重難點(diǎn)突破02 解三角形圖形類問題（十大題型）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練高效測(cè)（新教材新高考）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.
題型一：妙用兩次正弦定理
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，設(shè).
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
【解析】（1）設(shè)，則，，，由題意，
則，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化簡(jiǎn)得
，所以.
例2．（2023·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，設(shè)．
（1）若面積是面積的倍，求;
（2）若，求.
【解析】（1）設(shè)，
則，，，
由題意，
則，
所以.
（2）由正弦定理，在中，，
即①
在中，，
即②
②÷①得：，
，化簡(jiǎn)得，
所以.
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.
已知在四邊形ABCD中，，，且______.
(1)證明：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積.
【解析】（1）方案一：選條件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：選條件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：選條件③.
因?yàn)?，，且，?br>所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所?
因?yàn)椋?br>，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）選擇①②③，答案均相同，
由（1）可設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因?yàn)椋?br>所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四邊形ABCD的面積.
變式1．（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的面積.
(2)當(dāng)時(shí)，求.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，
因?yàn)?，則，
又，
所以的面積是.
（2）在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，即，
則，整理得，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所?
變式2．（2023·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，．
(1)若，求的面積；
(2)若，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理得，即，
由余弦定理得，
所以，
所以的面積
（2）在中，由正弦定理得，即①，
在中，由正弦定理得，即②，
①②聯(lián)立可得，
因?yàn)?，所?br>變式3．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形中，，.
（1）若，，求的長；
（2）若，求的值.
【解析】（1）在中，因?yàn)?，所以?br>在中，，
在中，由余弦定理得
，
所以.
（2）設(shè)，在中，，
因?yàn)?，所以?br>于是，
因?yàn)椋?br>所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
于是，
即，
所以，
因?yàn)椋?
變式4．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③的面積
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.
在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知______.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分
【解析】（1）若選擇①：因?yàn)?，結(jié)合余弦定理，
得，即，
由正弦定理可得，所以，
又，所以，所以，即，
又，所以；
若選擇②：因?yàn)椋?br>結(jié)合正弦定理可得，
即，
，
即，
又，，故，即，
所以，即，
因?yàn)椋?，所以，得?br>若選擇③：條件即，
又，，
所以，
即，所以，
又因?yàn)?，則，所以，
又因?yàn)?，所?
（2）設(shè)，則.

因?yàn)?，，故?br>所以，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，同理可得，，
因?yàn)?，所以，即?br>整理得，即.
變式5．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，
化簡(jiǎn)可得，由余弦定理可得，
因?yàn)椋裕?
（2）因?yàn)?，則為銳角，所以，，
因?yàn)?，所以，?br>所以，，
設(shè)，則，
在和中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，上面兩個(gè)等式相除可得，
得，即，
所以，.
變式6．（2023·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以由正弦定理得；
，，，則；
（2）
，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
，
即，
題型二：兩角使用余弦定理
例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】（1）中，設(shè)，則，解得
，；
（2）設(shè)，則
設(shè)，，
中，
中，
，，可得，化簡(jiǎn)得，即
又，，即
，解得
例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，．
(1)求證：；
(2)若，，求梯形ABCD的面積．
【解析】（1）連接BD．
因?yàn)?，所以?br>在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，結(jié)合①②可得．
（2）由（1）知，，
，又，所以，則．
連接BD，
在中，由余弦定理得
；
在中，由余弦定理得
，
所以，解得或．
當(dāng)時(shí)，連接AC，在中，由余弦定理，得
，
所以，而此時(shí)，故不滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，
此時(shí)梯形ABCD的高，
當(dāng)時(shí)，梯形ABCD的面積；
所以梯形ABCD的面積為．
例6．（2023·河北·校聯(lián)考一模）在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)E，使.
(1)若，求的余弦值；
(2)若，求線段的長.
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，即，
解得，所以，
在中，由余弦定理知，.
（2）在中，由余弦定理知，，
所以，化簡(jiǎn)得，解得，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理知，
，
連接，在中，由余弦定理知，
，
所以.

變式7．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.
(1)求角；
(2)若點(diǎn)在上，，，求的值.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，解得或（舍去），
所以，即，
因?yàn)?，所?
（2）如圖，因?yàn)?，，設(shè)，，

