1.橢圓x2a2+y2=1(a>1)的離心率為12，則a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
2.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3+a7=6，a12=17，則S16=( )
A. 120B. 140C. 160D. 180
3.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則(AB+AC)?AB=( )
A. 10B. 12C. ?10D. ?12
4.設α，β是兩個平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是( )
A. 若α⊥β，m/?/α，l/?/β，則m⊥l
B. 若m?α，l?β，m/?/l，則α/?/β
C. 若α∩β=m，l/?/α，l/?/β，則m/?/l
D. 若m⊥α，l⊥β，m/?/l，則α⊥β
5.已知Q為直線l：x+2y+1=0上的動點，點P滿足QP=(1,?3)，記P的軌跡為E，則( )
A. E是一個半徑為 5的圓B. E是一條與l相交的直線
C. E上的點到l的距離均為 5D. E是兩條平行直線
6.中國國家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國國家表演藝術(shù)的最高殿堂，中外文化交流的最大平臺.大劇院的平面投影是橢圓C，其長軸長度約為212m，短軸長度約為144m.若直線l平行于長軸且C的中心到l的距離是24m，則l被C截得的線段長度約為( )
A. 140mB. 143mC. 200mD. 209m
7.“b=± 10”是“直線x+y+b=0與圓C：(x+1)2+(y?1)2=5相切”的( )
A. 充分條件B. 必要條件
C. 既是充分條件又是必要條件D. 既不是充分條件也不是必要條件
8.設雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線與C交于A，B兩點．|F1B|=2|F1A|,F2A?F2B=4a2，則C的離心率為( )
A. 2B. 2C. 5D. 7
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法中，正確的有( )
A. 過點P(1,2)且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0
B. 直線y=kx?2在y軸的截距是2
C. 直線x? 3y+1=0的傾斜角為30°
D. 過點(5,4)且傾斜角為90°的直線方程為x?5=0
10.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點(點P不與點C，C1重合)，過點P作平面α分別與棱BC，CD交于M，N兩點，若CP=CM=CN，則下列說法正確的是( )
A. A1C⊥平面α
B. 存在點P，使得AC1/?/平面α
C. 存在點P，使得點A1到平面α的距離為53
D. 用過P，M，D1三點的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形
11.拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C：y2=2x，O為坐標原點，一束平行于x軸的光線l1從點P(m,2)射入，經(jīng)過C上的點A(x1,y1)反射后，再經(jīng)過C上另一點B(x2,y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點Q，則( )
A. x1x2=14
B. 延長AO交直線x=?12于點D，則D，B，Q三點共線
C. |AB|=134
D. 若PB平分∠ABQ，則m=94
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知二面角α?l?β為120°，在α與β的交線上取線段AB=9，且AC，BD分別在平面α和β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，且AC=4，BD=12，則CD的長為______．
13.已知軸截面為正三角形的圓錐MM′的高與球O的直徑相等，則圓錐MM′的體積與球O的體積的比值是______ ，圓錐MM′的表面積與球O的表面積的比值是______ ．
14.四棱錐P?ABCD各頂點都在球心為O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AD=2，AB=2 2，設M，N分別是PD，CD的中點，則平面AMN截球O所得截面的面積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知圓C與y軸相切，且與x軸正半軸相交所得弦長為2 3，且圓心C在直線y=12x上.
