高一 數(shù)學(xué) 試卷
本試題卷共4頁(yè)，22題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在規(guī)定位置．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，用簽字筆或鋼筆將答案寫(xiě)在答題卡上，請(qǐng)勿在答題卡上使用涂改液或修正帶，寫(xiě)在本試卷上的答案無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若，則的值為（ ）
A. 0B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】分和兩種情況討論，即得解.
【詳解】若，則，不合題意，舍去；
若，則，易知當(dāng)時(shí)滿足題意.
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.
2. 若是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】分析：由題意逐一考查所給選項(xiàng)即可求得最終結(jié)果.
詳解：若是第一象限角，則：
位于第一象限，
位于第二象限，
位于第四象限，
位于第三象限，
本題選擇C選項(xiàng).
點(diǎn)睛：本題主要考查象限角的概念，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和概念熟練程度.
3. 函數(shù)的定義域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域要求求解定義域即可.
【詳解】函數(shù)定義域需滿足，解得且，即，
故選：C
4. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)根的存在性定理結(jié)合單調(diào)性討論函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】由題：在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，
，
所以函數(shù)在一定存在零點(diǎn)，由于函數(shù)單調(diào)遞增，所以零點(diǎn)唯一，且屬于區(qū)間.
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)根的存在性定理確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確得出區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性說(shuō)明函數(shù)零點(diǎn)唯一.
5. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.
詳解】，且，
，
，
故，
故選：A.
6. 德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷（Jhann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年時(shí)提出“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù).”這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵，只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)x，都有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是用公式還是用圖像、表格等形式表示，例如狄里克雷函數(shù).若，則x?可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可知.檢驗(yàn)或化簡(jiǎn)各項(xiàng)，即可得到答案.
【詳解】根據(jù)函數(shù)定義，知若，則.
，是個(gè)有理數(shù).而其它選項(xiàng)都是無(wú)理數(shù).
故選：C．
7. 若函數(shù)（且）在R上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)（且）在R上為減函數(shù)知道.即在上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可選出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）在R上為減函數(shù).
所以 .
因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?，故排除A、B.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí), 函數(shù)在單調(diào)遞增.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)表達(dá)式選函數(shù)圖像，屬于基礎(chǔ)題.解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)（且）在R上為減函數(shù)，判斷出，即.在上單調(diào)遞減.
8. 若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求出這三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，令，可得，必有，解得，
所以，，解得；
當(dāng)時(shí)，由，可得或，
所以，，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
二、選擇題，本題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)得2分．
9. 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
所以，故A正確；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（ ）
A. 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)
B. 為奇函數(shù)
C. 在定義域上單調(diào)遞減
D. 在內(nèi)的值域?yàn)?br>【答案】ABD
【解析】
【分析】將代入求出函數(shù)解析式，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得，得，
所以，
對(duì)于A. 代入，即成立，故A正確；
對(duì)于B. 的定義域?yàn)?，滿足，是奇函數(shù)，
故B正確
對(duì)于C.在定義域內(nèi)不單調(diào)，在上單調(diào)遞減.故C錯(cuò).
對(duì)于D.當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)的值域?yàn)?故D正確.
故選：ABD
11. 下列命題正確的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要條件
B. 命題“”的否定是“”
C. 的充要條件是
D. 若，則至少有一個(gè)大于1
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)必要條件與充分條件的概念、全稱量詞的否定、不等式的性質(zhì)依次判定即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若則得不到，故不是充分條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，由全稱量詞的否定可判斷其正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，若則得不到，故不是充要條件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，若均不大于1，則，故至少有一個(gè)大于1，故D選項(xiàng)正確；
故選：BD.
12. 設(shè)函數(shù)，若的最大值為M，最小值為m，那么M和m的值可能為（ ）
A. 4與3B. 5與3C. 6與4D. 8與4
【答案】BCD
【解析】
【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】令，，
∴，∴為奇函數(shù)，
設(shè)的最大值為t，最小值為，
∴，，可得，
∵，∴2b為偶數(shù)，
故選：BCD
三、填空題，本題共4小題，每題5分，共20分．
13. 計(jì)算：______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的乘方運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】.
