一、選擇題
1．已知集合,則( )
A.B.C.D.
2．已知命題,或,則為( )
A.,且B.,或
C.,或D.,且
3．按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列,,,…的第10項是( )
A.B.C.D.
4．設,則“”是“”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.不充分也不必要條件
5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A.B.C.D.
6．2020年初,新型冠狀病毒（）引起的肺炎疫情爆發(fā)以來,各地醫(yī)療機構采取了各種針對性的治療方法,取得了不錯的成效,某醫(yī)療機構開始使用中西醫(yī)結合方法后,每周治愈的患者人數(shù)如下表所示：
由上表可得y關于x的線性回歸方程為,則此回歸模型第5周的殘差（實際值減去預報值）為( )
A.-1B.0C.1D.2
7．已知函數(shù)的圖象在處的切線為,則l與坐標軸圍成的三角形的面積為( )
A.B.C.D.
8．函數(shù)的圖象大致是( )
A.B.C.D.
9．已知,,,則a,b,c的大小關系為( )
A.B.C.D.
10．若函數(shù)在上是單調減函數(shù),則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
11．奇函數(shù)滿足,當時,,則( )
A.0B.1C.2D.-1
12．已知為定義在R上的偶函數(shù),當時,有,且時;,給出下列命題：①;②函數(shù)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù);③直線與函數(shù)的圖象有1個交點;④函數(shù)的值域為,其中正確命題有( )
A.0個B.1個C.2個D.3個
二、填空題
13．函數(shù)的定義域為__________.
14．若復數(shù),則__________.
15．已知為R上的奇函數(shù),且當時,,則_____________.
16．已知,則______________
三、解答題
17．命題任意,成立;命題存在,+成立.
（1）若命題q為假命題,求實數(shù)m的取值范圍;
（2）若命題p和q有且只有一個為真命題,求實數(shù)m的取值范圍.
18．某市從2020年5月1日開始,若電子警察抓拍到機動車不禮讓行人的情況后,交警部門將會對不禮讓行人的駕駛員進行扣3分,罰款200元的處罰,并在媒體上曝光.但作為交通重要參與者的行人,闖紅燈通行卻頻有發(fā)生,帶來了較大的交通安全隱患和機動車通暢率降低點情況.交警部門在某十字路口根據(jù)以往的監(jiān)測數(shù)據(jù),得到行人闖紅燈的概率為0.2,并從穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調查,對是否存在闖紅燈的情況進行統(tǒng)計,得到2×2列聯(lián)表如下：
近期,為了整頓“行人闖紅燈”這一不文明的違法行為,交警部門在該十字路口試行了對闖紅燈的行人進行5元以上,50元以下的經(jīng)濟處罰.在試行經(jīng)濟處罰一段時間后,交警部門再次對穿越該路口的行人中隨機抽取了200人進行調查,對是否存在闖紅燈的情況進行統(tǒng)計,得到2×2列聯(lián)表如下：
將統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得頻率視為概率,完成下列問題：
（1）將2×2列聯(lián)表填寫完整（不需要寫出填寫過程）,并根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析,在試行對闖紅燈的行人進行經(jīng)濟處罰前,是否有90%的把握認為闖紅燈行為與年齡有關;
（2）在試行對闖紅燈的行人進行經(jīng)濟處罰后,闖紅燈現(xiàn)象是否有明顯改善,請說明理由;
（3）結合調查結果,請你對“如何治理行人闖紅燈現(xiàn)象”提出合理的建議（至少提出兩條建議）.
19．已知函數(shù).
（1）當時,求證：函數(shù)在上單調遞增;
（2）若函數(shù)有三個零點,求t的值.
20．某公司決定采用增加廣告投入和技術改造投入兩項措施來獲得更大的收益.通過對市場的預測,當對兩項投入都不大于3(百萬元)時,每投入x(百萬元)廣告費,增加的銷售額可近似的用函數(shù)(百萬元)來計算;每投入x(百萬元)技術改造費用,增加的銷售額可近似的用函數(shù)(百萬元)來計算.現(xiàn)該公司準備共投入3(百萬元),分別用于廣告投入和技術改造投入,請設計一種資金分配方案,使得該公司的銷售額最大. (參考數(shù)據(jù)：,)
21．函數(shù).
（1）討論函數(shù)的極值;
（2）當時,求函數(shù)的零點個數(shù).
22．已知動點P,Q都在曲線上,且對應參數(shù)值分別為與（）,點M為PQ的中點.
（1）求點M的軌跡的參數(shù)方程（用作參數(shù)）;
（2）將點M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù),并判斷點M的軌跡是否過坐標原點.
參考答案
1．答案：D
解析：由可解得,,
,,
.
故選：D.
2．答案：D
解析：
命題,或,為全稱命題,
則為：,且,
故選：D.
3．答案：D
解析：根據(jù)題意,數(shù)列的第1個數(shù)為,有,
數(shù)列的第2個數(shù)為,有,
數(shù)列的第3個數(shù)為,有,
……
依此類推,數(shù)列的第10項為,
故選：D.
4．答案：B
解析：由可得,由可得
所以“”是“”的必要而不充分條件
故選：B.
5．答案：D
解析：函數(shù),畫出與的圖象,如下圖：
當時,,
當時,,
函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.
故選：D.