(1)求圓心C的坐標；
(2)若圓C與直線x?2y?1=0相切，且與圓Q：x2+(y?2)2=1相外切，判斷是否存在符合題目要求的圓．
16.(本小題15分)
已知兩條直線l1：x+(1+a)y+a?1=0，l2：ax+2y+6=0.(a∈R)
(1)若l1⊥l2，求a的值；
(2)若l1//l2，求l1，l2之間的距離．
17.(本小題15分)
已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且點(1an,1an+1)在直線y=x+2上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)數(shù)列{anan+1}前n項和為Tn，求能使Tn0)相切于點A，動直線l與拋物線C交于不同兩點M，N(M,N異于點A)，且以MN為直徑的圓過點A．
(1)求拋物線C的方程及點A的坐標；
(2)當點A到直線l的距離最大時，求直線l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由題意得e= a2?1a=12，解得a=2 33．
故選：A．
由橢圓的離心率公式即可求解．
本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題．
2.【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
因為a3+a7=2a5=6，所以a5=3，所以a5+a12=3+17=20，
所以S16=(a1+a16)×162=8(a5+a12)=160．
故選：C．
根據(jù)題意，利用下標和性質(zhì)先求出a5+a12的值，然后根據(jù)前n項和公式結(jié)合下標和性質(zhì)求解出S16的值．
本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．
3.【答案】A
【解析】解：在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，
記AC=a,AB=b，
則|a|=3,|b|=4，?a,b?=120°，
∵a?b=|a|?|b|cs120°=12cs120°=?6，
∴(b+a)?b=|b|2+a?b=16?6=10，
即(AB+AC)?AB=10．
故選：A．
根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結(jié)果．
本題考查了平面向量數(shù)量積公式，屬基礎題．
4.【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，直線m，l可能平行，相交或異面，故A錯誤，
對于B，平面α，β可能相交或平行，故B錯誤，
對于C，由直線與平面平行性質(zhì)，分析可得C正確；
對于D，平面α，β可能相交或平行，故D錯誤．
故選：C．
根據(jù)題意，由線面平行性質(zhì)依次分析選項，綜合可得答案．
本題考查平面與平面的位置關(guān)系，涉及平面與平面、直線與平面平行的性質(zhì)和應用，屬于基礎題．
5.【答案】C
【解析】解：設P(x,y)，由QP=(1,?3)，則Q(x?1,y+3)，
由Q在直線l：x+2y+1=0上，故x?1+2(y+3)+1=0，
化簡得x+2y+6=0，即P的軌跡為E為直線且與直線l平行，
E上的點到l的距離d=|6?1| 12+22= 5，故A、B、D錯誤，C正確．
故選：C．
設P(x,y)，由QP=(1,?3)可得Q點坐標，由Q在直線上，故可將點代入坐標，即可得P軌跡E，結(jié)合選項即可得出正確答案．
本題考查軌跡方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
6.【答案】C
【解析】解：設該橢圓焦點在x軸上，以中心為原點，建立直角坐標系，如圖所示，
設橢圓的方程為：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由題意可得2a=212，2b=144，
將a=106，b=72代入方程，得x21062+y2722=1，
因為直線l平行于長軸且C的中心到l的距離是24m，
令y=24，得|x|=212 23，
所以|2x|=424 23≈200(m)．
故選：C．
建立直角坐標系，設該橢圓方程為x2a2+y2b2=1，a>b>0，由題意得出橢圓的方程，令y=24，即可得出答案．
本題主要考查了橢圓的標準方程和性質(zhì)，屬于中檔題．
7.【答案】C
【解析】解：由已知得圓心C(?1,1)，半徑r= 5，
圓心C到直線x+y+b=0的距離d=|b| 2= 5，
所以|b|= 10，即b=± 10，所以所求直線方程為x+y± 10=0．
“b= 10”是“直線x+y+b=0與圓C：(x+1)2+(y?1)2=5相切”的充要條件．
