第七章 概率（A卷·知識(shí)通關(guān)練） -2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)分層專題訓(xùn)練（北師大版必修第一冊）

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核心知識(shí)1 確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象
1．一個(gè)不透明的袋子中裝有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同，采用不放回的方式從中摸出3個(gè)球．下列事件為不可能事件的是
A．3個(gè)都是白球B．3個(gè)都是紅球C．至少1個(gè)紅球D．至多2個(gè)白球
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合必然事件，不可能事件，隨件事件的概念，即可求解．
【詳解】解：由于袋子中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)，摸出的3個(gè)球都是白球是不可能事情，故選項(xiàng)正確，
摸出的3個(gè)球都是紅球是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
摸出的球至少一個(gè)紅球是必然事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
摸出的球至多2個(gè)白球是必然事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．
2．下列事件：①當(dāng)是實(shí)數(shù)時(shí)，；②某班一次數(shù)學(xué)測試，及格率低于；③從分別標(biāo)有0，1，2，3，，9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)標(biāo)的數(shù)字是偶數(shù)；④體育彩票某期的一等獎(jiǎng)號(hào)碼．其中是隨機(jī)事件的是
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義，即可求解．
【詳解】解：對于①，當(dāng)時(shí)，，無解，當(dāng)時(shí)，，（舍去），無解，故①是不可能事件，
對于②，某班一次數(shù)學(xué)測試，及格率低于，是隨機(jī)事件，
對于③，從分別標(biāo)有0，1，2，3，，9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)中標(biāo)的數(shù)字是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，
對于④，體育彩票某期的一等獎(jiǎng)號(hào)碼，是隨機(jī)事件．
隨機(jī)事件為②③④，
故選：．
核心知識(shí)2 事件類型的判斷
1．給出下列四個(gè)命題：
①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件；
②當(dāng)“為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使”是不可能事件；
③“2010年的國慶節(jié)是晴天”是必然事件；
④“從100個(gè)燈泡（有10個(gè)是次品）中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】由隨機(jī)事件的定義對四個(gè)命題的事件逐一判斷，即可找出正確命題，①研究必然事件，②研究不可能事件，③研究隨機(jī)事件，④研究隨機(jī)事件，易判斷出正確選項(xiàng)
【詳解】解：①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件；此命題是正確命題，②當(dāng)“為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使”是不可能事件；命題是正確命題，因?yàn)闆]有那個(gè)實(shí)數(shù)的平方小于0；③“2010年的國慶節(jié)是晴天”是必然事件；這是一個(gè)隨機(jī)事件，故此命題不正確；
④“從100個(gè)燈泡（有10個(gè)是次品）中取出5個(gè)，5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件．此命題正確，一個(gè)都是次品的情況存在，但不一定出現(xiàn)，故是一個(gè)隨機(jī)事件．綜上，①②④是正確命題,故選：．
核心知識(shí)3 樣本點(diǎn)和樣本空間
1．關(guān)于樣本點(diǎn)、樣本空間，下列說法錯(cuò)誤的是
A．樣本點(diǎn)是構(gòu)成樣本空間的元素B．樣本點(diǎn)是構(gòu)成隨機(jī)事件的元素
C．隨機(jī)事件是樣本空間的子集 D．隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能比樣本空間中的多
【答案】D
【分析】樣本點(diǎn)、樣本空間及隨機(jī)事件的定義直接判斷即可．
【詳解】解：由定義知，，均正確．因?yàn)殡S機(jī)事件是樣本空間的子集，所以由子集的定義可知錯(cuò)．
故選：．
2．集合，，，2，，從，中各任意取一個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
A．8B．9C．12D．11
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法，即可求解．
【詳解】解：由題意可得，所有樣本點(diǎn)為：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11個(gè)．
故選：．
3．同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為，結(jié)果為，則滿足“”的樣本點(diǎn)有 個(gè)．
【答案】4
【分析】直接列舉出基本事件“”即可．
【詳解】解：由題意要得事件“”包含以下4個(gè)樣本點(diǎn)：，，，，
故答案為：4．
核心知識(shí)4 事件的關(guān)系與運(yùn)算
1．拋擲一枚骰子，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則
A． B．
C．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3
【答案】C
【分析】由題意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判斷即可．
【詳解】解：由題意可知，，，，，
所以，，2，，
則表示向上的面的點(diǎn)數(shù)是1或2或3．
故選：．
2．對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件兩彈都擊中飛機(jī)，事件兩彈都沒擊中飛機(jī)，事件恰有一彈擊中飛機(jī)，事件至少有一彈擊中飛機(jī)，下列關(guān)系不正確的是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中，，故選：．
核心知識(shí)5 互斥事件與對立事件
1．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè) “三件產(chǎn)品全不是次品”， “三件產(chǎn)品全是次品”， “三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是
A．與互斥且為對立事件B．與互斥且為對立事件
C．與存在有包含關(guān)系D．與不是對立事件
【答案】A
【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷作答．
【詳解】解：事件：三件產(chǎn)品都是正品，事件：三件產(chǎn)品全是次品，事件：三件產(chǎn)品包含一件正品兩件次品，兩件正品一件次品，三件正品．事件與互斥不對立，錯(cuò)誤；事件與互斥，又對立，正確；事件包含于事件，、都正確．故選：．
