本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
答卷前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號寫在答題紙上，答卷時，考生務必將答案寫在答題紙上，答在試卷上的無效。
祝各位考生考試順利！
參考公式：；；；
第Ⅰ卷 選擇題（45分）
一、選擇題：本卷共9小題，每小題5分，共45分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案填入答題紙中的答題欄內。
1．若i是虛數單位，則復數的實部與虛部之積為（ ）
A． B． C． D．
2．“且”是“為第三象限角”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知事件滿足，則（ ）
A． B．
C．事件相互獨立 D．事件互斥
4．設集合，則中的元素個為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．函數在區(qū)間上的大致圖象為（ ）
A． B．
C． D．
6．中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質，如圖，現有一個與中國國家館結構類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．已知雙曲線的上下焦點分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知數列對任意滿足，則（ ）
A．3032 B．3035 C．3038 D．3041
9．已知為偶函數，，則下列結論錯誤的個數為（ ）
①；
②若的最小正周期為，則；
③若在區(qū)間上有且僅有3個最值點，則的取值范圍為；
④若，則的最小值為2．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
第Ⅱ卷 非選擇題（105分）
注意事項：
1．用黑色墨水的鋼筆成簽字筆將答案寫在答題卡上．
2．本卷共11小題，共105分．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．
10．在二項式的展開式中只有第4項二項式系數最大，則展開式中常數項為________．
11．拋物線的焦點，其準線過，過焦點傾斜角為的直線交拋物線于兩點，則________，弦的長為________．
12．第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機自然交流的新紀元．ChatGPT所用到的數學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于ChatGPT中，某學習小組設計了如下問題進行研究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球、從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，則2個球都是紅球的概率為________；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數小于等于4，從甲箱子中隨機抽出1個球；如果點數大于等于5，從乙箱子中隨機抽出1個球，若
抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是________．
13．已知圓，過直線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為________．
14．在梯形中，，且分別為線段和的中點，若，用表示________；若，則余弦值的最小值為________．
15．已知函數的定義域為，且函數在區(qū)間內的所有零點為．若，則實數的取值范圍是________．
三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程成演算步驟．
16．（本小題滿分14分）
在中，角所對的邊分別為，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的值：
（Ⅲ）求的值．
17．（本小題滿分15分）
如圖，在五棱錐中，平面平面是等邊三角形，點分別為和的中點，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；
（Ⅲ）設是線段上的動點，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．
18．（本小題滿分15分）
已知是等比數列，滿足，且成等差數列，數列滿足．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設，求數列的前項和：
（Ⅲ）設，求數列的前項和．
19．（本小題滿分15分）
已知橢圓的離心率為，且過點．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）點在上，且為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
20．（本小題滿分16分）
已知函數．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）若在定義域上存在極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若恒成立，求．

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