6．答案：A
解析：由表格中的數(shù)據(jù)可得,,
由于回歸直線過樣本的中心點,則,解得,回歸直線方程為,
將代入回歸直線方程可得,
因此,第5周的殘差為.
故選：A.
7．答案：B
解析：由題意,且,,得,,
l的方程為,則l與坐標軸的交點的坐標分別是,,
故l與坐標軸圍成的三角形的面積.
故選：B.
8．答案：D
解析：由題知當時,函數(shù),排除A,C,
又由,,,排除B.
故選：D.
9．答案：B
解析：,,,,;
與圖象如下圖所示：
由圖象可知：,則.
故選：B.
10．答案：A
解析：由題意得,,
因為在上是單調減函數(shù),
所以≤0在上恒成立,
當時,則在上恒成立,
即a,設,
因為,所以,
當時,取到最大值是：,
所以a,
所以數(shù)a的取值范圍是.
故選：A.
11．答案：B
解析：因為函數(shù)為奇函數(shù),則,解得,
所以,當時,,
由已知條件可得,
所以,函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),則.
故選：B.
12．答案：D
解析：由題設,,即是周期為2的函數(shù),
令,則,而時;,
.
綜上：且在上周期為2.
為定義在R上的偶函數(shù),
在上周期為2且.
①,正確;
②函數(shù)在定義域R上是周期為2的周期函數(shù),錯誤;
③直線與函數(shù)的圖象如下圖示,只有1個交點,正確;
④函數(shù)如下圖示,其值域為,正確;
故選：D.
13．答案：
解析：由函數(shù)解析式,知：,解得且.
故答案為：.
14．答案：.
解析：,
故答案為：.
15．答案：-2
解析：由為R上的奇函數(shù),有,
根據(jù)函數(shù)解析式,有,即,
,則,
.
故答案為：-2.
16．答案：100
解析：,
故答案為：100.
17．答案：（1）;
（2）或或.
解析：（1）由q真：,得或,
所以q假：;
（2）p真推出,
由p和q有且只有一個為真命題,
p真q假,或p假q真,
或,
或或.
18．答案：（1）列聯(lián)表見解析,有把握;
（2）有明顯改善,理由見解析;
（3）答案見解析.
解析：（1）由題意,可將列聯(lián)表填寫完整如下：
因為
所以有的把握認為闖紅燈行為與年齡有關.
（2）在試行對闖紅燈的行人進行經(jīng)濟處罰后,行人闖紅燈的概率為,
而在試行對闖紅燈的行人進行經(jīng)濟處罰前,行人闖紅燈的概率為0.2,
故在試行對闖紅燈的行人進行經(jīng)濟處罰后,闖紅燈現(xiàn)象有明顯改善.
（3）①根據(jù)調查數(shù)據(jù)顯示,行人闖紅燈與年齡有明顯關系,故可以針對45歲以上人群開展“道路安全”宣傳教育;
②由于經(jīng)濟處罰可以明顯降低行人闖紅燈的概率,故可以在法律允許范圍內進行適當?shù)慕?jīng)濟處罰.
19．答案：（1）利用導數(shù)法求解單調區(qū)間即可證明;
（2）
解析：(1)證明導函數(shù)在上恒大于等于零即可.
(2)把函數(shù)有三個零點,轉化為方程有三個根求解,然后利用導數(shù)求出的極值,畫出草圖,數(shù)形結合求解即可.
20．答案：當該公司用于廣告投入1.27(百萬元),用于技術改造投入1.73(百萬元)時,公司將有最大的銷售額.
解析：設3百萬元中技術改造投入為x(百萬元),廣告費投入為 (百萬元),則廣告收入帶來的銷售額增加值為 (百萬元),技術改造投入帶來的銷售額增加值為 (百萬元),
所以,投入帶來的銷售額增加值.
整理上式得,
因為,令,解得或(舍去),
當,,當時,,
所以,時,取得最大值.
所以,當該公司用于廣告投入1.27(百萬元),用于技術改造投入1.73(百萬元)時,公司將有最大的銷售額.
21．答案：（1）答案見解析;
（2）答案見解析.
解析：（1）由題意,函數(shù),可得,
當時,,在R上為單調增函數(shù),此時無極值;
當時,令,解得,
所以在上為單調增函數(shù),
令,解得,在上為單調減函數(shù),
所以當時,函數(shù)取得極小值,無極大值.
綜上所述：
當時,無極值,
當時,,無極大值.
（2）由（1）知當時,在上為單調增函數(shù),在上為單調減函數(shù),且,
又由,若時,;
若時,;
當,即時,無零點;
當,即時,有1個零點;
當,即時,有2個零點.
綜上：當時,無零點;
當時,有1個零點;
當時,有2個零點.
22．答案：（1）;
（2）見解析.
解析：（1）由題意有,
因此,
M的軌跡的參數(shù)方程為
（2）M點到坐標原點的距離：


當時,,故M的軌跡過坐標原點.
第x周
1
2
3
4
5
治愈人數(shù)y（單位：十人）
3
8
10
14
15
45歲以下
45歲以上
合計
闖紅燈人數(shù)
25
未闖紅燈數(shù)
85
合計
200
45歲以下
45歲以上
合計
闖紅燈人數(shù)
5
15
20
未闖紅燈人數(shù)
95
85
180
合計
100
100
200
45歲以下
45歲以上
合計
闖紅燈人數(shù)
15
25
40
未闖紅燈人數(shù)
85
75
160
合計
100
100
200

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