黃金卷01-【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

黃金卷01
（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）
第I卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。
1．設(shè)集合，，且，則（）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【解析】，，
∵，∴，∴，
故選：D.
2．已知，則（）.
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】由，得，
則，所以.
故選：C.
3．已知的圖象與直線在區(qū)間上存在兩個交點，則當(dāng)最大時，曲線的對稱軸為（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】當(dāng)時，
要使得的圖象與直線存在兩個交點，
則，解得，
又因為，所以，所以，
此時曲線的對稱軸為，，
解得，，
故選：D
4．函數(shù)的圖像大致為（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
對任意，，
所以，
所以的定義域為，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù).
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定義域為，
又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，
當(dāng)時，是減函數(shù)，
則，，
所以，排除A選項.
故選：C
5．如圖，正方形中，是線段上的動點，且，則的最小值為（）

A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】正方形中，，則，
而，則，
又點共線，于是，即，而，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以當(dāng)時，取得最小值.
故選：C
6．謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個實心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】第一種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為；
第二種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，
第三種挖掉的三角形邊長為，共個，
面積為，
故被挖去的三角形面積之和是.
故選：D
7．已知函數(shù)滿足對于任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，對于任意實數(shù)，都有成立，
不妨設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得.
故選：D
8．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，
因為，則四邊形為矩形，
所以，
則，．
．
．
即，
則，
因為，則，
可得，即，
所以，
即雙曲線離心率的取值范圍是，
故選：C．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．已知圓M：，則下列關(guān)于圓M的結(jié)論正確的是（）
A．點在圓M內(nèi)
B．圓M關(guān)于直線對稱
C．圓M與圓O：相切
D．若直線l過點，且被圓M截得的弦長為，則l的方程為
【答案】BC
【解析】圓的方程為，即圓心為，半徑為，
對于A：因為，所以點在圓外，故選項A錯誤；
對于B：因為，所以圓心在直線上，故選項B正確；
對于C：因為圓O、圓的圓心距為，兩圓的半徑差為，
所以兩圓內(nèi)切，故選項C正確；
對于D：當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為，圓心到直線l的距離為，
直線被圓所截得的弦長為，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，圓心到直線l的距離為，
解得，可得直線l的方程為，綜上所述，直線l的方程為或，故選項D錯誤.
故選：BC.
10．下列說法正確的是（）
A．若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的方差為1
B．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，，則等于0.5．
C．“”是直線與直線互相垂直的充要條件
D．無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點
【答案】ABD
【解析】對于A：若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的穩(wěn)定程度沒有發(fā)生改變，方差還是，A正確；
對于B：隨機(jī)事件A和B互斥，且，，
則，
則，B正確；
對于C：若直線與直線互相垂直，則，
解得或，
故“”是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，C錯誤；
對于D：直線
即為，令，解得，
即無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點，D正確.
故選：ABD.
11．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列說法正確的有（）
A．當(dāng)點是中點時，直線平面；
B．直線到平面的距離是；
C．存在點，使得；
D．面積的最小值是
【答案】AC
【解析】對于A，由是中點，，得點是的中點，連接，顯然也是的中點，連接，
于是，而平面，平面，所以直線平面，A正確；
對于B，分別是棱的中點，則，平面，平面，于是平面，
因此直線到平面的距離等于點到平面的距離h，
，
，，，
由，得，B錯誤；
以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，,
對于C，設(shè)，則，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在點，使得，C正確；
對于D，由選項C得在的投影點為，
則P到的距離，
面積為，所以當(dāng)時，取得最小值為，D錯誤.
故選：AC
12．已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，則下列說法中一定正確的是（）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．的圖像關(guān)于直線對稱
【答案】AD
【解析】解：因為是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，故A正確；
因為是定義在上的函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱，所以，不一定為0，故B錯誤；C明顯錯誤；
因為，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.
故選：AD
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【解析】因為的展開式中各項系數(shù)的和為，
令，可得，解得.
故答案為：.
14．已知等差數(shù)列的前項和分別為，且，則．
【答案】
【解析】等差數(shù)列的前項和分別為，且，
所以.
故答案為：
15．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為．
【答案】/
【解析】由題意，

