數學
班級__________ 姓名__________
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.設全集，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.若復數（為虛數單位），則復數在復平面上對應的點所在的象限為（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4.設是等差數列的前項和，若，則（ ）
A. B. C. D.
5.高斯是德國數學家?天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德?牛頓并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函數也稱取整函數，記作，是指不超過實數的最大整數，例如，該函數被廣泛應用于數論?函數繪圖和計算機領域.若函數，則當時，的值域為（ ）
A. B. C. D.
6.在正方體的棱長為為線段上的動點，則點到平面距離的最小值為（ ）
A.1 B. C. D.2
7.設實數，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
8.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.下列結論中正確的有（ ）
A.數據的第75百分位數為30
B.已知隨機變量服從二項分布，若，則
C.已知回歸直線方程為，若樣本中心為，則
D.若變量和之間的樣本相關系數為，則變量和之間的正相關性很小
10.已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（ ）
A.，函數的最小正周期為
B.
C.方程的解為
D.
11.已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于兩個不同的點，則下列說法正確的有（ ）
A.當時，
B.
C.若直線的傾斜角分別為，則
D.若點關于軸的對稱點為點，則直線必恒過定點
12.已知函數，若函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則實數的可能取值為（ ）
A.-3 B. C. D.3
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知，則__________.
14.已知函數，且的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為__________.
15.2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢?引導運動員入場?賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種安排方案__________.（用數字作答）
16.如圖所示，已知正方體的棱長為2，點在上，且，動點在正方形內運動（含邊界），若，則當取得最小值時，三棱錐外接球的半徑為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）已知數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
18.（本小題滿分12分）在中，角的平分線與邊交于點，且滿足.
（1）若，求角；
（2）若，求證：.
19.（本小題滿分12分）如圖1，已知正三角形邊長為4，其中，現沿著翻折，將點翻折到點處，使得平面平面為中點，如圖2.
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
20.（本小題滿分12分）已知函數為常數，過曲線上一點處的切線與軸垂直.
（1）求的值及的單調遞增區(qū)間；
（2）若對任意的，使得（e是自然對數的底數）恒成立，求實數的取值范圍.
21.（本小題滿分12分）已知橢圓的左?右焦點分別為，左?右頂點分別為，若以為圓心，1為半徑的圓與以為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓經過兩點，且直線的斜率之積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點是直線上一動點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為.
①求證直線恒過定點，并求出此定點；
②求面積的最小值.
22.（本小題滿分12分）在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用??計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發(fā)現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵.
（1）若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；
（2）若，求此時的信息熵.
數學參考答案及解析
1.【答案】D
【解析】由不等式，等價于，解得或，因為，所以，所以.故選D.
2.【答案】C
【解析】因為，所以在復平面上對應的點為，該點在第三象限.故選C.
3.【答案】A
【解析】，又在向量上的投影向量為..故選A.
4.【答案】B
【解析】因為是等差數列的前項和，所以是等差數列.
由可設，則，于是依次為，所以，所以.故選B.
5.【答案】C
【解析】由，得，解得，則的定義域為，當時，令，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的值域為，所以的值域為.故選C.
6.【答案】B
【解析】由題意得，設點到平面的距離為，則由等體積轉化法為，由圖形得，當與重合時，最大，最大為，此時最小，為.故選B.
7.【答案】C
【解析】恒成立，即，
令，則，
當時，單調遞減，當時，單調遞增，
因為，所以，
因此若時，不等式恒成立，則恒成立，
若時，，恒成立，則也成立，
所以當時，恒成立，所以得，即，
設
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，所以，即正實數的最小值為，故選C.
8.【答案】A
【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
則根據橢圓及雙曲線的定義得：，
，設，
則在中，由余弦定理得，，
化簡得，即，
則
，
當且僅當即時，等號成立，故選A.