故答案為：
14. 扇形的圓心角為2弧度，它所對(duì)的弧長(zhǎng)是，則此扇形的面積為_(kāi)_______．
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式，求得，結(jié)合扇形的面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，
因?yàn)樯刃蔚膱A心角為2弧度，它所對(duì)的弧長(zhǎng)是，可得，解得，
所以扇形的面積為.
故答案為：.
15. 若，則的最小值是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】，利用基本不等式可得最值．
【詳解】∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
∴時(shí)取得最小值3.
故答案：3．
16. 已知函數(shù)是的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式，解出的取值范圍即可.
【詳解】要使函數(shù)是的遞減函數(shù)，
只需，
當(dāng)時(shí)，不成立；
當(dāng)時(shí)，可化為，解得：，
即實(shí)數(shù)的范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性口訣：同增異減，其具體含義為： 內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同(同),則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)(增)； 內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相反(異),則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)(減).
四、解答題，本題共6小題，17題10分，其它各題12分，共70分．
17. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用并集的概念計(jì)算即可；
（2）利用交集和補(bǔ)集的概念計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
易知；
【小問(wèn)2詳解】
易知.
18. 已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).
（1）求的解析式，并寫(xiě)出的單調(diào)遞增區(qū)間（不要求證明）；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意可得，求解即可；
（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
所以,解得.
所以的解析式為.
，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
即為,
即，解得或.
故不等式的解集為.
19. 已知函數(shù)，且．
（1）求a．
（2）用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)．
（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）最大值為和最小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，列出方程，即可求解；
（2）化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；
（3）由（2）知，得到在上為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)，且，可得，解得；
小問(wèn)2詳解】
解：由（1）知，
任取且，
則，
因?yàn)榍?，可得，則，
所以，即，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
解：由（2）知，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為和最小值為.
20. 已知集合
（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
（2）命題q：“，使得”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1），分B為空集和B不是空集兩種情況討論求解即可；
（2）由，使得，可知B為非空集合且，然后求解的情況，求出m的范圍后再求其補(bǔ)集可得答案
【詳解】解：（1）①當(dāng)B為空集時(shí)，成立.
②當(dāng)B不是空集時(shí)，∵，，∴
綜上①②，.
（2），使得，∴B為非空集合且.
當(dāng)時(shí)，無(wú)解或，，
∴.
21. 為落實(shí)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧”政策，某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入150萬(wàn)元研發(fā)資金用于養(yǎng)殖業(yè)發(fā)展，并計(jì)劃今后7年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng).
（1）寫(xiě)出第年（2021年為第1年）該企業(yè)投入的研發(fā)資金（萬(wàn)元）與的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）該企業(yè)從第幾年開(kāi)始投入的研發(fā)資金將超過(guò)300萬(wàn)元？
（參考數(shù)據(jù)：）.
【答案】（1），
（2）該企業(yè)從第4年開(kāi)始投入的研發(fā)資金將超過(guò)300萬(wàn)元
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型，確定函數(shù)解析式及定義域；
（2）由（1）得，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解集.
【小問(wèn)1詳解】
第年（2021年為第1年）該企業(yè)投入的研發(fā)資金（萬(wàn)元）
則，
其定義域?yàn)?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
所以，即
所以，故該企業(yè)從第4年開(kāi)始投入的研發(fā)資金將超過(guò)300萬(wàn)元.
22. 已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且．
（1）求b，c的值，判斷函數(shù)的奇偶性并說(shuō)明理由；
（2）若關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）為奇函數(shù)
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性即可確定參數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解; (2)根據(jù)分離常數(shù)法和參編分離確定范圍即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，的定義域滿足，
即的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故．
∴，
∴，
∴.
又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
,
故
為奇函數(shù)．
【小問(wèn)2詳解】
由（1），
因?yàn)椤撸?br>∴，
∴的值域?yàn)?br>故關(guān)于x的方程有解，
即在上有解．
令，
則，
∵在上單調(diào)遞增,
的值域?yàn)?
即m的值域?yàn)椋?br>即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

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