, 所以消去得
，
由, 得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
∴，
∴原式
故答案為：.
16．在棱長為2的正方體中，點M是對角線上的點（點M與A、不重合），則下列結(jié)論正確的是 .（請?zhí)顚懶蛱枺?br>
①存在點M，使得平面平面；
②存在點M，使得平面；
③若的面積為S，則；
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點M，使得.
【答案】①②④
【解析】連接,,

①設(shè)平面與對角線交于M,
由,，
且平面，平面，且，
所以平面，即平面,
所以存在點M，使得平面平面，所以①正確；
②連接,,

由，平面，平面，
所以平面，同理由可得平面，
又，平面，平面，
所以平面平面，
設(shè)平面與交于點M，則平面，
所以平面，所以②正確；
③連接交于點O,過O點作,

在正方體中，
由①平面，同理可證平面，
且平面，
所以,所以O(shè)M為異面直線與的公垂線,
根據(jù),所以,
即,
此時的面積為,
所以③不正確；

④設(shè)點在平面的正投影為，在平面的正投影為
如圖，因為平面，
則在平面內(nèi)的射影為，
由，則，
故在點從的中點向著點A運動的過程中，
點也從的中點向著點運動.
由平面，則，
故當(dāng)為中點時，正投影也為中點，
此時在平面的正投影的面積，
因此，在點從的中點向著點A運動的過程中，
的面積即從1減少到趨向于0,即,
同理，在點從的中點向著點A運動的過程中，
點也從的中點向著點運動，的面積即從0開始增加，
當(dāng)與重合時，正投影與重合，
此時在平面的正投影的面積，
所以,
故在此過程中,必存在某個點使得,所以④正確,
故答案為：①②④.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
17．（10分）已知點是角終邊上一點．
(1)求的值；
(2)若將角終邊繞著坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為點是角終邊上一點，
所以，，，
（2）將角終邊繞著坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，
故，
所以
18．（12分）已知正項數(shù)列的前項和，滿足：．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證．
【答案】(1)
【解析】（1）當(dāng)時，，解得．
當(dāng)時，由①，可得，②
①②得：，即．
，
．
是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列的通項公式．
（2）由（1）可得，
，
，，，，，
，
.
19．（12分）如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.

(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)若四棱柱的體積為16，點在棱上，且，求點到平面的距離.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因為四棱錐是正四棱錐，連接交于點，則，
連接，則平面，所以兩兩垂直.
如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，因為，,則，
設(shè)與交于點，則為的中點，
所以，
，
所以，設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，
取，得，
直線的一個方向向量為，
設(shè)與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（2）因為四棱柱的體積為，所以，
由（1）知，，
.
因為，則，
所以，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，
取，得，
所以點到平面的距離為.
20．（12分）第19屆亞運會于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營造全民參與亞運、服務(wù)亞運、奉獻(xiàn)亞運的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運”知識挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是，且每次答題互不影響．
(1)若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?
(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?
(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．
【答案】(1)0.25
(2)
(3)沒有增加，理由見解析
【解析】（1）設(shè)事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結(jié)束．
．
（2）設(shè)為先答題者獲勝的概率，則，解得，
所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是.
（3）設(shè)隨機(jī)變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率；
為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者獲勝的概率．
，
，
顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加．
21．（12分）已知橢圓：，點、分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點．

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，求的面積；
(3)是否存在直線，使得點B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由見詳解
【解析】（1）由左焦點、左頂點可知：，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因為，，
則過的直線的方程為：，即，
解方程組，解得或，
所以的面積.
（3）若點B在以線段為直徑的圓上，等價于，即，
設(shè)，則，
因為，則，
令，
解得：或，
又因為，則不存在點，使得，
所以不存在直線，點B在以線段為直徑的圓上.
22．（12分）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)若在區(qū)間有2個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)當(dāng)時，在處取極大值
(2)
【解析】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，無極值，
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減：
所以當(dāng)時，在處取極大值，無極小值；
（2），
令，得，令，在區(qū)間有2個零點，
即與在區(qū)間有2個交點，
，，，
當(dāng)，，在上單增，
當(dāng)，，在上單減，
，的最大值為，，
與在區(qū)間有2個交點，則．

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