注意事項:
1.答題前，考生務必把自己的姓名、考生號等填寫在答題卡相應的位置上.
2.做選擇題時，必須用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其它答案標號.
3.所有題目必須在答題卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案無效.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】的元素用來表示，再利用集合間的基本關(guān)系選擇正確答案.
【詳解】因為，所以．
故選：A.
2. 復數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)的性質(zhì)、復數(shù)的除法運算可得答案.
【詳解】，
所以的虛部為.
故選：C.
3. 某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取的戶主作為樣本進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為（ ）

A. 400，32B. 400，36C. 480，32D. 480，36
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖（1）及分層抽樣可得樣本容量及抽取的四居室戶主人數(shù)，再結(jié)合圖（2）可得抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).
【詳解】由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，
所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，
由圖（2）得抽取的戶主中對四居室滿意的有人，
故選：A.
4. 如圖，在中，，則（ ）
A. 9B. 18C. 6D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，則，代入化簡即可得出答案.
【詳解】由可得：，
所以，所以，
，
因為，
所以.
故選：D.
5. 的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二項式的展開式公式展開，再與前面的項相乘求解即可.
【詳解】的展開式的通項公式為，
所以．
令，解得，
．令，解得．
由題意，可知，
所以．
故選：D．
6. 已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得兩圓相交的充要條件，求得的取值范圍，再由選項即可得到結(jié)果.
【詳解】因為圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑為，且，
使得兩圓相交的充要條件為，且，
解得，由選項可得，
所以其一個充分不必要條件可以是.
故選：B
7. 已知橢圓M：，點在其上，直線l交橢圓于A，B兩點，的重心是坐標原點，則直線l的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將代入橢圓方程求出，設，利用點差法得到，結(jié)合的重心是坐標原點，得到，求出直線l的斜率.
【詳解】將代入橢圓方程得，，
令，則，解得，即，
設，則，，
故，
又，兩式相減得，，
變形得到，即，
故，，解得.
故選：B
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)，若滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)圖象求解出的解析式，然后根據(jù)圖象的平移變換求解出的解析式，由已知條件分析出的圖象關(guān)于直線對稱，即可根據(jù)求解出的值.
【詳解】法一：由圖可知，，圖象過點，，，.
的圖象過點，，
，，
，，
由，得的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
，
，又，
所以，
故選：.
法二：，
故圖象對稱軸可表示為，
圖象的一條對稱軸為，
當時，可知的左側(cè)圖象離最近的對稱軸為，
故的最小值為，
故選：.
【點睛】方法點睛：根據(jù)正、余弦型函數(shù)（）的對稱軸、對稱中心求解參數(shù)的方法：
（1）已知正、余弦型函數(shù)的對稱軸，則必有，由此求解出參數(shù)；
（2）已知正、余弦型函數(shù)對稱中心，則必有，由此求解出參數(shù).
9. 定義在上的偶函數(shù)，記，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)求出的值，即可得的解析式，進而可得在上的單調(diào)性，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
所以，即，解得，
所以，
當時，為增函數(shù)，
因為，
，，
,
所以，
所以，即.
故選：B.
10. 第33屆夏季奧運會預計在2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉辦，這屆奧運會將新增電子競技和沖浪兩個競賽項目以及滑板等5個表演項目．現(xiàn)有三個場地，，分別承擔競賽項目與表演項目比賽，其中電子競技和沖浪兩個項目僅能，兩地承辦，且各自承辦其中一項.5個表演項目分別由，，三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目，則不同的安排方法有（ ）
A 150種B. 300種C. 720種D. 1008種
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)與排列數(shù)的計數(shù)方法，結(jié)合分類分步兩個基本原理求解即可得的答案.
【詳解】首先電子競技和沖浪兩個項目僅能兩地舉辦，且各自承辦其中一項有種安排；
再次5個表演項目分別由三個場地承辦，且每個場地至少承辦其中一個項目則有種，
故總數(shù)為種不同的安排方法.
故選：B.
11. 已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足，，數(shù)列滿足，且，為的前項和，，則（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】通過函數(shù)的奇偶性以及關(guān)系式，推出函數(shù)的周期，數(shù)列滿足，且，求出數(shù)列的通項公式，然后求解即可．
【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)
，
，
是以3為周期的周期函數(shù).
數(shù)列滿足，且，
，且，，
兩式相減可得，從而得，
，，
（1）.
故選：.
【點睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，函數(shù)的周期性以及數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
12. 已知雙曲線的右頂點、右焦點分別為A，，過點A的直線與的一條漸近線交于點，直線與的一個交點為B，若，且，則的離心率為( )
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量數(shù)量積等式推出l⊥x軸，求出點Q坐標，進而得點B坐標，再代入雙曲線方程求解即得.