2．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么對立的兩個(gè)事件
A．至少有1名男生和全是男生 B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．恰有1名男生和恰有1名女生 D．至少有1名男生和全是女生
【答案】D
【分析】互斥事件是兩個(gè)事件不包括共同的事件，對立事件首先是互斥事件，再就是兩個(gè)事件的和事件是全集，由此規(guī)律對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到答案．
【詳解】解：選取的兩名學(xué)生均為男生時(shí)，至少有1名男生和全是男生同時(shí)發(fā)生，故中兩個(gè)事件不是互斥事件，更不可能是對立事件；選取的兩名學(xué)生一男一女時(shí)，至少有1名男生和至少有1名女生，故中兩個(gè)事件不是互斥事件，更不可能是對立事件；選取的兩名學(xué)生一男一女時(shí)，恰有1名男生和恰有1名女生，故中兩個(gè)事件不是互斥事件，更不可能是對立事件；至少有1名男生和全是女生，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且兩個(gè)事件的和事件是全集，故中兩個(gè)事件是對立事件，故選：．
3．箱子里有3雙不同的手套，從中隨機(jī)拿出2只，記事件拿出的手套不能配對，事件拿出的都是同一只手上的手套，事件拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成對．
（Ⅰ）寫出該試驗(yàn)的樣本空間；
（Ⅱ）用集合的形式表示事件、事件、事件；
（Ⅲ）說出事件、事件、事件的關(guān)系．
【答案】，，，，，，，，，，，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，．
，，．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法，即可求解．
根據(jù)事件、事件、事件的含義，即可直接求解．
根據(jù)事件、事件、事件的關(guān)系，即可直接求解．
【詳解】解：設(shè)3雙手套為，，，其中，，代表左手手套，，，代表右手手套，樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，．
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
，，．
核心知識(shí)6 古典概型
1．下列有關(guān)古典概型的說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限
B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等
C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等
D．已知樣本點(diǎn)總數(shù)為n，若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率
【答案】B
【分析】根據(jù)古典概型的定義逐項(xiàng)判斷即可
【詳解】解：由古典概型概念可知：試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限；每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故A，C正確；
每個(gè)事件不一定是樣本點(diǎn)，可能包含若干個(gè)樣本點(diǎn)，所以B不正確；
根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知D正確，
故選：B
2．下列是古典概型的是（ ）
①從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小；
②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【分析】根據(jù)古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，且每個(gè)基本事件等可能這兩個(gè)特點(diǎn)逐一判斷，即可得出結(jié)論.
【詳解】①②④中的基本事件都是有限個(gè)，且每個(gè)基本事件都是等可能的，
符合古典概型的定義和特點(diǎn)；③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄裕?br>受多方面因素影響.故選：B.
3．甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則由乙箱中取出的是紅球的概率為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用題中的條件甲箱中取出的球?yàn)榧t球和非紅球進(jìn)行分類討論，即可解出．
【詳解】解：若從甲箱取出的是紅球，則從乙箱取出的是紅球的概率為：，若從甲箱取出的不是紅球，則從乙箱取出的是紅球的概率為：，故先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙箱中，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則由乙箱中取出的是紅球的概率為：，故選：．
4．柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用列舉法分別求出從6只鞋子中取出2只的可能情況及取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的情況，然后結(jié)合等可能事件的概率公式可求．
【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有15種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙設(shè)為事件，
則包含的結(jié)果有6種，，，，，，，，，，，，，（A）．故選：．
5．已知事件A與事件B是互斥事件，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件和必然事件的定義分析判斷即可
【詳解】對于AD，因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以是必然事件，所以，所以A錯(cuò)誤，D正確，
對于B，因?yàn)榛コ獾膬蓚€(gè)事件不一定是獨(dú)立事件，如拋一枚骰子，令事件A為1朝上，事件 B為2朝上，則，則，，所以，所以不一定成立，所以B錯(cuò)誤，
對于C，因?yàn)榛コ鈨蓚€(gè)事件不一定是對立事件，如拋一枚骰子，令事件A為1朝上，事件 B為2朝上，則，則，所以不一定成立，所以C錯(cuò)誤，
故選：D
6．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，，則P（）＝（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】先求出，再求.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件A和B互斥，且，，所以.所以故選：D
核心知識(shí)7 頻率與概率
1．某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，則以下理解正確的是
A．購買這種彩票100000張，一定能中獎(jiǎng)一次B．購買這種彩票100000張，可能一次也沒中獎(jiǎng)
C．購買這種彩票1張，一定不能中獎(jiǎng) D．購買這種彩票100000張，至少能中獎(jiǎng)一次
【答案】B
【分析】根據(jù)概率的基本概念，即可求解．
【詳解】解：某種彩票的中獎(jiǎng)概率為，購買彩票為隨機(jī)事件，則購買這種彩票100000張，可能一次也沒中獎(jiǎng)．故選：．
2．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為
