一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．( )
A.B.3C.D.
3．已知某扇形的弧長為,半徑為3,則該扇形的面積為( )
A.B.C.D.
4．“”是“”成立的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．函數(shù)①;
②;
③,中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
6．已知,,,則( )
A.B.C.D.
7．函數(shù)的圖象大致是( )
A.B.
C.D.
8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列化簡正確的是( )
A.B.
C.D.
10．下列函數(shù)中,最小值為2的是( )
A.B.
C.()D.
11．已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則的可能取值是( )
A.B.C.D.
12．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則( )
A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.
C.當(dāng)時(shí),D.在上單調(diào)遞減
三、填空題
13．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則______.
14．已知函數(shù)()在區(qū)間上的最大值為2,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
15．若不等式對(duì)一切恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
16．設(shè)函數(shù)若恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
四、解答題
17．已知,為銳角,,.
（1）求的值;
（2）求的值.
18．已知,.
（1）若q是p的必要非充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（2）若,且p,q至少有一個(gè)成立,求x的取值范圍.
19．已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),(),且.
（1）求a的值;
（2）求函數(shù)的解析式;
（3）解不等式:.
20．已知,t是函數(shù)(,,)的兩個(gè)霧點(diǎn),的最小值為,且.
（1）求的解析式;
（2）求在上的值域.
21．定義:將人每小時(shí)步行掃過地面的面積記為人的掃碼速度,單位是平方公里/小時(shí),如掃碼速度為1平方公里/小時(shí)表示人每小時(shí)步行掃過的面積為1平方公里.十一黃金周期間,黃山景區(qū)是中國最繁忙的景區(qū)之一.假設(shè)黃山上的游客游玩的掃碼速度為v(單位:平方公里/小時(shí)),游客的密集度為x(單位:人/平方公里),當(dāng)黃山上的游客密集度為250人/平方公里時(shí),景區(qū)道路擁堵,此時(shí)游客的步行速度為0;當(dāng)游客密集度不超過50人/平方公里時(shí),游客游玩的掃碼速度為5平方公里/小時(shí),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明:當(dāng)時(shí),游客的掃碼速度是游客密集度x的一次函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
（2）當(dāng)游客密集度x為多少時(shí),單位時(shí)間內(nèi)通過的游客數(shù)量可以達(dá)到最大值?
22．設(shè)函數(shù)(且,),已知,.
（1）求的定義域;
（2）是否存在實(shí)數(shù),使得在區(qū)間上的值域是?若存在,請(qǐng)求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．答案：A
解析:因?yàn)榧?所以,.故選A.
2．答案：C
解析:原式.故選C.
3．答案：D
解析:扇形的面積.故選D.
4．答案：B
解析:由,可知,充分性不成立;由,必要性成立;即“”是“”成立的必要不充分條件.故選B.
5．答案：B
解析:根據(jù)奇函數(shù)定義,②中違背了定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一要求,所以排除②;
對(duì)于①,,是奇函數(shù);
對(duì)于③,,是偶函數(shù).故選B.
6．答案：C
解析:,,,則有,,又,故有.故選C.
7．答案：C
解析:函數(shù)的定義域?yàn)?且,則函數(shù)為奇函數(shù),故排除D項(xiàng);又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,故排除A項(xiàng);當(dāng)時(shí),,故排除B項(xiàng).故選C.
8．答案：D
解析:,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)要滿足上式,則,所以,,所以的取值范圍是.故選D.
9．答案：AC
解析:,故A正確;,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;,故D錯(cuò)誤.故選AC.
10．答案：CD
解析:對(duì)于A,,當(dāng)時(shí),,不符合要求,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),由得顯然不成立,所以等號(hào)取不到,即的最小值不是2,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)?所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),最小值是2,故C正確;
對(duì)于D,,易知,,則,當(dāng)即或時(shí),有最小值4,即有最小值2,故D正確.故選CD.
11．答案：BC
解析:因?yàn)?,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以,所以.故選BC.
12．答案：ABC
解析:對(duì)于A,由題設(shè),可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,A正確;
對(duì)于B,在中,令,得,B正確;
對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以,又,所以,即當(dāng)時(shí),,而為偶函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,綜上可知,當(dāng)時(shí),,C正確;
對(duì)于D,由B的解析可知,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
13．答案：0
解析:由于函數(shù)是冪函數(shù),所以,解得或.當(dāng)時(shí),,是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,是偶函數(shù),圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以的值為0.
14．答案：
解析:當(dāng)時(shí),,則,由題意可得,.
15．答案：
解析:因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立,所以對(duì)一切恒成立,因?yàn)?所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以,即a的取值范圍是.
16．答案：
解析:的零點(diǎn)為,當(dāng)即時(shí),在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).可得,令,則與的圖象在內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn).結(jié)合圖象可得或,即或;當(dāng)即時(shí),在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則與的圖象在內(nèi)恰有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象可得,即,這與矛盾.
綜上,或.
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）因?yàn)?,
所以,
所以.
（2）因?yàn)?,,
所以,,
所以.
18．答案：（1）
（2）見解析
解析:（1）設(shè),,
因?yàn)閝是p的必要非充分條件,所以是的真子集,則,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí),,,
考慮“p,q至少有一個(gè)成立”的否定:p,q均不成立,
此時(shí),解得或.
故p,q至少有一個(gè)成立時(shí),的取值范圍為.
19．答案：（1）1
（2）見解析
（3）
解析:（1）因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù),且,
所以,即,解得.
（2）當(dāng)時(shí),,
設(shè),則,則,
故.
（3）由題意,,
得,得,解得或,
故的解集是.
20．答案：（1）見解析
（2）
解析:（1）設(shè)的最小正周期為T,
因?yàn)?是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),的最小值為,
所以,.
由得,
因?yàn)?所以,,
由,,可得,
所以.
（2）當(dāng)時(shí),,
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且,,,
所以,
所以在上的值域?yàn)?
21．答案：（1）見解析
（2）見解析
解析:（1）由題意知時(shí),公里/小時(shí);
當(dāng)時(shí),設(shè)(),
則,解得.
故.
（2）由（1）可得,
當(dāng)時(shí),,此時(shí);
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),;
由于,故當(dāng)游客密集度為125人/平方公里時(shí),通過的游客數(shù)量可以達(dá)到最大值.
22．答案：（1）見解析
（2）
解析:（1）由,得,即,
由,得,即,
,解得,或(舍),,
.
,,故的定義域?yàn)?
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù),,使得在區(qū)間上的值域是.
由（1）易知在上單調(diào)遞增,
,即
令,,(,),
即,為方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根且,
令,則,
解得.
即,,故存在實(shí)數(shù)符合條件,的取值范圍是.

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