數(shù)學(xué)科試題
本試題共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
說明：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并在“考場(chǎng)號(hào)”、“座位號(hào)”欄內(nèi)填涂考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào).
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試題卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4．考生必須保持答題卡整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回，試題卷自己保存.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.
1．已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．已知直線m經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線m的斜率為（ ）
A．-2B．C．D．2
3．已知空間向量，，則（ ）
A．B．19C．17D．
4．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（ ）
A．12B．32C．36D．37
5．地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujl提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)站的距離至少為（ ）
A．B．C．D．
6．已知圓和存在公共點(diǎn)，則m的值不可能為（ ）
A．3B．C．5D．
7．如圖，在四面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．對(duì)于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則數(shù)列是無界的B．若，則數(shù)列是有界的
C．若，則數(shù)列是有界的D．若，則數(shù)列是有界的
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9．已知向量，則與同向共線的單位向量（ ）
A．B．
C．D．
10．已知數(shù)列滿足，，記，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在，使得的傾斜角為
B．存在，使得的傾斜角為
C．存在，使直線與圓相離
D．對(duì)任意的，直線與圓相交，且時(shí)相交弦最短
12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．若，且，則
C．分別以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切
D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．若直線與直線平行，則 .
14．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則 ．
15．已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是 ．
16．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．已知直線和直線．
(1)若時(shí)，求a的值；
(2)當(dāng)平行，求兩直線，的距離．
18．已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過點(diǎn)A．
(1)求r的值；
(2)若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線垂直于直線l，求弦長(zhǎng)．
19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．
(1)求證：AB⊥PC；
(2)點(diǎn)M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積．
20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為..
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填在橫線上，并完成下面的問題.①，；②是和的等比中項(xiàng)，.若公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
21．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上．
(1)求的值；
(2)若直線l與拋物線C交于，兩點(diǎn)，，且，求的最小值．
22．已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)．
(1)求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
(2)設(shè)直線過點(diǎn)且與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．
參考答案與解析
1．B
【分析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.
【解答】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，
故選：B
2．A
【分析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.
【解答】直線的斜率為：.
故選：A
3．D
【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出其模
【解答】因?yàn)?，?br>所以，故，
故選：D.
4．C
【分析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【解答】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.
故選：C.
5．A
【分析】設(shè)震中為，根據(jù)雙曲線的定義以及可求出結(jié)果.
【解答】設(shè)震中為，依題意有，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線靠近的一支，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，
所以,所以，
所以震中到地震臺(tái)站的距離至少為.
故選：A
6．D
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【解答】因?yàn)閳A和存在公共點(diǎn)，
所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，
即，
解得，選項(xiàng)ABC滿足，m的值不能為D.
故選：D
7．B
【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量、，進(jìn)而求得．
【解答】解：，
，
．
故選：B．
8．C
【分析】根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知不存在最大值，即數(shù)列無界；分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下得到，由此可確定，知C正確；采用放縮法可求得，由可知D錯(cuò)誤.
【解答】對(duì)于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，
數(shù)列是有界的，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，
數(shù)列是無界的，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
，存在正數(shù)，使得恒成立，
數(shù)列是有界的，C正確；
對(duì)于D，，
；
在上單調(diào)遞增，，
不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，D錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)撥：本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是理解數(shù)列有界的本質(zhì)是對(duì)于數(shù)列中的最值的求解，進(jìn)而可以通過對(duì)于數(shù)列單調(diào)性的分析來確定數(shù)列是否有界.
9．C
【分析】先求得的模，再根據(jù)與同向共線的單位向量求解.
【解答】因?yàn)橄蛄浚?br>所以，
所以與同向共線的單位向量為：，
故選：C.
10．BC
【分析】代入前幾項(xiàng)即可判斷出A,B，然后分奇偶可點(diǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷出C，D.
【解答】由題意可得，
所以，所以A錯(cuò)誤，B正確；
又，
故，即，
所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯(cuò)誤，
故選：BC.
11．AD
【分析】由時(shí)，得到直線，可判定A正確；求得直線的斜率，結(jié)合得到方程，可判定B錯(cuò)誤；化簡(jiǎn)直線，得到直線過點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可判定C錯(cuò)誤；由時(shí)，得到，結(jié)合圓的弦的性質(zhì)，可判定D正確.
【解答】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的傾斜角為，所以A正確；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得直線的斜率為，
若直線的傾斜角為，可得，即，此時(shí)方程無解，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，由直線，可化為，
令，解得，即直線恒經(jīng)過點(diǎn)，
又由圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)椋瑒t，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，
所以無論為何值，直線與圓總相交，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，直線，此時(shí)直線的斜率為，
又由，此時(shí)，即，
根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，所以D正確.