9.【答案】BC
【解析】對于項，11個數的順序為，所以第75百分位數為27，故A項錯誤；
對于B項，因為，所以，所以，解得，故B項正確；
對于C項，回歸直線必過樣本中心可得，解得，故C項正確；
對于D項，為正值時，值越大，判斷“與之間的正相關”越強，故D項不正確.故選BC.
10.【答案】BCD
【解析】由圖象知，即函數的最小正周期，最小正周期，，則，即，
當時，，即，故A不正確；
，即，則，
則，故B正確；
因為，即，
即
又因為時，，
所以，
因為，所以，
當時，或，解得或，
所以方程的解為或.故C正確；
由，
，
，且在上單調遞增，，
由，故D正確.故選BCD.
11.【答案】ACD
【解析】當時，拋物線方程為，直線，聯立得，則，故A正確；
當時，直線為軸，和拋物線只有一個交點，故B不正確；
直線，代入，得，則，
則，故C正確；
因為點關于軸的對稱點為點，由知，直線與的傾斜角相同，
所以三點共線，所以直線必恒過定點，故D正確.故選ACD.
12.【答案】CD
【解析】函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點，則方程有兩個不同的根，即有兩個不同的根，令，則.
①若，當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，又，取實數滿足且，則有，所以有兩個零點.
②若，當時，在上單調遞增，當時，，故，故不存在兩個零點，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又當時，故，故不存在兩個零點，綜上得，故選CD.
13.【答案】
【解析】因為，所以.
14.【答案】
【解析】函數且的圖象恒過定點，則，，當且僅當即時等號成立.
15.【答案】540
【解析】6名志愿者被安排三項工作，每項工作至少安排1人，則分組方式為，則安排方案有（種）.
16.【答案
【解析】連接，則，所以點在正方形內運動軌跡為以為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，連接，則，所以取得最小值時，只需取得最小值即可，連接交圓弧于點，此時取得最小值，則取得最小值，連接，則為等腰直角三角形，，又，所以三棱錐為四個面均為直角三角形的三棱錐，則球心為的中點，為直徑，則，所以外接球半徑.
17.【解】（1），①
當時，，②
由①-②得，
又時，，滿足上式，
綜上，.
（2），
，
設數列的前項和為，
所以
.
18.【解】，
，
即
即，
，
.
（1）由正弦定理得，
，
.
（2），則，
，
即
所以，
即
即.
（其他方法正確也可給分）
19.【解】（1）取的中點為的中點為，連接與，
正三角形中，，
，
立體圖形由翻折可得且，
是的中點，
，
平面平面，平面平面平面，
平面，
以點為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
正的邊長為，
，連接，在中，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
異面直線所成角的取值范圍為，
異面直線與所成角的余弦值為.
（2）由（1）得，
，
，
易得平面的一個法向量為
設平面的法向量為，
則即則，
，
平面與平面夾角的余弦值為.
20.【解】（1），
，
又，
，
則，
令，
在上單調遞增，又，
所以不等式的解集為，
故函數的單調遞增區(qū)間為.
（備注：單調遞增區(qū)間寫成也得分）
（2）若對任意的，使得恒成立，
只需，
由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，，
為中的最大值，
，
令，則，
在上是增函數，而，
即，
，
對于，則，所以函數在上是增函數，
所以，
的取值范圍為.
21.【解】（1）因為圓與圓相交，且交點在橢圓上，
所以，
又，
所以橢圓的方程為.
（2）①由（1）知橢圓右焦點，設，
則切線的方程為，
即，點在直線上，
，
，
，
代入上式得，
，同理，
所以直線恒過定點.
②由（1）知直線恒過定點，
令直線，
代入橢圓方程，
得，則，
恒成立，
則，
①當時，
點到直線的距離為，
，
，
令，
則，
在上單調遞減，
在上單調遞增，
，
②當時，.
綜上，的最小值為.
22.【解】（1）當時，，
令，
則，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大時，最大值為.
（2），
則
，
而
于是
，
令，
則，
兩式相減得，
因此，
.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
C
B
C
A
BC
BCD
ACD
CD

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