一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化簡集合A，求出函數(shù)的定義域化簡集合B，再利用并集的定義求解即得.
【詳解】解不等式，得，即，
函數(shù)有意義，得，解得，則，
所以.
故選：C
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別是，則的模是（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的除法化簡，模長公式求模.
【詳解】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點分別是，
則有，，， ，
.
故選：D
3. 已知圓錐的母線長為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，
則，所以，所以.
故選：A.
4. 下列敘述錯誤的是（ ）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的值為
C. ，
D. 設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】寫出存在量詞命題的否定判斷A；利用冪函數(shù)的定義性質(zhì)求出m判斷B；借助指對數(shù)函數(shù)圖象判斷C；利用充分不必要條件定義判斷D.
【詳解】對于A，命題“，”的否定是“，”，A正確；
對于B，由，解得，B正確；
對于C，當(dāng)時，函數(shù)的圖象在直線上方，函數(shù)的圖象在直線下方，則，C正確；
對于D，由，得或，因此“”不是“”的充分不必要條件，D錯誤.
故選：D
5. 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與點的距離為1且與圓相切的直線有（ ）
A. 4條B. 3條C. 2條D. 0條
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，判斷以點為圓心，1為半徑的圓與已知圓的位置關(guān)系即可得解.
【詳解】依題意，與點的距離為1的直線始終與以點為圓心，1為半徑的圓相切，
而此直線與圓相切，因此該直線是圓與圓的公切線，
又圓的圓心，半徑為2，顯然，
所以兩圓外切，它們有3條公切線，即所求切線條數(shù)是3.
故選：B
6. 小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出X的取值可能，計算每種可能的概率后結(jié)合方差定義計算即可得.
【詳解】由題意可知，X的取值可能為，，，
因為，
，
，
所以，
故．
故選：B.
7. 雙曲線：（，）的一條漸近線過點，，是的左右焦點，且焦點到漸近線的距離為，若雙曲線上一點滿足，則（ ）
A. 3或7B. 7C. 5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用給定條件求出，再利用雙曲線定義求解即得.
【詳解】雙曲線：的漸近線方程為，由在其中一條漸近線上得，
因為焦點到漸近線的距離為，由對稱性，則右焦點到一條漸近線距離，
因此，由雙曲線定義得，而，解得或，
顯然，雙曲線：上的點到焦點距離的最小值為，所以.
故選：B
8. 某中學(xué)200名教師年齡分布圖如圖所示，從中隨機(jī)抽取40名教師作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按年齡從小到大編號為1~200，分為40組，分別為1~5，6~10，…，196~200.若從第4組抽取的號碼為18，則樣本中40~50歲教師的編號之和為（ ）
A. 906B. 966C. 1506D. 1566
【答案】D
【解析】
【分析】先求出40~50歲教師的編號范圍，再得出分別在哪些組中，由系統(tǒng)抽樣方法得出被抽出的編號，從而得出答案.
【詳解】因為200名教師中40~50歲教師占30%，
所以200名教師中40~50歲教師有60人，編號分布在101~160之間，在第21~32組中，
所以樣本中40~50歲教師的編號分別為103，108，…，158，
故樣本中40~50歲教師的編號之和為.
故選：D
9. 若展開式中最大的二項式系數(shù)為，則直線與曲線圍成圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二項式定理及組合數(shù)性質(zhì)得，再應(yīng)用定積分及微積分基本定理求圍成圖形的面積.
【詳解】由二項式定理及組合數(shù)性質(zhì)知：最大的二項式系數(shù)為，
所以直線，聯(lián)立，得，故或3，
所以直線與曲線圍成圖形的面積為.
故選：A
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A. 在區(qū)間上的最小值為
B. 為偶函數(shù)
C. 圖象的對稱中心是，
D. 的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圖象求得的解析式，結(jié)合三角函數(shù)最值、奇偶性、對稱性、圖象變換等知識確定正確答案.
【詳解】由圖可知，，
所以，，
由于，
所以，所以.
A，，
當(dāng)時，取得最小值為，故A錯誤；
B，為偶函數(shù)，故B正確；
C，由解得，故C錯誤；
D，的圖象向右平移個單位得到，故D錯誤.
故選：B
11. 如圖，已知正方體的棱長為為底面正方形內(nèi)（含邊界）的一動點，則下列結(jié)論中:①若點為的中點，則的最小值為；②過點作與和都成的直線，可以作四條；③若點為的中點時，過點作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面周長為；④若點到直線與到直線的距離相等，的中點為，則點到直線的最短距離是.其中正確的命題有（ ）
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
【答案】C
【解析】
【分析】延長到，使，求出判斷①；求出過點與直線都成的直線條數(shù)判斷②；作出符合條件的截面并求出周長判斷③；確定點軌跡，建系求出方程，再利用點到直線距離公式求出最小值判斷④即可得解.