故選：C．
根據(jù)直線與圓相切可得d=r，求解b，即可得到結(jié)論．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應用，充要條件的判斷，是中檔題．
8.【答案】D
【解析】解：因為O為AB的中點，所以AF1BF2為平行四邊形，如圖：
|F1B|=|F2A|=2|F1A|，又|F2A|?|F1A|=2a，
所以|F1A|=2a，|F2A|=2|F1A|=4a；
F2A?F2B=F2A?AF1=?AF2??AF1=?2a?4acs∠F1AF2=?8a2cs∠F1AF2=4a2，
所以cs∠F1AF2=?12，
在△AF1F2中，由余弦定理得，
4c2=|F2A|2+|F1A|2?2|F2A|?|F1A|cs∠F1AF2=4a2+16a2?2×2a×4a×(?12)=28a2，
所以c= 7a，所以e= 7．
故選：D．
根據(jù)雙曲線的對稱性可知AF1BF2為平行四邊形，根據(jù)雙曲線的定義可知|F1A|=2a，||F2A|=2|F1A|=4a；利用數(shù)量積可以求出cs∠F1AF2=?12，利用余弦定理可求出4c2=28a2，即可求出離心率．
本題考查雙曲線定義，方程和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬中檔題．
9.【答案】CD
【解析】解：對于A，當截距為0時，可設直線方程為y=kx，
直線過點P(1,2)，
則直線為y=2x，
當截距不為0時，可設直線方程為x+y=a(a≠0)，
直線過點P(1,2)，
則1+2=a，即a=3，
故直線方程為x+y?3=0，
綜上所述，所求直線方程為2x?y=0或x+y?3=0，故A錯誤；
對于B，直線y=kx?2在y軸的截距是?2，故B錯誤；
對于C，直線x? 3y+1=0的斜率為 33，
則直線的x? 3y+1=0的傾斜角為30°，故C正確；
對于D，直線的傾斜角為90°，
則直線的斜率不存在，
直線過點(5,4)，
故所求直線的方程為x=5，即x?5=0，故D正確．
故選：CD．
對于A，分截距為0，不為0兩種情況討論，即可求解；
對于B，結(jié)合截距的定義，即可求解；
對于C，先求出直線的斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解；
對于D，根據(jù)已知條件，推得直線與x軸垂直，即可求解．
本題主要考查直線的截距式方程，以及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎題．
10.【答案】ACD
【解析】解：連接AD1，D1P，AM.DB．
易得AD1//PM，CC1//PM，C1D//PN，DB//MN．
對于A，可得正方體中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正確．
對于B，可得面C1DB//面PMN，故AC ?1不可能平行面PMN.故錯．
對于C，∵A1C⊥平面α，且A1C= 3>53，所以存在點P，使得點A1到平面α的距離為53，故正確．
對于D，用過P，M，D1三點的平面去截正方體，得到的截面是四邊形PMAD1，PM≠AD1，四邊形PMAD1一定是梯形，故正確．
故選：ACD．
連接AD1，D1P，AM.DB.易得AD1//PM，CC1//PM，C1D//PN，DB//MN.再結(jié)合正方體的性質(zhì)即可判斷．
本題考查了空間線線、線面位置關(guān)系，考查了空間想象能力，屬于中檔題
11.【答案】AB
【解析】解：由題意知，點F(12,0)，A(x1,2)，如圖：
將A(x1,2)代入y2=2x，得x1=2，所以A(2,2)，則直線AB的斜率k=2?02?12=43，
則直線AB的方程為y?0=43(x?12)，即y=43x?23，
聯(lián)立y2=2xy=43x?23，得8x2?17x+2=0，解得x1=2，x2=18，
又x2=18時，y2=?12，則B(18,?12)，
所以x1x2=2×18=14，所以A選項正確；
又|AB|=x1+x2+1=2+18+1=258，所以C選項錯誤；
又知直線BQ//x軸，且B(18,?12)，則直線BQ的方程為y=?12，
又A(2,2)，所以直線AO的方程為y=x，
令x=?12，解得y=?12，即D(?12,?12)，D在直線BQ上，
所以D，B，Q三點共線，所以B選項正確；
設直線PB的傾斜角為θ (θ∈(0,π2)，斜率為k0，直線AB的傾斜角為α，
若PB平分∠ABQ，即∠ABQ=2∠PBQ，即α=2θ，
所以tanα=tan2θ=2tanθ1?tan2θ，則43=2k01?k02，且k0>0，解得k0=12，
又k0=2?(?12)m?2=12，解得：m=418，所以D選項錯誤；
故選：AB．
