1．（3分）下列圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）事件A＝扔一枚硬幣，結(jié)果正面朝上是（ ）
A．必然事件B．確定事件
C．隨機(jī)事件D．不可能事件
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程變形正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝6B．（x﹣2）2＝9C．（x+1）2＝6D．（x+2）2＝9
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
5．（3分）已知⊙O的半徑為10，若PO＝6，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．無(wú)法判斷
6．（3分）在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（ ）
A．15個(gè)B．20個(gè)C．30個(gè)D．35個(gè)
7．（3分）九年級(jí)某學(xué)生對(duì)自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為y＝﹣，由此可知該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋? ）
A．6米B．10米C．12米D．15米
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則k的值可能是（ ）
A．0B．2C．3D．4
9．（3分）如圖，過(guò)x軸正半軸任意一點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，分別與反比例函數(shù)y1＝和y2＝的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC繞BC邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)E恰好落在A(yíng)C邊上，且DF邊交AC邊于點(diǎn)G，則CG的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ．
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
13．（3分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2﹣6m+1＝ ．
14．（3分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx與直線(xiàn)y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關(guān)于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集為 ．
15．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA＝2，則陰影部分的面積為 ．
三、解答題一（本大題共2小題，每小題5分，共10分）
16．（5分）解方程：3x2+4x＝2．
17．（5分）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1，畫(huà)出△AB1C1．
（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2．
四、解答題二（本大題共3小題，每小題7分，共21分）
18．（7分）現(xiàn)今網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)成為消費(fèi)的新常態(tài)，某快遞公司今年8月份的投遞快遞總件數(shù)為10萬(wàn)件，由于改進(jìn)分揀技術(shù)，增加投遞業(yè)務(wù)人員，10月份的投遞快遞總件數(shù)達(dá)到12.1萬(wàn)件，假設(shè)該公司每個(gè)月的投遞快遞總件數(shù)平均增長(zhǎng)率相同．
（1）求該公司的投遞快遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率；
（2）如果繼續(xù)保持上面的月平均增長(zhǎng)率，平均每個(gè)業(yè)務(wù)員每月最多可投遞快遞0.7萬(wàn)件，那么20名投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年11月份的快遞投遞任務(wù)？說(shuō)明理由．
19．（7分）小明與小紅在玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲時(shí)，把轉(zhuǎn)盤(pán)A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，如圖所示．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．
（1）小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)B，轉(zhuǎn)到的數(shù)字是偶數(shù)的概率為： ；
（2）現(xiàn)游戲規(guī)則為：轉(zhuǎn)盤(pán)A轉(zhuǎn)出的數(shù)字記為x，轉(zhuǎn)盤(pán)B轉(zhuǎn)出的數(shù)字記為y，若x，y滿(mǎn)足xy＞6，則小明勝，若xy＜6，則小紅勝，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平．
20．（7分）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，連結(jié)CF交OB于點(diǎn)G，連結(jié)BC．
（1）求證：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的長(zhǎng)．
五、解答題三（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
21．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（m，4），與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知P為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，S△OBP＝12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
22．（8分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E為正方形CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AE于點(diǎn)P，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AP′，連接P′D．
（1）求證：PB＝P′D；
（2）若DF＝1，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度．
23．（8分）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件成本為80元的新商品，在商場(chǎng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）與每天銷(xiāo)售量y（件）之間滿(mǎn)足如圖所示的關(guān)系：
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）疫情期間，有關(guān)部門(mén)規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過(guò)25%，那么將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是多少？
