2022年海南高考數(shù)學(xué)真題及答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：B.
2. （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.
【詳解】，
故選：D.
3. 中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）
A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
4. 已知，若，則（）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
5. 有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）
A. 12種B. 24種C. 36種D. 48種
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，
故選：B
6. 角滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由兩角和差正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故選：D
7. 正三棱臺高為1，上下底邊長分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．
8. 若函數(shù)的定義域為R，且，則（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．
【詳解】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．
因為，，，，，所以
一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．
故選：A．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 函數(shù)的圖象以中心對稱，則（）
A. 在單調(diào)遞減
B. 在有2個極值點(diǎn)
C. 直線是一條對稱軸
D. 直線是一條切線
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．
【詳解】由題意得：，所以，，
即，
又，所以時，，故．
對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；
對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；
對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；
對D，由得：，
解得或,
從而得：或,
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
切線方程為：即．
故選：AD．
10. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）
A. 直線的斜率為B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.
【詳解】
對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
對于C，由拋物線定義知：，C正確；
對于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由體積公式計算，連接交于點(diǎn)，連接，由計算出，依次判斷選項即可.
【詳解】
設(shè)，因為平面，，則，
，連接交于點(diǎn)，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
12. 對任意x，y，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．
【答案】##．
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．
【詳解】因為，所以，因此．
故答案為：．
14. 寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：____________，____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分和兩種情況，當(dāng)時設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時同理可得；
【詳解】解：因為，
當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
當(dāng)時，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；
15. 已知點(diǎn)，若直線關(guān)于的對稱直線與圓存在公共點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
16. 已知橢圓，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為___________．
【答案】
【解析】
【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；
【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因為，所以，
設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17. 已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
（1）證明：；
（2）求集合中元素個數(shù)．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
【小問2詳解】
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．
18. 記的三個內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
（1）求的面積；
（2）若，求b．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
【小問2詳解】
由正弦定理得：，則，則，.
19. 在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）估計該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?，從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）
【答案】（1）歲；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【小問1詳解】
平均年齡
（歲）．
【小問2詳解】
設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
【小問3詳解】
設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，
則由條件概率公式可得
．
20. 如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；
小問1詳解】
證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，
因為是三棱錐的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小問2詳解】
解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因為，，所以，
又，所以，則，，
所以，所以，，，，所以，
則，，，
設(shè)平面法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
所以
設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，
所以，所以
故二面角的正弦值為；
21. 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
（1）求C的方程；
（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M，請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個條件成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；
（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.
【小問1詳解】
右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
【小問2詳解】
由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價于,
移項并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價于，
綜上所述：
條件①在上，等價于；
條件②等價于；
條件③等價于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
22. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【小問2詳解】
設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
【小問3詳解】
取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多