根據(jù)題設和拋物線的性質(zhì)得到點F(12,0)，A(x1,2)，將點A(x1,2)代入拋物線C的方程得到x1，從而求出直線AB的方程，聯(lián)立直線AB和拋物線C得到點B的坐標，即可判斷選項A和C，又結(jié)合直線OA和直線x=?12得到點D，即可判斷B選項；若PB平分∠ABQ，得到∠ABQ=2∠PBQ，轉(zhuǎn)化為直線PB斜率k0和直線AB的斜率的關(guān)系式即可求出m．
本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題．
12.【答案】17
【解析】解：CD=CA+AB+BD，∵CD⊥AB，AB⊥BD，=180°?120°，
∴CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2CA?AB+2CA?BD+2AB?BD=42+92+122+0+2×4×12×12+0=289，
∴|CD|=17，
故答案為17．
利用CD=CA+AB+BD，兩邊平方即可求得CD的長．
本題考查求線段的長，考查轉(zhuǎn)化思想的運用，屬中檔題．
13.【答案】23 1
【解析】解：設圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，
因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高h= 3r，母線l=2r，
由題可知：h=2R，所以球的半徑R= 32r
所以圓錐的體積為V1=13×(π×r2)× 3r= 33πr3，
球的體積V2=43πR3=43π×( 32r)3= 32πr3，
所以V1V2= 33πr3 32πr3=23；
圓錐的表面積S1=πrl+πr2=3πr2，
球的表面積S2=4πR2=4π×( 32r)2=3πr2，
所以S1S2=3πr23πr2=1，
故答案為：23；1．
設圓錐的底面圓半徑r以及球的半徑R，用r表示出圓錐的高h和母線l以及球的半徑R，然后根據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比．
本題考查幾何體的體積的求法，球的體積的求法，是中檔題．
14.【答案】3π
【解析】【分析】
本題主要考查了棱錐的體積公式，考查了球的結(jié)構(gòu)特征，及空間幾何體的截面問題，屬于中檔題．
先求出球O的直徑，再利用等體積法求出點D到平面AMN的距離，進而求出截面圓的半徑，即可求解．
【解答】
解：由題設知球心O為PC中點，
所以球O的直徑2R= 22+22+(2 2)2=4，
所以R=2，
所以球O的體積V=43πR3=323π，
設球心O到平面AMN的距離為d，截面圓的半徑為r，
由題意可知，球心O到平面AMN的距離等于點D到平面AMN的距離，
在三棱錐D?AMN中，由等體積法得VD?AMN=VN?AMD，
即13S△AMN?d=13S△AMD?ND，
所以13×12× 2×2×d=13×12× 2× 2× 2，
解得d=1，
所以r2=R2?d2=4?1=3，
所以截面面積為πr2=3π．
故答案為：3π．
15.【答案】解：(1)由圓C的圓心在直線y=12x上，可設圓心為(2a,a)．
∵圓C與y軸相切，∴半徑r=2|a|．
又∵該圓截x軸正半軸所得弦的長為2 3，可得a>0，
∴a2+( 3)2=(2a)2，解得a=1．
因此，圓心為(2,1)，半徑r=2．
∴圓C的標準方程為(x?2)2+(y?1)2=4；
(2)設圓心為(2a,a)，圓C與直線x?2y?1=0相切，且與圓Q：x2+(y?2)2=1相外切，
則|2a?2a?1| 1+4= (2a)2+(a?2)2?1，
即1 5= 5a2?4a+4?1，整理得25a2?20a+16?2 5．
∵Δ=(?20)2?4×25×(16?2 5)=200( 5?4)0，
即y?5=k(x?2)，
故直線l過定點Q(2,5)，
當直線l與AQ垂直時，點A到直線l的距離最大，
又kAQ=5?12?(?2)=1，
∴k=?1，
故直線l的方程為x+y?7=0．
【解析】(1)聯(lián)立x+y+1=0x2=2py，根據(jù)Δ=0，求出p，即可得出答案；
(2)由題意可設直線l的方程為y=kx+b，M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得x1+x2，x1x2，再根據(jù)以MN為直徑的圓過點A，可得AM?AN=0，從而可求得k，b的關(guān)系，從而可求得直線l所過的定點Q，再由直線l與AQ垂直時，點A到直線l的距離最大，即可得出答案．
本題考查直線與拋物線的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

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