（3）在試銷(xiāo)過(guò)程中，受?chē)?guó)家扶持，每銷(xiāo)售一件新產(chǎn)品，國(guó)家補(bǔ)貼商場(chǎng)a元（0＜a≤5），并要求包含補(bǔ)貼后每件的利潤(rùn)不高于36元，通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)：每件補(bǔ)貼經(jīng)費(fèi)a元后，每天銷(xiāo)售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大，求出a的取值范圍．
六、解答題四（本大題共2小題，每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，在△PBD中，PO平分∠BPD，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∠EDB＝∠EPB，以O(shè)B為半徑的⊙O的交BD于點(diǎn)A，已知PB＝6，DB＝8．
（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)．
（2）求⊙O的半徑．
（3）連接BE，求BE的長(zhǎng)．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2與x軸相交于A(yíng)（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023-2024學(xué)年廣東省東莞市校際聯(lián)盟九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（3分）下列圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：A．
2．（3分）事件A＝扔一枚硬幣，結(jié)果正面朝上是（ ）
A．必然事件B．確定事件
C．隨機(jī)事件D．不可能事件
【解答】解：事件A扔一枚硬幣，結(jié)果正面朝上是隨機(jī)事件，
故選：C．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程變形正確的是（ ）
A．（x﹣1）2＝6B．（x﹣2）2＝9C．（x+1）2＝6D．（x+2）2＝9
【解答】解：方程變形得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，
故選：A．
4．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣1）2﹣1
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝（x﹣1）2﹣1．
故選：B．
5．（3分）已知⊙O的半徑為10，若PO＝6，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O外D．無(wú)法判斷
【解答】解：∵OP＝6、r＝10，
∴OP＜r，
則點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，
故選：A．
6．（3分）在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（ ）
A．15個(gè)B．20個(gè)C．30個(gè)D．35個(gè)
【解答】解：設(shè)袋中有黃球x個(gè)，由題意得＝0.3，
解得x＝15，則白球可能有50﹣15＝35個(gè)．
故選：D．
7．（3分）九年級(jí)某學(xué)生對(duì)自己某次實(shí)心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系為y＝﹣，由此可知該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋? ）
A．6米B．10米C．12米D．15米
【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，﹣＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝10．
所以該生此次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?0米，
故選：B．
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則k的值可能是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【解答】解：由題意Δ＞0且k≠2，
∴4﹣4（k﹣2）＞0且k≠2，
∴k＜3且k≠2，
故選：A．
9．（3分）如圖，過(guò)x軸正半軸任意一點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，分別與反比例函數(shù)y1＝和y2＝的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連接AC、BC，則△ABC的面積為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：設(shè)線(xiàn)段OP＝x，則PB＝，AP＝，
∴S四邊形ACOP＝（OC+AP）×OP＝OC+1；SBCOP＝（OC+BP）×OP＝OC+2，
∴S△ABC＝S四邊形BCOP﹣S四邊形ACOP＝1．
故選：A．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC繞BC邊的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后得△DEF，若直角頂點(diǎn)E恰好落在A(yíng)C邊上，且DF邊交AC邊于點(diǎn)G，則CG的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作AC的垂線(xiàn)，垂足為M，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
又∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，
∴OC＝OB＝4，
則cs∠ACB＝，
∴，
則CM＝，
又由旋轉(zhuǎn)可知，
FE＝CB＝8，∠ACB＝∠DFE，EO＝OB＝4，
又∵∠FEG＝∠CEO，
∴△EGF∽△EOC，
∴，
則，
∴EG＝5，
∴CG＝CE﹣EG＝．
故選：B．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 x≠2 ．
【解答】解：由題意得：4﹣2x≠0，
解得：x≠2，
故答案為：x≠2．
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為 （﹣2，3） ．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3）．
故答案為：（﹣2，3）．
13．（3分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式2m2﹣6m+1＝ ﹣1 ．
【解答】解：根據(jù)題意，將x＝m代入方程，得：m2﹣3m+1＝0，
則m2﹣3m＝﹣1，
∴2m2﹣6m+1
＝2（m2﹣3m）+1
＝2×（﹣1）+1
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
14．（3分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx與直線(xiàn)y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），則關(guān)于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集為 ﹣3＜x＜1 ．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx與直線(xiàn)y＝mx+n相交于點(diǎn)A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），
∴關(guān)于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集為﹣3＜x＜1，
故答案為：﹣3＜x＜1．
15．（3分）如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑作交OB于點(diǎn)D．若OA＝2，則陰影部分的面積為 + ．
