1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到，解分式不等式得到，求出交集.
【詳解】由題意得，故，
，等價于，
解得，故，
所以.
故選：A
2. 若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由得到，再由復(fù)數(shù)除法運算，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，故的虛部為.
故選D.
【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的虛部的概念，突顯了對數(shù)學(xué)運算、基本概念的考查. 解答本題首先要了解復(fù)數(shù)的虛部的概念，其次要能熟練進行復(fù)數(shù)的四則運算.
3. 已知向量，命題．若是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)特征量詞命題的否定為真命題可得是真命題，易知時滿足題意，當時，有，解之即可求解.
【詳解】由題可知，命題的否定：，且否定是真命題，
即是真命題．
當時，；
當時，且，所以．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
故選：D
4. 已知數(shù)列的前項和（為常數(shù)，且），則“是等差數(shù)列”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及充分條件與必要條件定義判斷即可．
【詳解】若是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，
所以，
若，則，
當時，，當時，，此時也滿足，
所以，于是有是等差數(shù)列，
所以“是等差數(shù)列”是“”的充要條件．
故選：A
5. 已知是銳角三角形，函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用得到，同理得到，從而可判斷ABC，利用可判斷D.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，所以是偶函數(shù).
當時，，所以在上單調(diào)遞增．
因為是銳角三角形，所以，
所以，即，所以，故A正確；
同理，，即，故BC錯誤；
當時，，故D錯誤．
故選：A.
6. 某中學(xué)開展結(jié)合學(xué)科知識的動手能力大賽，參賽學(xué)生甲需要加工一個外輪廓為三角形的模具，原材料為如圖所示的是邊上一點，，要求分別把的內(nèi)切圓，裁去，則裁去的圓的面積之和為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件在中利用正弦定理及三角公式求出，分別在內(nèi)用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可得解.
【詳解】在，設(shè)，
則，，
所以，
在中，，由正弦定理得,
即，即，
化簡得或，因為，所以（負值舍去），，
故為等邊三角形，為等腰三角形，,
在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，
即，化簡得，
在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，
即，化簡得，
所以圓的面積之和為，
故選：C.
7. 有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（ ）
A. 60B. 114C. 278D. 336
【答案】D
【解析】
【分析】分三類，第一類，只有3人被錄用，第二類，只有4人被錄用，第三類，5人全部錄用，根據(jù)分類計數(shù)原理即可得到答案.
【詳解】分三類情況，第一類情況，只錄用3人，有種情況；第二類情況，只錄用4人，有種情況；
第三類情況，錄用5人有兩種情況：或，有種情況．
所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有種．
故選：D.
8. 若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象性質(zhì)，再將問題轉(zhuǎn)化為的零點的分布情況，從而列式即可得解.
【詳解】令，得，即，
記，則，
對求導(dǎo)得，
因為當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且當時，且，當時，，當時，，
則函數(shù)的大致圖象如圖，
記，由于有三個不同的零點，
所以必有兩個不同的零點，記為，
當時，有，即，無解；
當時，有，即，無解；
當時，有，即，解得；
綜上，取值范圍為.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的零點的分布情況，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的不等式組，從而得解.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 當樣本相關(guān)系數(shù)滿足時，成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系
B. 殘差等于預(yù)測值減去觀測值
C. 決定系數(shù)越大，模型擬合效果越差
D. 在獨立性檢驗中，當（為的臨界值）時，推斷零假設(shè)不成立
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)時的含義可判斷A；根據(jù)殘差的定義可判斷B，根據(jù)決定系數(shù)的含義判斷C；根據(jù)獨立性檢驗的規(guī)則判斷D.
【詳解】當樣本相關(guān)系數(shù)時，成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系，故A正確；殘差等于觀測值減去預(yù)測值，故B錯誤；
決定系數(shù)越大，模型擬合效果越好，故C錯誤；
根據(jù)獨立性檢驗的規(guī)則，當時，推斷零假設(shè)不成立，D正確，
故選：BC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)B. 最小的10個正零點之和為
C. 是的一個周期D. 在處的切線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷A；令，求出對應(yīng)最小的10個正零點的和可判斷B；利用周期定義可判斷C；求出，求出在處的切線方程可判斷D．
【詳解】對于A，因為，所以不是奇函數(shù)，故A錯誤；
對于B，令，得，即，
所以或或或，
即，當時，對應(yīng)最小的10個正零點為
，
它們的和為，故B正確；
對于C，由于，故C正確；
對于D，，，，所以在處的切線方程為，故D正確．
故選：BCD.
11. 若正實數(shù)滿足，記，則（ ）
A. 的最小值是2
B. 當取最小值時，的最小值為
C. 當取最仦值時，的最大值為
D 當取最小值時，一定有
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式判斷AD；將問題轉(zhuǎn)化為，利用換元法與函數(shù)單調(diào)性即可得解判斷BC；從而得解.
【詳解】因為，
由可得，
所以，當且僅當時，等號成立，所以A正確，D錯誤；
當取最小值時，，，
所以，解得，
又，所以，
又，當且僅當時等號成立，
記，則，所以，
易得函數(shù)在時單調(diào)遞減，
