時(shí)量：120分鐘 分值：150分
命題人：李云皇?陳智 審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
2.若集合，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
3.設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
4.（自編作業(yè)原題）在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)之和為，若，則（ ）.
A.10 B.100 C.110 D.120
5.（自編作業(yè)原題）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠?牛?虎?兔?龍?蛇?馬?羊?猴?雞?狗?豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛?狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有（ ）
A.30種 B.50種 C.60種 D.90種
6.（自編作業(yè)原題）已知圓，直線，l與圓C相交于A?B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時(shí)，直線l的方程為（ ）
A. B.
C. D.
7.若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
8.設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)E，與雙曲線右支交于點(diǎn)P，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.2
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.某校1500名學(xué)生參加“校園安全”知識競賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）
A.頻率分布直方圖中a的值為0.005
B.估計(jì)這40名學(xué)生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75
C.估計(jì)這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為80
D.估計(jì)總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225
10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A.函數(shù)在上單調(diào)遞增
B.函數(shù)在上單調(diào)遞減
C.函數(shù)在處取得極大值
D.函數(shù)有最大值
11.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列命題正確的是（ ）
A.若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列
B.若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列
C.若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列
D.若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列
12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P?Q，與C相交于M，N，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，則（ ）
A.
B.
C.的最大值為16
D.當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.（自編作業(yè)原題）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________.
14.已知，則________.
15.（自編作業(yè)原題）某高中計(jì)劃2024年寒假安排甲?乙?丙?丁?戊共5名學(xué)生志愿者到A?B?C三個(gè)社區(qū)協(xié)助反詐宣傳工作，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，每個(gè)志愿者只能安排到1個(gè)社區(qū)，則所有排法的總數(shù)為________.
16.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（自編作業(yè)原題）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù).
（1）求的極值；
（2）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？
18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)F是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E是棱上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求點(diǎn)B到平面的距離.
19.（聯(lián)考復(fù)習(xí)題改編）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若的中線長為，求面積的最大值.
20.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有，且.
（1）求和的值，并猜想的通項(xiàng)公式；
（2）證明第（1）問猜想的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
21.在平面直角坐標(biāo)系中?橢圓的左?右頂點(diǎn)為A，B，上頂點(diǎn)K滿足.
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn).設(shè)直線和直線相交于點(diǎn)P，直線和直線相交于點(diǎn)Q，直線與x軸交于S.證明：是定值.
22.已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對任意的，都有恒成立，求a的取值范圍.
雅禮教育集團(tuán)2023年下學(xué)期期末考試試卷
高二數(shù)學(xué)
時(shí)量：120分鐘 分值：150分
命題人：李云皇?陳智 審題人：彭喜?李云皇?郝楠楠
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所?
2.【答案】C
【詳解】，所以集合的子集的個(gè)數(shù)為4.
3.【答案】D
【詳解】選項(xiàng)，如圖1，滿足，但不平行，錯(cuò)誤；
錯(cuò)誤，如圖2，滿足，但不平行，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，如圖3，滿足，但不平行，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，若，由線面平行的判斷定理可得正確.
4.【答案】B
5.【答案】B
【解答】解：①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有種，
②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有種，
所以總共有種.
6.【答案】C
【詳解】易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時(shí)，該弦所在直線與過點(diǎn)的直徑垂直.已
知圓心，所以過點(diǎn)的直徑所在直線的斜率，故所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.
7.【答案】C
【詳解】易知，
構(gòu)造函數(shù)，則；
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
又易知，所以，即.
8.【答案】A
【詳解】為圓上的點(diǎn)，，
是的中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，，且，
又，
是圓的切線，，
在Rt中，又有，
，故雙曲線的離心率為.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.【答案】AD
【詳解】由，可得，故A正確；
前三個(gè)矩形的面積和為，
所以這40名學(xué)生的競賽成績的第60百分位數(shù)為80，故B錯(cuò)誤；
由成績的頻率分布直方圖易知，這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為75，故C錯(cuò)誤；
總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.
10.【答案】BC
【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上先減后增，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B正確；
因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù)，所以函數(shù)在處取得極大值，故C正確；
不確定是否有最大值，故不正確.
11.【答案】ACD
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
，
同理可得，所以，
所以仍為等差數(shù)列，故A項(xiàng)正確；
取數(shù)列為，當(dāng)為0時(shí)，不能成等比數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
于是，所以為等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；
若設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，則，D項(xiàng)正確.
12.【答案】AD
【詳解】選項(xiàng)，若一條直線的斜率不存在時(shí)，則另一條直線斜率為0，
此時(shí)與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，
由題意得，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立與得，，
易知，設(shè)，則，
則，
則，A正確；
選項(xiàng)，在選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，
由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，
故，B不正確；
C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，由選項(xiàng)可知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故，所以，
由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，
則
，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
故當(dāng)最小時(shí)，直線的斜率不存在，正確.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【答案】
14.【答案】
【詳解】由得，
所以，兩邊平方得，解得.
15.150
16.【答案】
【詳解】，
令，顯然函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，
設(shè)過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，解得，得切線方程為，
如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)，即時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)根.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
故答案為：.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.【解答】解：（1）.令，則或.
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：
所以的極大值是，極小值是.
（2）函數(shù)，
由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，有，曲線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn).
由（1）知.
曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，或，
即或或
當(dāng)時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn).
18.【詳解】（1）底面底面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則故，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
19.【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得，
又，
所以，
可得，
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，，
所以，可得，
因?yàn)椋?，可得，可得?br>（2）因?yàn)榈闹芯€長為，
又，兩邊平方，可得，
所以，得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，.
20.【詳解】（1）由題意：時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即
猜想：
（2）證明：當(dāng)時(shí)，①②
②-①得：即：
方法一：當(dāng)時(shí)，
.
也適合上式，故；
方法二：當(dāng)時(shí)，
也適合上式，故
（3）證明：由（1）可得，
故，
則，
故
，
故，由于，故，
故
21.【解答】解：（1）由題，，解得.
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：設(shè)，直線的方程為.
聯(lián)立直線與橢圓的方程，消得，
從而由韋達(dá)定理，得.
由（1）知，
所以直線和的方程分別為，.
聯(lián)立直線和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足：
，解得，
即點(diǎn)總在直線上.同理可得點(diǎn)也在直線上，
所以直線的方程為.
所以，所以，其中分別為點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo).
聯(lián)立直線和直線，得；
聯(lián)立直線和直線，得.
所以為定值.
22.【解答】解：（1）定義域：
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上，單調(diào)遞增，
在上，單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
（2）對任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有對恒成立，
令，
則，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又
所以存在，使得，即，
所以在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
由，得，
設(shè)，
所以在上為增函數(shù)，
所以由，
得，
所以，即，所以，
所以，1
+
0
-
0
+
極大值
極小值

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