【解答】解：連接OE、AE，
∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO為等邊三角形，
∴S扇形AOE＝＝π，
∴S陰影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（π﹣×1×）
＝π﹣π+
＝+．
故答案為：+．
三、解答題一（本大題共2小題，每小題5分，共10分）
16．（5分）解方程：3x2+4x＝2．
【解答】解：3x2+4x＝2，
3x2+4x﹣2＝0，
這里a＝3，b＝4，c＝﹣2，
∴Δ＝42﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（5分）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．
（1）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1，畫(huà)出△AB1C1．
（2）畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如圖，△AB1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
四、解答題二（本大題共3小題，每小題7分，共21分）
18．（7分）現(xiàn)今網(wǎng)購(gòu)已經(jīng)成為消費(fèi)的新常態(tài)，某快遞公司今年8月份的投遞快遞總件數(shù)為10萬(wàn)件，由于改進(jìn)分揀技術(shù)，增加投遞業(yè)務(wù)人員，10月份的投遞快遞總件數(shù)達(dá)到12.1萬(wàn)件，假設(shè)該公司每個(gè)月的投遞快遞總件數(shù)平均增長(zhǎng)率相同．
（1）求該公司的投遞快遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率；
（2）如果繼續(xù)保持上面的月平均增長(zhǎng)率，平均每個(gè)業(yè)務(wù)員每月最多可投遞快遞0.7萬(wàn)件，那么20名投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年11月份的快遞投遞任務(wù)？說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）設(shè)該公司的投遞快遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝﹣2.1（不符合題意，舍去），x2＝0.1＝10%，
答：該公司的投遞快遞總件數(shù)月平均增長(zhǎng)率為10%；
（2）該公司現(xiàn)有的20名投遞業(yè)務(wù)員能完成今年11月份的快遞投遞任務(wù)，理由如下：
由題意可知，11月份的快遞投遞總件數(shù)：12.1×（1+10%）＝13.31 （萬(wàn)件），
∵0.7×20＝14（萬(wàn)件），14＞13.31，
∴該公司現(xiàn)有的20名投遞業(yè)務(wù)員能完成今年11月份的快遞投遞任務(wù)．
19．（7分）小明與小紅在玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲時(shí)，把轉(zhuǎn)盤(pán)A、B分別分成4等份、3等份，并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，如圖所示．游戲規(guī)定：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，指針必須指到某一數(shù)字，否則重轉(zhuǎn)．
（1）小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)B，轉(zhuǎn)到的數(shù)字是偶數(shù)的概率為： ；
（2）現(xiàn)游戲規(guī)則為：轉(zhuǎn)盤(pán)A轉(zhuǎn)出的數(shù)字記為x，轉(zhuǎn)盤(pán)B轉(zhuǎn)出的數(shù)字記為y，若x，y滿(mǎn)足xy＞6，則小明勝，若xy＜6，則小紅勝，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法說(shuō)明這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是否公平．
【解答】解：（1）∵轉(zhuǎn)盤(pán)B分成3等份，
∴小明轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)B，轉(zhuǎn)到的數(shù)字是偶數(shù)的概率為，
故答案為：；
（2）這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平．理由如下：
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中xy＞6的結(jié)果有6種，xy＜6的結(jié)果有4種，
∴小明勝的概率＝＝，小紅勝的概率＝＝，
∵≠，
∴這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平．
20．（7分）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，連結(jié)CF交OB于點(diǎn)G，連結(jié)BC．
（1）求證：GE＝BE；
（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵D是的中點(diǎn)，
∴∠ECG＝∠ECB，
∵CD⊥AB，
∴∠CEG＝∠CEB＝90°，
∴∠CGE＝∠CBE，
∴CG＝CB，
∵CE⊥BG，
∴EG＝EB；
（2）解：∵AG＝6，BG＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1，
由（1）知GE＝BE＝BG＝2，
∴OE＝OG+GE＝1+2＝3，
∴CE＝＝4，
∵直徑AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝2×4＝8．
五、解答題三（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
21．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（m，4），與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知P為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，S△OBP＝12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（m，4）在反比例函數(shù) 的圖象上，
∴，
∴m＝1，
∴A（1，4），
又∵點(diǎn)A（1，4）、C（0，3）都在一次函數(shù)y＝kx+b的圖象上，
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+3；
（2）對(duì)于y＝x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣3，
∴OB＝3，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，），
根據(jù)題意得：＝12，
解得m＝，
根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，8）或（﹣，﹣8）．
22．（8分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E為正方形CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AE于點(diǎn)P，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AP′，連接P′D．
（1）求證：PB＝P′D；
