四川省成都市樹德中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)

這是一份四川省成都市樹德中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)，共4頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則的模是（ ）
A． B．2 C． D．5
3. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑為（ ）
A． B． C． D．
4．下列敘述錯(cuò)誤的是（ ）
A.命題“，”的否定是“，”
B.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為
C.，
D.設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件
5．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，與點(diǎn)的距離為1且與圓相切的直線有（ ）
A．0條 B．4條 C．2條 D．3條
6. 小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A． B． C． D．
7. 雙曲線：（，）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)，，是的左右焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為，若雙曲線上一點(diǎn)滿足，則（ ）
A．3或7 B．7 C．5 D．3
8． 某中學(xué)200名教師年齡分布圖如圖所示，從中隨機(jī)抽取40名教師作樣本，
采用系統(tǒng)抽樣方法，按年齡從小到大編號(hào)為1~200，分為40組，分別為1~5，
6~10，…，196~200.若從第4組抽取的號(hào)碼為18，則樣本中40~50歲教師
的編號(hào)之和為（ ）
A．906 B．966 C．1506 D．1566
9. 若展開(kāi)式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為，則直線與曲線圍成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函數(shù)的部分圖象
如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 在區(qū)間上的最小值為
B. 為偶函數(shù)
C. 圖象對(duì)稱中心是，
D. 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象
11. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為為底面正方形內(nèi)
（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中:
①若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最小值為；②過(guò)點(diǎn)作與和都成的直線，可以作四條；③若點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面周長(zhǎng)為；④若點(diǎn)到直線與到直線的距離相等，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的最短距離是.其中正確的命題有（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
12. 已知函數(shù)，若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且最小的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 已知，，則在方向上的投影等于 ．
14. 已知滿足約束條件，則的取值范圍為 ．
15 . 已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)，在拋物線C上，若，則 .
16. 在銳角三角形中，角所對(duì)的邊為，且.若點(diǎn)為的垂心，則的最小值為 ．
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
17. （本小題滿分12分）某汽車銷售店以8萬(wàn)元每輛的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了某品牌的汽車.根據(jù)以往的銷售分析得出，當(dāng)售價(jià)定為10萬(wàn)元/輛時(shí)，每年可銷售100輛該品牌的汽車，且每輛汽車的售價(jià)每提高1千元時(shí)，年銷售量就減少2輛.
（1）若要獲得最大年利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少萬(wàn)元/輛?
（2）該銷售店為了提高銷售業(yè)績(jī)，推出了分期付款的促銷活動(dòng).已知銷售一輛該品牌的汽車，若一次性付款，其利潤(rùn)為2萬(wàn)元;若分2期或3期付款，其利潤(rùn)為2.5萬(wàn)元;若分4期或5期付款,其利潤(rùn)為3萬(wàn)元.該銷售店對(duì)最近分期付敘的10位購(gòu)車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
若X表示其中任意兩輛的利潤(rùn)之差的絕對(duì)值，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18. (本題滿分12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，數(shù)列滿足， ，其中n∈N*．
（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
19. （本小題滿分12分）在梯形中，，，，P為的中點(diǎn)，線段與交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.

（1）求二面角的余弦值；
（2）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
20. （本小題滿分12分）已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
（2）已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
21. (本小題滿分12分) 已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，到直線的距離為，且.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)的直線m與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)且與m垂直的直線n與圓O：交于C，D兩點(diǎn)，求的取值范圍.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22. （10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．
23. （10分）已知函數(shù).
（1）解不等式；
（2）若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.
高2021級(jí)高三期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案
一、1－5CAADD 6－10BBDAB 11－12CB
13、 14、 15、4 16、
三、17、解：（Ⅰ）設(shè)銷售價(jià)格提高了0.1x萬(wàn)元/輛，年利潤(rùn)為y萬(wàn)元．則由題意得年銷售量為100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．
故當(dāng)x=15時(shí)，y取最大值．此時(shí)售價(jià)為10+0.1×15=11.5萬(wàn)元/輛．
∴ 當(dāng)售價(jià)為11.5萬(wàn)元/輛時(shí)，年利潤(rùn)最大．…………………………………4分
（Ⅱ）由圖表可知，利潤(rùn)為2萬(wàn)元的有1輛，2.5萬(wàn)元的有4輛，3萬(wàn)元的有5輛．
∴ P(X=0)=；P(X=0．5)=；P(X=1)=．
∴ X的分布列為：
∴ X的數(shù)學(xué)期望E(X)=×0+×0．5+×1=．
∴ X的數(shù)學(xué)期望為．………………………………12分
18、（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由得：，
所以，即，故q＝3，
當(dāng)n＝1時(shí)，，故為等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
由得：，故，，，……，，，
以上n-1個(gè)式子相乘得，，故；
（2）由，結(jié)合（1）可得：，
所以，，
兩式相減得，，
所以，故．
19、（1）因?yàn)樵谔菪沃校?，，，為的中點(diǎn)，所以，，，所以是正三角形，四邊形為菱形，可得，，
而平面平面，平面平面，平面，，
平面，所以，，兩兩互相垂直，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
，即，令，則，，，
，
所以二面角的余弦值為.
（2）線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.
設(shè)，因?yàn)?，，所以?br>設(shè)與平面所成角為，則，
即，，解得，
所以線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.
20、解：（1）當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)根，因?yàn)?不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
，令，得，在和上，，在
上，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時(shí)有極小值，圖象如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
則或，綜上的取值所構(gòu)成的集合為.
（2）由題意知，
令得所在上單調(diào)遞增.
又由零點(diǎn)的存在性定理知存在使得
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
故又所以，又，所以.
令在單調(diào)遞減，
由得.將代入，
得.令，得，
所以在單調(diào)遞減，又
所以的值域?yàn)?
21、（1）依題意可得直線的方程為，即，則到直線的距離.又，，故，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①當(dāng)直線m的斜率為0時(shí)，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.
直線的方程，代入圓的方程可得，,
所以，，；
②當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為，代入橢圓方程可得，.
直線的方程，代入圓的方程可得，,
所以，，；
③當(dāng)直線m的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，則
，點(diǎn)O到直線n的距離，圓的半徑，
根據(jù)垂徑定理可得，所以.將代入曲線E的方程，
整理得，恒成立.
設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，，，
則.
所以.因?yàn)椋?，所?
令，則，.
令，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.又，，所以，
即. 綜上所述，的取值范圍是.
22、（1）因?yàn)椋?，，將曲線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，并結(jié)合可得曲線的普通方程為：．
直線的極坐標(biāo)方程為，將，代入上式，得直線的直角坐標(biāo)方程為．
（2）曲線是以為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，且圓弧兩端點(diǎn)的坐
標(biāo)分別為和，作出曲線與直線，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)
時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)．當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，有
，解得或（舍去）．?dāng)?shù)形結(jié)合可知的取
值范圍為．
23、解：（1），即，利用零點(diǎn)分區(qū)間法，對(duì)去絕對(duì)值，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，當(dāng)時(shí)，成立，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，所以.綜上可知，不等式的解集為.
（2）由題意，可知，由（1）得當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?，所以時(shí)不等式恒成立；
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以時(shí)不等式恒成立；
當(dāng)時(shí)，恒成立，而，所以時(shí)不等式恒成立；
當(dāng)時(shí)，即恒成立，而，所以不等式恒成立.
綜上，滿足要求的的取值范圍為.
付款方式
一次性
分2期
分3期
分4期
分5期
頻數(shù)
1
1
3
2
3
X
0
0．5
1
P