【詳解】由已知得，設，
由，得，
所以軸，即，
不妨設點在第一象限，則.
設，由，得，
，
，即，
點在雙曲線上，
，
整理得，，
解得，或(負值舍去).故選C.
故選：C
【點睛】求解雙曲線離心率的問題，根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，解之即可得e.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若實數(shù)滿足約束條件則的最大值為________．
【答案】4
【解析】
【分析】依題意可畫出可行域，并根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義求出其最大值為.
【詳解】根據(jù)題意，畫出可行域如下圖中陰影部分所示：
易知目標函數(shù)可化為，若要求目標函數(shù)的最大值，
即求出在軸上的最大截距即可，
易知當（圖中虛線所示）平移到過點時，截距最大，
顯然，則，所以的最大值為.
故答案為：4
14. 已知角均在第一象限，終邊上有一點，且，則________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)終邊上點的坐標可得，然后再利用余弦兩角和公式，從而求解.
【詳解】根據(jù)終邊上點的坐標可得，得：
化簡得：
所以：.
故答案為：.
15. 下列四個命題中為真命題的是_________.（寫出所有真命題的序號）
①若隨機變量服從二項分布，則其方差；
②若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則；
③已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則的方差也是3；
④對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是4；
【答案】①③
【解析】
【分析】對于①，利用二項分布的方差公式分析判斷，對于②，利用正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷，對于③，利用方差的性質(zhì)分析判斷，對于④，將樣本中心點代入回歸方程求解判斷.
【詳解】對于①，因為隨機變量服從二項分布，所以，所以①正確，
對于②，因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，
所以，
所以，所以②錯誤，
對于③，因為數(shù)據(jù)的方差是3，所以由方差的性質(zhì)可知的方差不變，也是3，所以③正確，
對于④，因為線性回歸方程為，樣本點的中心為，所以，解得，所以④錯誤，
故答案為：①③
16. 已知曲線C，直線,點，，以曲線C上任意一點M為圓心、MF為半徑的圓與直線l相切，過點的直線與曲線C交于A，B兩點，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先由動點的軌跡得出曲線軌跡方程，通過選設直線方程與拋物線方程聯(lián)立得出韋達定理，接著驗證過定點的兩直線的斜率之和為零，得出兩直線關(guān)于軸對稱，從而將求的正切值轉(zhuǎn)化為求的正切值，再結(jié)合表達式運用基本不等式，函數(shù)單調(diào)性即得.
【詳解】
如圖，依題意，曲線C上任意一點M到定點的距離等于點到定直線的距離，故點M的軌跡是拋物線，其軌跡方程為：.
設直線AB的方程為，由消去得：，不妨設，，則必有且，，分別記直線的斜率為，則 ，
所以．（兩直線的斜率之和為0．則兩直線關(guān)于x軸對稱）
設，則，當且僅當時等號成立，所以，（利用基本不等式求出的范圍）
則，不妨設記，則，因在上為減函數(shù)且恒為正數(shù)，故在上為增函數(shù)，則有故的最大值為．
故答案為：.
三．解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 已知數(shù)列的前n項和為，，且．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）已知等差數(shù)列滿足，其前9項和為63．令，設數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合當時，求出即可；
（2）用基本量法求出，利用裂項相消法求出，適當放縮即可證明.
【小問1詳解】
證明：，
數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列
可得
當時，
當時，也滿足上式，
【小問2詳解】
證明：
18. 杭州第19屆亞運會后，多所高校掀起了體育運動的熱潮．為了深入了解學生在“藝術(shù)體操”活動中的參與情況，隨機選取了10所高校進行研究，得到數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖：
（1）若“藝術(shù)體操”參與人數(shù)超過35人的學校可以作為“基地?！?，現(xiàn)在從這10所學校中隨機選出3所，記可作為“基地?！钡膶W校個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）現(xiàn)有一個“藝術(shù)體操”集訓班，對“支撐、手倒立、手翻”這3個動作技巧進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓測試中，某同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作及每輪測試互不影響．如果該同學在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達到8次，那么理論上至少要進行多少輪測試？
【答案】（1）分布列見解析，；
（2）23輪.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的知識求得分布列并求得數(shù)學期望.
（2）先求得一輪測試該同學“優(yōu)秀”的概率，然后根據(jù)二項分布的知識列不等式，從而求得正確答案.