（2）若DF＝1，求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AP′，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠BAP＝∠DAP′＝90°﹣∠PAD，
在△ABP和△ADP′中，
，
∴△ABP≌△ADP′（SAS），
∴PB＝P′D．
（2）解：∵BP⊥AE于點(diǎn)P，
∴∠APB＝∠APF＝90°，
∵△ABP≌△ADP′，
∴∠P′＝∠APB＝90°，
∵∠PAP′＝90°，
∴四邊形APFP′是矩形，
∵AP＝AP′，
∴四邊形APFP′是正方形，
∴AP＝AP′＝P′F，
∵AD＝5，DF＝1，
∴P′D＝P′F+DF＝AP+1，
∵AP′2+P′D2＝AD2，
∴AP2+（AP+1）2＝52，
解得AP＝3或AP＝﹣4（不符合題意，舍去），
∴線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度為3．
23．（8分）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件成本為80元的新商品，在商場(chǎng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）與每天銷(xiāo)售量y（件）之間滿(mǎn)足如圖所示的關(guān)系：
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）疫情期間，有關(guān)部門(mén)規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過(guò)25%，那么將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是多少？
（3）在試銷(xiāo)過(guò)程中，受?chē)?guó)家扶持，每銷(xiāo)售一件新產(chǎn)品，國(guó)家補(bǔ)貼商場(chǎng)a元（0＜a≤5），并要求包含補(bǔ)貼后每件的利潤(rùn)不高于36元，通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)：每件補(bǔ)貼經(jīng)費(fèi)a元后，每天銷(xiāo)售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大，求出a的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，則﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+50（80＜x≤150）；
（2）∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣80）?y＝（x﹣80）（﹣x+150），
∴W＝﹣x2+230x﹣12000，
∴每天的利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為W＝﹣x2+230x﹣12000（80＜x≤150）；
根據(jù)題意可得：
，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴當(dāng)x＝100時(shí)，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
答：將售價(jià)定為100元，每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是1000元；
（3）根據(jù)題意可知：x﹣80+a≤36，
解得：x≤116﹣a，即售價(jià)不能高于（116﹣a）元，
根據(jù)題意可得：，
∵該商品每天銷(xiāo)售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大，
∴，
解得：a≥2，
∵0＜a≤5，
∴2≤a≤5．
六、解答題四（本大題共2小題，每小題10分，共20分）
24．（10分）如圖，在△PBD中，PO平分∠BPD，DE⊥PO交PO延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∠EDB＝∠EPB，以O(shè)B為半徑的⊙O的交BD于點(diǎn)A，已知PB＝6，DB＝8．
（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)．
（2）求⊙O的半徑．
（3）連接BE，求BE的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵DE⊥PO，
∴∠DEP＝90°，
∴∠EDO+∠DOE＝90°，
∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，
∴∠POB+∠EPB＝90°，
∴∠PBO＝90°，
∴OB⊥PB，
∵OB為⊙O的半徑，
∴PB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥PD于點(diǎn)F，如圖，
∵PO平分∠BPD，OF⊥PD，OB⊥PB，
∴OB＝OF＝⊙O的半徑，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝BD﹣OB＝8﹣r．
∵PB＝6，DB＝8，∠PBO＝90°，
∴PD＝＝10．
在△Rt△PFO和Rt△PBO中，
，
∴△Rt△PFO≌Rt△PBO（HL），
∴PF＝PB＝6，
∴DF＝4．
∵DF2+OF2＝OD2，
∴42+r2＝（8﹣r）2，
解得：r＝3．
∴⊙O的半徑為3．
（3）解：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，
∴△DEO∽△PBO，
∴，
∵∠BOE＝∠POD，
∴△BOE∽△POD，
∴，
∵PO＝＝3，
∴，
∴BE＝2．
25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2與x軸相交于A(yíng)（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）過(guò)P作PK∥y軸交BC于K，如圖：
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
由B（4，0），C（0，2）得直線(xiàn)BC解析式為y＝﹣x+2，
設(shè)P（t，﹣t2+t+2），則K（t，﹣t+2），
∴PK＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，
∴S△PBC＝PK?|xB﹣xC|＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，S△PBC取最大值4，此時(shí)P（2，3），
∴△PBC面積的最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°，理由如下：
當(dāng)Q在BC上方時(shí)，過(guò)B作BT⊥CQ于T，過(guò)T作MN⊥y軸于N，過(guò)B作BM⊥MN于M，如圖：
∵∠QCB＝45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC＝90°，BT＝CT，
∴∠CTN＝90°﹣∠BTM＝∠TBM，
∵∠M＝∠TNC＝90°，
∴△BTM≌△TCN（AAS），
∴BM＝NT，TM＝CN，
設(shè)T（m，n），則NT＝m，BM＝n，
∵B（4，0），C（0，2），
∴TM＝MN﹣NT＝4﹣m，CN＝ON﹣OC＝n﹣2，
∵BM＝NT，TM＝CN，
∴，
解得
∴T（3，3），
由C（0，2），T（3，3）得直線(xiàn)CT解析式為y＝x+2，
聯(lián)立，
解得，
∴Q（，）；
當(dāng)Q在BC下方時(shí)，過(guò)B作BR⊥CQ于R，過(guò)R作SW⊥y軸于W，過(guò)B作BS⊥SW于S，如圖：
同理可得△BSR≌△RWC（AAS），
∴BS＝RW，RS＝CW，
設(shè)R（p，q），
∴，
解得，
∴R（1，﹣1），
∴直線(xiàn)CR解析式為y＝﹣3x+2，
聯(lián)立，
解得，
∴Q（9，﹣25），
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（，）或（9，﹣25）．

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