在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以.
變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，.
(1)求證：；
(2)若，，求的長度.
【解析】（1）證明：在中，由正弦定理得，
即，
因?yàn)?，所以，所以?br>在中，由正弦定理得，
即，所以.
又，所以，即.
（2）由（1）知.
在中，由余弦定理得
，故.
所以.
在中，由余弦定理得，
即，整理可得，解得或.
又因?yàn)闉樘菪?，所?
題型三：張角定理與等面積法
例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
（2）是的角平分線，，
由可得
因?yàn)椋?，即有，?br>故
例8．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．
【解析】（1）因?yàn)?br>所以根據(jù)正弦定理得：
即
由余弦定理得：
故
又
所以．
（2）因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，由，
得：，
所以
故．
例9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）若D為上點(diǎn)，平分角A，且，，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，
又因?yàn)椋傻茫?br>（2）因?yàn)镈為上點(diǎn)，平分角，則，
又由，
可得，
又因?yàn)?，可得，解得?br>因?yàn)椋裕?br>變式9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．
(1)若，求的長；
(2)若，，求的面積．
【解析】（1）由，可得，
所以或（舍去），
所以，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理可得：，所以．
（2）由，得，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>由余弦定理得，
即，，
可得或（舍去），
所以，
所以．
變式10．（2023·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)校考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值.
【解析】（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
在中，，
∴.
（2）∵，
∴，
，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
在中，
由余弦定理得.
∴，
∴.
變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>設(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，
所以.
（2）由得：，即，解得，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)榈钠椒志€交于，
所以，即，可得，
由余弦定理得：，，而，
得，因此.
變式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，角的平分線交于點(diǎn)，，求的面積．
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，整理得?br>又由余弦定理得．
因?yàn)?，所以?br>（2）如圖所示，因?yàn)椋?br>所以．
又因?yàn)?，所以?br>由余弦定理得，
聯(lián)立方程組，可得，即，
解得或（舍去），
所以．
題型四：角平分線問題
例10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，的平分線與邊交于點(diǎn)，的平分線與邊交于點(diǎn)，.
(1)若，求的面積；
(2)若，求.
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>則，
則.
設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
即，即，
又，所以，
所以的面積.
（2）因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)椋?br>所以
，
在中，由正弦定理得，即，所以.
例11．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，
(1)求的值及的面積；
(2)的平分線與BC交于D，，求a的值．
【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理邊角互化得，
即，因?yàn)锽，，
所以，，
所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以．
所以，因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以的面積.
（2）因?yàn)榈钠椒志€與BC交于D，，所以，
即，所以，由于，
所以，所以，所以．
例12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且.
(1)求角C的大?。?br>(2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.
【解析】（1）由已知可得，
,
整理得，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
即，
因?yàn)椋?
（2）由題意得，,即，所以.
法一：
在中，，
所以.在中，，
所以，
即，
將代入整理得，解得或.
若，則，，,，
所以在中，得,
同理可得,即和都為鈍角，不符合題意，排除.
所以，，
.
法二：
因?yàn)椋?br>所以，所以.
因?yàn)?，所以?br>所以.
變式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.

(1)求的大?。?br>(2)求.
【解析】（1）由正弦定理得，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）已知角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.
在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
因?yàn)?，，所以?br>所以.
設(shè)，由余弦定理得，
即，
解得，
因?yàn)椋?br>所以,
解得.
變式14．（2023·廣東深圳·?？级＃┯浀膬?nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知.
(1)證明：；
(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求的面積.
【解析】（1）由正弦定理得：
所以可化為,
因?yàn)?
，所以
所以，
所以，即，
所以；
（2）角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，,
由角平分線定理可得，,
,又，
由余弦定理得：，，
在中，由余弦定理得：，
所以.
所以.
變式15．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)M在邊上，是角A的平分線，，．
(1)求A；
(2)若，求的長．
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，
又，所以，
又，
所以．
（2）已知是角A的平分線，,，
則，所以，
所以，
如圖，過M作交于點(diǎn)D，易知為正三角形，
所以，，．
在中，由余弦定理得，
．
變式16．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的橫線上，并給出解答．
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
已知中，角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，且________．
(1)求a的值；
(2)若的平分線交于點(diǎn)E，求的周長．
【解析】（1）若選①：由可得,
又,
故,
而，故，
又，所以；
設(shè)，則，

在中，由余弦定理得,
即，
在中，由余弦定理得,
即，和聯(lián)立解得，
則；
若選②：，設(shè)，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>即，解得，
故.
（2）由（1）可知，選①可得；選②可得，則，
故由，
可得，
解得，
故在中，，
即,
故的周長為.
題型五：中線問題
例13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足，．
(1)求角A；
(2)若，邊上中線，求的面積．
【解析】（1），
所以由正弦定理得，
，
，即，
，，
，；
（2），
則，即，
而，邊上中線，
故，解得，
．
例14．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．
(1)求△ACD的面積；
(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，
化簡(jiǎn)得：．
又因?yàn)椋?br>，所以，所以，
所以△ACD的面積為．
（2）由（1）可知，因?yàn)锳E是△ABC的邊BC上的中線，
所以，
所以，
所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．
例15．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在中，角所對(duì)的邊分別為，，．
(1)求的值；
(2)若，求邊上中線的長．
【解析】（1）由正弦定理得：，
，
，，，又，
，解得：.
（2），，
由余弦定理得：，
，，，即邊上中線的長為.
變式17．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.
(1)求；
(2)若的面積為，求邊上的中線的長.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，
所以，
所以
，
所以，
所以邊上的中線的長為：.
變式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）中，已知.邊上的中線為.
(1)求；
(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使存在且唯一確定，并求和的長度.
條件①：；條件②；條件③.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>則，
，
又，解得：，故.
（2）由（1）得，
又余弦定理得：，所以，
而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤，
由條件②，條件③，解得，
由余弦定理可得，所以.
在中，由正弦定理可得，解得，
又，所以，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，
在中，由余弦定理可得，解得.
故.
變式19．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，設(shè)中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
(1)求b邊的長度；
(2)求的面積；
(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．
【解析】（1）由已知條件可知：
在中，由正弦定理
得
在中，由余弦定理
得
，又
（2）設(shè)
為BC邊上中線
則