故選：AD.
12．ACD
【分析】通過求得，從而求得雙曲線的漸近線方程，由此判斷A選項(xiàng)的正確性；結(jié)合三角形的面積以及雙曲線的定義求得，由此判斷B選項(xiàng)的正確性；通過圓心距和兩個(gè)圓半徑間的關(guān)系判斷C選項(xiàng)的正確性；結(jié)合二倍角的正切公式來判斷D選項(xiàng)的正確性.
【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)?、，所以?br>由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br>根據(jù)雙曲線的定義可得，
又因?yàn)椋?，整理?
由，可得，
即，解得，B錯(cuò)；
對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，為原點(diǎn).因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，
所以，

則可知以線段、為直徑的兩個(gè)圓內(nèi)切，C對(duì)；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，.
因?yàn)闈u近線方程為，
所以，.
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)軸時(shí)，則，
所以，，可得，所以，，
此時(shí)，為等腰直角三角形，則，滿足；
當(dāng)時(shí)，，，
所以
，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，同理可得，
綜上可知，D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)撥】方法點(diǎn)撥：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
13．##
【分析】?jī)芍本€與平行，滿足且或
【解答】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.
故答案為：
14．
【分析】先由雙曲線的漸近線設(shè)出雙曲線的方程，再利用待定系數(shù)法即可求得的值.
【解答】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，
所以雙曲線的方程可設(shè)為，即，
因?yàn)椋?br>所以，解得（負(fù)值舍去），
所以.
故答案為：.
15．（答案不唯一）
【分析】分析數(shù)列前4項(xiàng)的特征，求出前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式作答.
【解答】依題意，，
所以前4 項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
故答案為：
16．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可以解決問題.
【解答】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， ，，，，，則
所以
又因?yàn)?br>所以
故答案為：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程.
（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.
【解答】（1）∵，且，
∴，
解得．
（2）∵，，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直線間的距離為．
18．(1)2；
(2).
【分析】（1）求出，代入圓的方程即可求解；
（2）根據(jù)直線垂直于直線l，可求直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可求直線的方程，再利用垂徑定理即可求解.
【解答】（1）在中，令，得，故.
因?yàn)閳AO：經(jīng)過點(diǎn)A，所以，解得.
（2）直線l的斜率為2，因?yàn)橹本€垂直于直線l，所以直線的斜率為.
所以直線的方程為，即.
圓心到直線的距離為，
所以.
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點(diǎn)M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.
【解答】（1）由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC
（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
則
設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為.則有
，取，解得
由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點(diǎn).
所以
20．（1）；（2）選擇①：；選擇②：.
【解析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；
（2）設(shè)數(shù)列的公差為，
若選擇①，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程可得，進(jìn)而可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得解；
若選擇②，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得解.
【解答】（1）當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，，所以，即，
因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）設(shè)數(shù)列的公差為，
若選擇①，由題意，解得；
所以，
由（1）得，，所以，
所以，
，
兩式相減得
，
所以；
若選擇②，有，即，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，
所以，
由（1）得，，所以，
所以，
.
兩式相減，得
，
所以.
【點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)撥：
（1）當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)與，要注意與關(guān)系的應(yīng)用；
（2）要明確錯(cuò)位相減法的適用條件和使用方法，細(xì)心運(yùn)算.
21．(1)1
(2)
【分析】（1）將點(diǎn)代入即可求解；
（2）利用向量數(shù)量積為3求出，再對(duì)式子變形后使用基本不等式進(jìn)行求解最小值.
【解答】（1）將代入拋物線，解得：.
（2），在拋物線C上，故，
，解得：或2，
因?yàn)?，所以，即?br>故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故的最小值為.
22．(1)；
(2)證明見解析，定值為-1.
【分析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.
(2)由給定條件可得直線的斜率k存在且不為0，寫出直線的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.
【解答】（1）圓：的圓心，半徑為8，
因A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)，則，
于是得，因此，P點(diǎn)的軌跡C是以，為左右焦點(diǎn)，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，短半軸長(zhǎng)b有，
所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是.
（2）因直線過點(diǎn)且與曲線C：相交于M，N兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為0，
又不經(jīng)過點(diǎn)，即直線的斜率不等于-1，設(shè)直線的斜率為k，且，
直線的方程為：，即，
由消去y并整理得：，
，即，則有且，
設(shè)，則，
直線MQ的斜率，直線NQ的斜率，
，
所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值.

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