【詳解】在棱長為的正方體中，
延長到，使，由點為的中點，得平面是線段的中垂面，連接，
則，,
當(dāng)且僅當(dāng)點為直線與平面的交點時取等號，①正確；
連接，四邊形是正方體的對角面，則四邊形是矩形，即，
顯然，則，的平分線與直線都成的角，
顯然在空間過點作與直線都成角的直線只有1條，
則過空間任意點作與直線都成角的直線只有1條，②錯誤；
當(dāng)點為的中點時，取的中點，連接，
顯然≌，則，，
即有，而平面，平面，則，
又平面，于是平面，而平面，
因此，同理，顯然平面，
所以是平面截正方體所得截面，其周長為，③錯誤；
由于平面，則點到直線距離等于，即點到點的距離等于它到直線的距離，
因此點軌跡是以點為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線在正方形及內(nèi)部，
以線段中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
點軌跡方程為，直線的方程為，令，
因此點到直線：的距離，
于是當(dāng)，即點時，，④正確，
所以正確命題的個數(shù)為2.
故選：C
【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質(zhì)，確定動點與所在平面內(nèi)的定點或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解.
12. 已知函數(shù)，若方程有5個不同的實數(shù)根，且最小的兩個實數(shù)根為，，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意作出與的大致圖象，結(jié)合圖象與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的取值范圍，再利用韋達(dá)定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解.
【詳解】如圖，作出函數(shù)與的大致圖象，
若方程有5個不同的實數(shù)根，
則圖象與的圖象有5個不同的交點，
當(dāng)時，，的圖象與的圖象無交點，
當(dāng)時，，的圖象與的圖象有2個交點
所以，
當(dāng)直線與的圖象相切時，設(shè)切點坐標(biāo)為，
由可得，則切線斜率，
故，則，結(jié)合圖象可得m的取值范圍為，
由，得，則恒成立，
設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為，，則，，
故，
因為開口向上，對稱軸為，
又，所以的取值范圍為．
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是作出與的大致圖象，充分利用數(shù)形結(jié)合求得的取值范圍，從而得解.
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 已知，，則在方向上的投影數(shù)量等于__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義，應(yīng)用數(shù)量積、模長的坐標(biāo)運算求在方向上的投影數(shù)量.
【詳解】在方向上投影數(shù)量.
故答案為：
14. 已知滿足約束條件，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后設(shè)，表示點與點連線的斜率，觀察圖像計算可得范圍.
【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：
設(shè)，則表示點與點連線的斜率，
又，
所以，
即的取值范圍為.
故答案為：.
15. 已知拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，點，在拋物線C上，若，則___.
【答案】
【解析】
【分析】先求得拋物線C的方程，再利用拋物線定義和題給條件即可求得的值.
【詳解】拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，
則，則拋物線，
由點，在拋物線C上，可得，，
由，可得，
即，則，
又，
則，則
故答案為：4
16. 在銳角三角形中，角所對的邊為，且.若點為的垂心，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】由，結(jié)合正弦定理和誘導(dǎo)公式，，連接AH并延長，與BC交于點D，延長CH與AB交于點E，則，，然后利用面積公式和和差角公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即得.
【詳解】根據(jù)，
由正弦定理得，，
因為銳角三角形，所以，
，
又，
，易知，，又，所以，
然后利用面積公式和和差角公式求解即得.
如圖，連接AH并延長，與BC交于點D，延長CH與AB交于點E，則，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
又，
，又，
所以，
，
因為，所以，
所以，
所以，所以，
所以， ，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將用關(guān)于的三角函數(shù)表示，進(jìn)而借助三角函數(shù)的有界性求解
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 某汽車銷售店以萬元每輛的價格購進(jìn)了某品牌的汽車.根據(jù)以往的銷售分析得出，當(dāng)售價定為萬元/輛時，每年可銷售輛該品牌的汽車，且每輛汽車的售價每提高千元時，年銷售量就減少輛.
（1）若要獲得最大年利潤，售價應(yīng)定為多少萬元/輛?
（2）該銷售店為了提高銷售業(yè)績，推出了分期付款的促銷活動.已知銷售一輛該品牌的汽車，若一次性付款，其利潤為萬元;若分期或期付款，其利潤為萬元;若分期或期付款,其利潤為萬元.該銷售店對最近分期付敘的位購車情況進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表：
若X表示其中任意兩輛的利潤之差的絕對值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）萬元/輛
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）設(shè)銷售價格提高了萬元/輛，年利潤為萬元，表示出利潤，即可得出結(jié)果；
（2）利用超幾何分布結(jié)合古典概型求概率，得出分布列即可求解數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
設(shè)銷售價格提高了萬元/輛，年利潤為萬元．
則由題意得年銷售量為，
．
故當(dāng)時，取最大值．此時售價為萬元/輛．
所以當(dāng)售價為萬元/輛時，年利潤最大．
【小問2詳解】
由圖表可知，利潤為萬元的有輛，
利潤為萬元的有輛，萬元的有輛．
所以，
，
，
所以的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望．
18. 已知數(shù)列的前n項和為，，且，數(shù)列滿足， ，其中n∈N*．
（1）分別求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意推得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，求得，再由，利用累乘法，求得數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）知，，得到，結(jié)合乘公比錯位相減法求和，即可求解.