所以當時，取得最大值，
則無最小值，所以B錯誤，C正確．
故選：AC.
12. 在棱長為1的正方體中，點在棱上運動，點在正方體表面上運動，則（ ）
A. 存在點，使
B. 當時，經(jīng)過點的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分
C. 當時，點的軌跡長度為4
D. 當時，點的軌跡長度為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理驗證即可判斷A；如圖，由面面平行的性質(zhì)判斷幾何體是棱臺，結(jié)合棱臺的體積公式計算即可判斷B；結(jié)合圖形可知點的軌跡是以棱的中點為頂點的正方形，即可判斷C；先求出點在側(cè)面內(nèi)的軌跡，并求其長度，再求出點在底面、側(cè)面內(nèi)的軌跡的長度，即可判斷D.
【詳解】對于A，如圖，在正方體中，易知，若存在點，使，
由于與相交，所以平面，顯然不成立，故A錯誤．
對于B，當時，如圖，記經(jīng)過點的平面與交于點，連接，
則．由于平面平面，平面平面，平面平面，
所以．記，則．記，則，
所以點與重合．又平面平面，所以幾何體是棱臺，
，其余部分的體積為，
所以經(jīng)過點的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分，故B正確．
對于C，當時，點的軌跡是以棱的中點為頂點的正方形，
如圖所示，軌跡的長度為4，故C正確．
對于D，先看點在側(cè)面內(nèi)的軌跡，
以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖．
設(shè)，由可得點的軌跡方程為，
其是以為圓心，為半徑的圓，記該圓與交于點，
則，點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為一段圓?。L度為，
同理點在底面內(nèi)的軌跡的長度也為．
當點在側(cè)面內(nèi)時，其軌跡可視為以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線，
由于，所以，
點在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的，長為．
分析易知，其余面上的點均不滿足題意．所以點的軌跡長度為，故D正確．
故選：BCD
【點睛】方法點睛：對于立體幾何中的滿足一定條件下的點的軌跡問題，往往需要建立平面或空間直角坐標系來進行求解，將幾何問題代數(shù)化可以大大減少思考難度，提高做題效率.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知直線經(jīng)過兩點，則點到直線的距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量求解即可.
【詳解】由題可知，則，，
故點到直線的距離為．
故答案為：
14. 為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)校在高一年級開設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運用平面向量的數(shù)量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當向量時，有，即，當且僅當時等號成立；學(xué)生乙從這個結(jié)論出發(fā)．作一個代數(shù)變換，得到了一個新不等式：，當且僅當時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當時，的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造不等式左側(cè)求解即可.
【詳解】由題意得，
則
，
當且僅當，即時，等號成立，
即，則，
所以，最小值為，此時．
故答案為：.
15. 已知橢圓，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，直角邊與橢圓分別交于另外兩點．若這樣的有且僅有一個，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)出直線和直線，聯(lián)立橢圓方程，求出，表達出，根據(jù)相等關(guān)系得到無實數(shù)解或有兩個相等的實數(shù)解，分兩種情況，求出，從而求出離心率的取值范圍.
【詳解】不妨設(shè)直線，則直線，
聯(lián)立方程得，得，
，用代替得，
．
由，得，
該方程關(guān)于已有一解，由于符合條件的有且僅有一個，
關(guān)于的方程無實數(shù)解或有兩個相等的實數(shù)解．
當方程無實數(shù)解時，，解得；
當方程有兩個相等的實數(shù)解時，，解得，
，
則該橢圓的離心率．
故答案為：.
【點睛】求橢圓的離心率是(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).
16. 從教學(xué)樓一樓到二樓共有11級臺階（從下往上依次為第1級，第2級，，第11級），學(xué)生甲一步能上1級或2級臺階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過第5級臺階的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合題意求得學(xué)生甲上每級臺階的方法數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.
【詳解】記學(xué)生甲上到第級臺階共有種上法，則，
當時，學(xué)生甲上到第級臺階，可以從第級或第級上去，
所以，
于是，，，
其中甲踩過第5級臺階的上臺階方法數(shù)，可分兩步計算，
第一步，從第1級到第5級，共有種方法；
第二步，從第6級到第11級，相當于從第1級到第6級的方法數(shù)，共有種方法；
所以甲踩過第5級臺階的上臺階方法數(shù)有，
則甲踩過第5級臺階的概率是．
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是得到遞推關(guān)系式，從而得解.
四、解答題：共70分：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 如圖，任四棱錐中，為棱的中點，．
（1）求證：；
（2）若，求與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，證明四邊形是正方形，即證明，即可證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可得答案.
【小問1詳解】
如圖，連接為棱的中點，
，，故,
則，
又，，則四邊形是平行四邊形，
又，，則平行四邊形是正方形，
，又平面，
平面，
又平面．
【小問2詳解】
，．
由（1）知,
故，，
又平面，平面．
以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
．
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則．
設(shè)與平面所成的角為，
則，
，即與平面所成角的余弦值為.
18. 在中，角的對邊分別為，.
（1）求角；
（2）若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化切為弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡即可求解；