①
或
由①，得
（3）設(shè)，，（）
，
根據(jù)三點(diǎn)共線公式，得
（，為∠BAC）
變式20．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.
問題：已知中，分別為角所對(duì)的邊，__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，求的余弦值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【解析】（1）若選①，，由正弦定理得，又，
則，又，即，又，則；
若選②，由正弦定理得，又，則，
即，則，又，則；
（2）
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，易得，
由可得，則，則，
則.
題型六：高問題
例16．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，，.
(1)若，證明：；
(2)若邊上的高為，求的周長.
【解析】（1）由已知可得，
由正弦定理可得，，
所以有.
又，所以，.
又，所以.
，
，
.
又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則.
（2）由題意得的面積.
又，則.
由余弦定理，
得，
所以，.
所以，的周長為.
例17．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，．
(1)求；
(2)若，邊上的高線長，求．
【解析】（1）由已知得
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，又，
，
，
，
，
.
例18．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若．
(1)求A；
(2)若BC上的高，求．
【解析】（1）由題意得：，
則由余弦定理得，
因?yàn)?所以．
（2）由，則，所以，
則由正弦定理得，則，
又，
即，則．
變式21．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，且BC邊上的高為，求a．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以由余弦定理得，
由正弦定理得，
由于，
整理得．
又因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)椋裕?br>所以，即．
（2）由得，
又，所以，，
由余弦定理知，
解得.
變式22．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，點(diǎn)在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．
(1)求的值；
(2)若，求邊上的高的值．
【解析】（1）∵，
∴為的平分線，
在與中，根據(jù)正弦定理可得：
兩式相比可得：
又的面積與面積的比為，
∴，
即，且，
由得，
∴且為銳角，∴．
故答案為：
（2）由（1）知為銳角，且，
因此，
又，所以在中由余弦定理得，
解得：，
∵∴．
故答案為：
題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求的最小值；
(2)若M為的重心，，求．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
（2）
記邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，
所以，
在中，，為邊的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，
在中，，即，
在中，，即，
在中，，即，
消去x，y得，又，所以，
從而解得，即，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以.
例20．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知為的重心．
(1)若，求的長；
(2)若，求的面積．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?
所以，，
因?yàn)?，整理得，解得?br>所以
（2）由（1）知，記邊的中點(diǎn)為
因?yàn)闉榈闹匦模?br>所以，邊上的中線長為，即，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)為銳角時(shí)，，則由得，解得或，不滿足題意，舍去；
當(dāng)為鈍角時(shí)，，則由得，解得或，
所以，當(dāng)，的面積為
當(dāng)，的面積為.
例21．（2023·廣西欽州·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)求角的大小
(2)若，點(diǎn)是的重心，且，求內(nèi)切圓的半徑．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
即，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，解得
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，
所以，
即，解得或舍．
由余弦定理得，解得．
設(shè)內(nèi)切圓的圓心，半徑為，則
即，
即，
解得，即內(nèi)切圓的半徑為．
變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．
(1)求AD的長度；
(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF的長度．
【解析】（1）依據(jù)題意，由可得
，則，，
，，解得，
，解得AD為
（2）G為的重心，，，
，，，，，
變式24．（2023·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┑膬?nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為．
(1)求A的大小；
(2)M為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)D，___________，求的面積．
請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題．
①M(fèi)為的重心，；
②M為的內(nèi)心，；
③M為的外心，．
【解析】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）設(shè)外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，，
若選①：∵M(jìn)為該三角形的重心，則D為線段的中點(diǎn)且，
又，∴，
即，又由余弦定理得，即，解得，∴；
若選②：∵M(jìn)為的內(nèi)心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，，與所給條件矛盾，故不能選③.
變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．
在中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)G為重心，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)P，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)方案分別解答，按第一個(gè)方案解答計(jì)分．
【解析】（1）若選①，
由正弦定理可得
即，又，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>若選②，即，
即，
所以，即，所以，即，
因?yàn)椋裕?br>（2）依題意，，
所以，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，
所以，解得，
所以，
則，
因?yàn)?，所以?br>又為銳角三角形，
當(dāng)為銳角，則，即，
即，即，即，所以，
當(dāng)為銳角，則，即，
即，即，即，即，所以，
綜上可得，
又，則
因?yàn)?，所以，而在上單調(diào)遞減，所以，
即，即，所以，則.
題型八：外心及外接圓問題
例22．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.
(1)若，求的面積.
(2)是否存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1），由正弦定理得，
a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，，，
，，，，
，
，且，，
故的面積為.
（2）假設(shè)存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，則為鈍角三角形，
依題意可知，則C為鈍角，則，
所以，解得，
，，
，
存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，此時(shí)整數(shù)b的取值集合為.
例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，a＝6．
(1)求bcsC＋ccsB的值；
(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圓的半徑．
【解析】（1）
.
（2）設(shè)ABC外接圓的半徑是R．
因此
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c；，.
（1）求的值；
（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.
【解析】（1）依題意，由余弦定理得，
，，
，
所以或.
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
（2）若的外心在其外部，則不符合題意.
當(dāng)時(shí)，，為鈍角，符合題意.
，
設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，
所以外接圓的面積為.
變式26．（2023·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角，，對(duì)應(yīng)的三邊分別為，，，，，，為的外心，連接，，．
（1）求的面積；
（2）過作邊的垂線交于點(diǎn)，連接，試求的值．
【解析】（1）