【小問1詳解】
解：由，可得，
兩式相減，可得，即，
又由時，，可得，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項公式為，
由，可得，
故，，，……，，，
以上個式子相乘得，，
所以數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，，
可得，所以，
所以，，
兩式相減得，，
所以．
19. 在梯形中，，，，P為的中點，線段與交于O點（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.

（1）求二面角的余弦值；
（2）線段上是否存在點Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】19.
20. 存在，
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解；
（2）設(shè)，表示出，利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.
【小問1詳解】
因為在梯形中，，，，為的中點，所以，，，
所以是正三角形，四邊形為菱形，
可得，，
而平面平面，平面平面，
平面，，
平面，所以，，兩兩互相垂直，
如圖，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，則，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，則，，
，
，
所以二面角的余弦值為.
【小問2詳解】
線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為.
設(shè)，因為，，所以，
設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得，
所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.
20. 已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
（2）已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意，且，問題轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷的取值.
（2），通過構(gòu)造函數(shù)判斷的符號得的單調(diào)性，由最小值得，再由的零點，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性求的值域.
【小問1詳解】
函數(shù)，定義域為，
當(dāng)時，顯然不滿足題意，
當(dāng)時，若函數(shù)只有一個零點，即只有一個根，
因為1不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個根，
即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個交點.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時有極小值，圖象如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個交點，則或，
綜上的取值所構(gòu)成的集合為.
【小問2詳解】
由題意知，
令，得，所以在上單調(diào)遞增.
又，由零點的存在性定理知存在使得，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
故
又，所以，又，所以.
令，則，在恒成立，在單調(diào)遞減，
，由得.
將代入，得.
令，得，
所以在單調(diào)遞減，又
所以的值域為.
【點睛】方法點睛：
利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.
21. 已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為，到直線的距離為，且.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線m與橢圓交于兩點，過且與m垂直的直線n與圓O：交于C，D兩點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到直線的方程，結(jié)合到直線的距離，進(jìn)而求得的值，即可求解；
（2）①當(dāng)直線的斜率為時，直線和的方程，求得的值，得到；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線和的方程，求得，可得；
③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，直線，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式，求得，利用換元法和函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意得，直線的方程為，即，
則到直線的距離，
又由，且，可得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
解：①當(dāng)直線的斜率為時，直線的方程為，
代入橢圓方程可得，.
直線的方程，代入圓的方程可得，，
所以，，可得；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，
代入橢圓方程可得，.
直線的方程，代入圓的方程可得，，
所以，，可得；
③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，
則，點到直線n的距離，圓的半徑，
根據(jù)圓性質(zhì)得，所以，
將代入曲線E的方程，
整理得，
則恒成立.
設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，，，
則，
所以，
因為，所以，所以，
令，則，且.
令，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.又，，
所以，即，
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：求解圓錐曲線的最值問題的解答策略與技巧：
1、若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；
2、當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線與曲線有2個公共點，求的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）消參后結(jié)合可得曲線的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可化簡直線l為直角坐標(biāo)方程.
（2）利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
因為，，，
將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，并結(jié)合
可得曲線的普通方程為：．
直線的極坐標(biāo)方程為，
將，代入上式，得直線的直角坐標(biāo)方程為．
【小問2詳解】
曲線是以為圓心，1為半徑四分之一圓弧，
且圓弧兩端點的坐標(biāo)分別為和，作出曲線與直線，如圖所示，
當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線與曲線有兩個交點，此時．
當(dāng)直線與曲線相切時，有，解得或（舍去）．
數(shù)形結(jié)合可知的取值范圍為．
23. 已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分類討論將函數(shù)的絕對值去掉.
（2）依據(jù)絕對值函數(shù)的特殊性進(jìn)行分類討論，解出每種情況下參數(shù)的取值范圍，最后求交集.
【詳解】解：（1），即，利用零點分區(qū)間法，對去絕對值，
當(dāng)時，由，得，所以，
當(dāng)時，成立，所以，
當(dāng)時，由，得，所以.
綜上可知，不等式的解集為.
（2）由題意，可知，
由（1）得當(dāng)時，恒成立，因為，所以時不等式恒成立；
當(dāng)時，恒成立，所以時不等式恒成立；
當(dāng)時，恒成立，而，所以時不等式恒成立；
當(dāng)時，即恒成立，而，
所以不等式恒成立.
綜上，滿足要求的的取值范圍為.
【點睛】對于恒成立問題，若進(jìn)行了分類討論，則最后參數(shù)的取值范圍必須是每種情況下取值范圍的交集.
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