件，可知事件有三種情況：第一種中獎金額為0，0，8；第二種中獎金額為2，2，4；第三種中獎金額位0，4，4，則
（A）；
（Ⅱ）某人花4元買兩張?jiān)摲N彩票，記獲利為元，取值分別為，，0，2，4，6，8，12，則
，，
，，
，，
，
的分布列為
數(shù)學(xué)期望
例12．一種填數(shù)字彩票2元一張，購買者在彩票上依次填上中的兩個數(shù)字（允許重復(fù)），中獎規(guī)則如下：如果購買者所填的兩個數(shù)字依次與開獎的四個有序數(shù)字分別對應(yīng)相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數(shù)字中，只有第二個數(shù)字與開獎的第二個數(shù)字相等，則中二等獎2元，其他情況均不中獎．
（1）小明和小輝在沒有商量的情況下各買了一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
（2）求購買一張這種彩票能夠中獎的概率；
【解析】解：（1）由題意知本題是一個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，
小明中一等獎的概率是一個古典概型，
試驗(yàn)發(fā)生的所有事件由分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，
滿足條件的事件是1個，
小明（小輝）中一等獎的概率為
由相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式得到
小明，小輝都中一等獎的概率為
（2）購買一張這種彩票能夠中獎包括中一等獎或中二等獎，
購買一張這樣的彩票：
中一等獎的概率為
中二等獎的概率為
這兩個事件是互斥事件．
購買一張彩票能中獎的概率為：
1000
500
100
0
2
0.8
0.08
5
0
0.5
0.02
基本號碼數(shù)
（幸運(yùn)號碼數(shù)）
1
2
3
4
中獎等級
四等獎
三等獎
二等獎
一等獎
0
1
2
3
4
0
8
0.9
0.09
0.01
5
0
中獎注數(shù)
未中獎注數(shù)
總計(jì)
未分析
50
950
1000
分析后
75
1425
1500
總計(jì)
125
2375
2500
中獎金額元
0
2
4
8
中獎概率
0.7
0.2
0.08
0.02
0
2
4
6
8
12
0.49
0.28
0.152
0.032
0.0344
0.008
0.0032
0.0004