在中，，則，
，
(是到的距離）
（2）
又
題型九：兩邊夾問題
例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，即?br>所以，
可得，
所以，
由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，
因?yàn)榍遥?br>所以，解得，所以，
又由正弦定理可得.
故選：C.
例26．（2023·河北唐山·高三?？茧A段練習(xí)）在中，、、分別是、、所對(duì)邊的邊長.若，則的值是（）.
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以，
即
所以，所以，所以，故選B.
例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知邊所對(duì)的角分別為，若，則 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得，由余弦定理得,即
因?yàn)?br>所以
變式27．（2023·江蘇蘇州·吳江中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，已知邊所對(duì)的角分別為，若，則_____．
【答案】-1
【解析】由得
由正弦定理得，
由余弦定理得,即因?yàn)?br>所以
變式28．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？奸_學(xué)考試）在中，已知邊、、所對(duì)的角分別為、、，若，，則的面積______.
【答案】
【解析】正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
因?yàn)椋?br>故，
故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得.
也即當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，
所以，即.
所以的面積為.
故答案為：.
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則角__．
【答案】
【解析】，，
即，
，，
，等價(jià)于且，
為的內(nèi)角，所以且，即．
則是等腰直角三角形，．
故答案為：．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)S是△ABC的面積，若﹣，則角A的值為_______．
【答案】
【解析】在中，由三角形的面積且，
所以，
又由余弦定理，
所以，
即，
由于，所以，則，
根據(jù)三角函數(shù)的值域，可知只有，所以，即，
故答案為.
題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題
例28．（2023·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，I為△ABC的內(nèi)心，延長線段AI交BC于點(diǎn)D，此時(shí)
(1)求；
(2)若∠ADB=，求.
【解析】(1)I為△ABC的內(nèi)心，則，
根據(jù)正弦定理：，，
，故，故.
(2)設(shè)，則，，
，故，
化簡(jiǎn)得到，，故，，，，
故
例29．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，,.
(1)求；
(2)若，M為的內(nèi)心，求的面積.
【解析】（1），由正弦定理得，
∴，得，.
∴，
∵A為三角形內(nèi)角，，
∴.
（2）由（1）可得，
∵，∴，，
∴，
，由正弦定理，
解得，，
則有.
設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，，
∴.
例30．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．
(1)求的值；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，，求．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
又，所以，
所以，
又，即.
（2）由余弦定理得，①
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，
由等面積公式得．
即．
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，，
所以．
變式31．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，①
因?yàn)?，所以?br>代入①式整理得，
又因?yàn)?、，，則，所以，
又因?yàn)?，解?
（2）由（1）知，，因?yàn)閮?nèi)切圓半徑為，
所以，即，
所以，②，
由余弦定理得，所以③，
聯(lián)立②③，得，解得，
所以的周長為.
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，其角、、所對(duì)邊分別為、、，且滿足．
(1)若，求的外接圓半徑；
(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以，所以外接圓半徑．
所以.
（2）因?yàn)椋深}可知，所以，
又因?yàn)椋傻茫?br>因?yàn)椋?br>由的面積，得．
變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，內(nèi)切圓半徑，則________.
【答案】
【解析】由
所以 ①
，
即 ②
由①②得，,
.
故答案為：

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