【小問1詳解】
參加“藝術(shù)體操”人數(shù)在35人以上的學校共5所，所有可能取值為0，1，2，3，
則，
，
所以的分布列為：
所以；
【小問2詳解】
由已知該同學在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為，
則該同學在n輪測試中獲“優(yōu)秀”次數(shù)X服從二項分布，即滿足，
由，
所以理論上至少要進行23輪測試．
19. 在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，為其外接圓的圓心，，．
（1）求的大??；
（2）若，求邊長的最值．
【答案】19.
20. 最大值:；最小值：
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意對分別對，進行化簡，從而求解.
（2）根據(jù)正弦定理并結(jié)合（1）中的結(jié)果，求解得出最值.
【小問1詳解】
延長交外接圓于點，如下圖所示
則
所以：，
由，
得：，
解之得：，因為：，所以：.
故答案為：
【小問2詳解】
在中，由正弦定理得，
所以：，
因為：，所以：，
所以：，
所以：邊長的最大值為，最小值為.
故答案為：最大值：；最小值：.
20. 已知函數(shù)，.
（1）若的最大值是0，求的值；
（2）若對于定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)最大值，最大值為0進而求出參數(shù)的值.
（2）根據(jù)題意分離參數(shù)，得恒成立，求出最小值即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由題定義域為，
，
若，則在上單調(diào)遞增，無最大值，
若，，
時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以時，取得最大值.
【小問2詳解】
對于定義域內(nèi)任意，恒成立，
即恒成立，
設，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
，
所以在上有唯一零點，即，
所以，
令，則，
當時，，即在上單調(diào)遞增，
所以由得，
所以，
當時，，，則在上單調(diào)減，
當時，，，則在上單調(diào)增，
所以，
恒成立，
即的最小值，則，
所以的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：第一問利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)最值，根據(jù)最大值為0進而求出參數(shù)的值；第二問根據(jù)題意首先分離參數(shù)，利用導數(shù)解決恒成立問題，其中利用函數(shù)同構(gòu)式，是解題關(guān)鍵.
21. 已知拋物線，其焦點為，定點，過的直線與拋物線相交于，兩點，當?shù)男甭蕿?時，的面積為2.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線在，點處的切線分別為，，且，相交于點，求距離的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的方程，聯(lián)立方程，求出兩點的坐標，再根據(jù)的面積即可得解；
（2）設，，，切點，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義分，和三種情況討論求出切線方程，即可得切線分別為，，進而可求得點的軌跡方程，從而可得出答案.
【小問1詳解】
過且斜率為1的直線為：，
代入拋物線方程可知，解得或，
則不妨令點M，N分別為，，
∴，∴，，
∴拋物線方程為：；
【小問2詳解】
設，，，切點，
由題意可知：對于拋物線，當時，；，；時，，
顯然時，；時，，
若，則點處的切線為，即，
∵，∴，即，
同理，若，點處的切線為，
時，，則在頂點處的切線為，符合上述表達式，
∴點處的切線為；點處的切線為，
在這兩條切線上，∴，
則的直線方程為，
∵在上，∴，即在定直線上，
∴長的最小值即為點到直線的距離，
此時.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題計分.
22. 在直角坐標系中，點的坐標是，曲線的參數(shù)坐標方程（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中曲線的極坐標方程為，與交于，兩點．
（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，并指出它是什么曲線？
（2）過點作垂直于的直線交于，兩點，求的值．
【答案】（1），焦點為，頂點為的拋物線（頂點除外）.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用極坐標與直角坐標的互化公式，可得曲線的直角坐標方程；
（2）將曲線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求出、同理得到，即可得解.
【小問1詳解】
因為曲線的極坐標方程為，
所以，又，所以，則，
所以，即，
因為，即，所以，
所以曲線的直角坐標方程為，
曲線可以由拋物線向下平移個單位得到，
所以曲線為焦點為，頂點為拋物線（頂點除外）.
【小問2詳解】
將代入得，
設，對應的參數(shù)分別為，，，
所以，
過點作垂直于的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），
將代入得，
設，對應的參數(shù)分別為，，，
所以，
所以.
23. 已知函數(shù)
（1）若，求不等式的解集；
（2）對于任意的正實數(shù)，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式的解法，分類討論，即可求解；
（2）根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式求得的最大值，再由絕對值的三角不等式求得，列出不等式，即可求解.
【小問1詳解】
解：當時，不等式，即為不等式為，
當時，可得，解得，所以；
當時，可得成立，所以；
當時，可得的，解得，所以．
綜上得不等式的解集為．
【小問2詳解】
解：因為為正實數(shù)，且，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值，
又因為，當時取到等號，
要使恒成立，只需，解得或，
即實數(shù)的取值范圍為
0
1
2
3
P

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