（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式化為，結(jié)合角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍.
【小問1詳解】
由，得，
即，所以，
又，所以，又且，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理，得，
所以，所以，
因為是鈍角三角形，不妨設(shè)為鈍角，則，
所以，
因為，所以，所以，
所以的取值范圍是.
19. 某工廠生產(chǎn)一批螺絲釘，長度均為整數(shù)，且在至之間，技術(shù)監(jiān)督組為了解生產(chǎn)的螺絲釘質(zhì)量，按照長度分為9組，每組抽取150個對其中的優(yōu)質(zhì)螺絲釘個數(shù)進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：
（1）設(shè)每個長度區(qū)間的中點值為，優(yōu)質(zhì)個數(shù)為，求關(guān)于的回歸直線方程．若該廠又生產(chǎn)了一批長度區(qū)間為的螺絲釘，并從中隨機抽取50個，請根據(jù)回歸直線方程預(yù)測這150個中的優(yōu)質(zhì)個數(shù)．
（2）若在某一長度區(qū)間內(nèi)有超過半數(shù)的螺絲釘是優(yōu)質(zhì)的，則認為從該長度區(qū)間內(nèi)任選一個均為優(yōu)質(zhì)的，否則不是．現(xiàn)從這五個長度區(qū)間中各隨機抽取一個，再從這5個螺絲釘中任選3個，記隨機變量為其中的優(yōu)質(zhì)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（參考公式和數(shù)據(jù)：）
【答案】19. ；
20. 分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線性回歸分別求出，，從而求解．
（2）根據(jù)題意可知的所有可能取值為，，，然后求出相應(yīng)的概率列出分布列，求出期望從而求解.
【小問1詳解】
由題意得，
所以，
所以
又
所以，
故關(guān)于的回歸直線方程為．
當時，，即預(yù)測長度區(qū)間為的個螺絲釘中的優(yōu)質(zhì)個數(shù)為．
【小問2詳解】
根據(jù)題意，在，，，，這五個長度區(qū)間中，這三個長度區(qū)間中超過半數(shù)是優(yōu)質(zhì)的，
在，這兩個長度區(qū)間中優(yōu)質(zhì)的不足一半，故隨機抽取得到的個螺絲釘中有個是優(yōu)質(zhì)的．
所以的所有可能取值為，，，
則，
故隨機變量的分布列為
．
故期望為.
20. 已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且（表示不超過的最達整數(shù)），．
（1）求；
（2）令，記數(shù)列的前項和為，求證：．
【答案】（1）2 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先推導(dǎo)可得，再累加可得，再判斷當時，即可得；
（2）推導(dǎo)可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，代入通項公式可得，再根據(jù)，累加求和證明即可.
【小問1詳解】
，
，，
．又是遞增數(shù)列，
，當時，．
．
【小問2詳解】
，
，則有，
是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
．
，
，
原不等式得證．
21. 已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．
（1）求的方程．
（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
分析】（1）首先根據(jù)離心率，和雙曲線方程，列式即可求解；
（2）首先設(shè)直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，并用坐標表示和，并利用韋達定理表示，即可化簡求解.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線的半焦距為．
由題意可得，解得，
所以的方程為．
【小問2詳解】
為定值，理由如下：
由（1）知，設(shè)直線，
聯(lián)立方程得，消去，整理可得，
，
，同理．
直線過點且與的左、右兩支分別交于兩點，
兩點在軸同側(cè)，，此時，即．
，
，為定值．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線聯(lián)立，解決定值的問題，本題的關(guān)鍵是利用坐標表示和，并求解.
22 已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求實數(shù)的范圍；
（2）證明：對任意正整數(shù)，都有不等式成立．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分與兩種情況求解即可得的范圍；
（2）由（1）可得，結(jié)合，可得，
則，后由錯位相減法可得，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題可知，
記，則，
當時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
當時，．
（?。┊敃r，在上單調(diào)遞增，
則成立；
（ⅱ）當時，，，
記，則，令，得，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，則．
令，則，
存在，使得，則，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
．
記，
則當時，，在上單調(diào)遞減，
，則有，與恒成立矛盾，所以不成立．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
【小問2詳解】
由（Ⅰ）知，當時，，
．記，
則當時，，
在上單調(diào)遞增，則有，
當時，，當時，．
令，則．
記，
則，
，
，
，
對任意正整數(shù)，都有不等式成立．長期區(qū)間
優(yōu)質(zhì)個數(shù)
81
81
84
88
84
83
83
70
66

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安徽省皖豫名校聯(lián)盟2024屆高中畢業(yè)班第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版無答案：

這是一份安徽省皖豫名校聯(lián)盟2024屆高中畢業(yè)班第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版無答案，共5頁。

數(shù)學(xué)-天一大聯(lián)考·皖豫名校聯(lián)盟2024 屆高中畢業(yè)班第二次考試：

這是一份數(shù)學(xué)-天一大聯(lián)考·皖豫名校聯(lián)盟2024 屆高中畢業(yè)班第二次考試，共16頁。

2024安徽省皖豫名校聯(lián)盟高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析：

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