A．0.48，0.48B．0.5，0.5C．0.48，0.5D．0.5，0.48
【答案】C
【分析】利用頻率的計(jì)算公式能求出頻率；利用概率的定義能求出概率．
【詳解】解：在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了48次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為：，概率為0.5．故選：．
核心知識(shí)8 相互獨(dú)立事件
1．甲、乙兩人打靶，甲擊中目標(biāo)的概率為0.8，乙擊中目標(biāo)的概率為0.7，若兩人同時(shí)射擊一目標(biāo)，則他們都不擊中目標(biāo)的概率是
A．0.56B．0.14C．0.24D．0.06
【答案】D
【分析】根據(jù)對立事件的概率公式，獨(dú)立事件的積事件的概率乘法公式即可求解．
【詳解】解：甲擊中目標(biāo)的概率為0.8，乙擊中目標(biāo)的概率為0.7，甲、乙都不擊中目標(biāo)的概率為．故選：．
2．甲乙丙三個(gè)同學(xué)獨(dú)立地解答一個(gè)數(shù)學(xué)題，已知三位同學(xué)能夠正確解答這個(gè)數(shù)學(xué)題的概率分別為，則這個(gè)數(shù)學(xué)題能被正確解答的概率為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)學(xué)題能被正確解答為事件，（A），故選：．
3．甲、乙二人的投籃命中率分別為0.9、0.8，若他們二人每人投籃一次，則至少一人命中的概率為
A．0.72B．0.27C．0.26D．0.98
【答案】D
【分析】“至少一人命中”可分為三種情況：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，結(jié)合二人投籃相互獨(dú)立，計(jì)算即得解．
【詳解】解：由題意“至少一人命中”可分為三種情況：甲、乙都中、甲中乙不中、甲不中乙中，
記“至少一人命中”為事件，由甲、乙二人投籃相互獨(dú)立，
則（A）．故選：．
4．從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，.
(1)求一輛車從甲地到乙地沒有遇到紅的概率；
(2)求一輛車從甲地到乙地遇到一個(gè)紅燈的概率；
(3)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】(1)利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率之積即可求解；(2) 利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率運(yùn)算方法即可求解；(3)分類討論，根據(jù)獨(dú)立事件發(fā)生的概率運(yùn)算方法求解.
【詳解】（1）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，
.
（2）.
（3）設(shè)表示第一輛車遇到紅燈個(gè)數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈個(gè)數(shù)，
則所求事件的概率等于
=.
5．甲、乙、丙三人進(jìn)行摔跤比賽，比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩人參加，另一人當(dāng)裁判，沒有平局；②每場比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一場當(dāng)裁判；③累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；④當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人累計(jì)負(fù)兩場被淘汰，另一人最終獲得冠軍，比賽結(jié)束．已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．經(jīng)抽簽，第一．場比賽甲當(dāng)裁判．
(1)求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；
(2)求只需四場比賽就決出冠軍的概率；
(3)求甲最終獲勝的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的情況有2種①乙勝丙、乙勝甲、乙勝丙②乙勝丙、甲勝乙、甲勝丙，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四場比賽就決出冠軍的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最終獲勝的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
（1）
記事件A為甲勝乙，則，，事件B為甲勝丙，則，，
事件C為乙勝丙，則，，前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為
（2）只需四場比賽就決出冠軍的概率為
．
（3）由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，第一場比賽甲當(dāng)裁判，以后的比賽相對于甲，可視乙丙為同一人，設(shè)甲勝為事件D，甲當(dāng)裁判為事件E，
．
核心知識(shí)9概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用
1．某校對某次高一期中數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求的值；
(2)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第百分位數(shù)；
(3)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，再從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這名學(xué)生至少有人成績在內(nèi)的概率．
【答案】(1)；(2)分；(3).
【分析】（1）利用頻率之和為，即可計(jì)算出；
（2）利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法，求出成績的第百分位數(shù)；
（3）利用分層抽樣取樣方法，算出需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，，寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)，即可求出相應(yīng)概率.
（1）
由，解得；
（2）
由題可知知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在分以下所占比例為，
在分以下所占比例為，
因此，第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，
可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)約為分，
據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第百分位數(shù)約為分；
（3）
由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 (人)，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 (人)．
用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，則需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，，
設(shè)“從樣本中任取人，至少有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)”為事件，
則樣本空間共包含個(gè)樣本點(diǎn)，
而的對立事件包含個(gè)樣本點(diǎn)，所以，所以.