注意事項：
1.答題時，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.
3.答非選擇題時，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
5.考試結束后，只將答題卡交回.
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得全集，由此求得.
【詳解】由，解得，所以，所以.
故選：A
【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.
2. 若（是虛數(shù)單位），則復數(shù)的模為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復數(shù)的乘法、除法法則將復數(shù)表示為一般形式，然后利用復數(shù)的求模公式計算出復數(shù)的模.
【詳解】因為，所以，
所以，故選D.
【點睛】本題考查復數(shù)的乘法、除法法則以及復數(shù)模的計算，對于復數(shù)相關問題，常利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式進行求解，考查計算能力，屬于基礎題.
3. 函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值符號判斷．
【詳解】∵函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
∴其圖象既不關于原點對稱，也不關于軸對稱，故選項C錯誤；
當時，，故A，D錯誤，
故選：B
4. 已知數(shù)列的首項為，前項和為，若，（），則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由和的遞推關系可得表達式，發(fā)現(xiàn)從第二項起，后面的數(shù)都與前面的數(shù)之比為定值，故可用分組求和、等比數(shù)列求和公式法即可得解.
【詳解】由（），得（），
兩式作差得：（），
即（）.
∵，（），∴，
∴，∴.
故選：C.
5. 若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出k的值是
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)程序框圖一步一步往下執(zhí)行，即可得答案.
【詳解】
，退出循環(huán)，輸出
故選：B.
【點睛】本題考查程序框圖中的循環(huán)結構，考查簡單閱讀程序框圖能力，屬于基礎題.
6. 我國數(shù)學家陳景潤在對哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就.哥德巴赫猜想簡述為“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”（注：如果一個大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù)），如.在不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，這兩個數(shù)的和等于20的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算，即可由古典概型的概率公式求解.
【詳解】不超過20的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，共8個，
隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種取法，
隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的有2種取法：，，
故隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率.
故選：A
7. 若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值，即為所求.
【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，
在等式兩邊平方得，化簡得.
故選：A.
【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數(shù)量積的運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.
8. 在二項式的展開式中的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意將二項展開式的通項寫出來，然后結合已知即可求解.
【詳解】二項式展開為，.
當時，的指數(shù)為整數(shù)，共有四項.
故選：D.
9. 在平面直角坐標系中，若曲線（，為常數(shù)）過點，且該曲線在點處切線與直線平行，則（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
分析】由題意將點代入得，求導得，由題意將點代入得，聯(lián)立即可得解.
【詳解】∵函數(shù)的導數(shù)為，
∴曲線在點處的切線斜率為，
由兩直線平行可得①.
又∵點在曲線上，
∴②，由①②解得，.
故選：C.
10. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系進行求解.
【詳解】∵，
∴.
又∵，故，
∴，，
∴.
故選：A
11. 已知為雙曲線的右焦點，過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，交：于點.若，，則雙曲線的離心率為（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線第二定義和三角形相似，求出即可求得離心率的值.
【詳解】由題意得，即雙曲線的右準線.
如圖，過，作右準線的垂線，垂足為，，軸與右準線的交點為.
因為，所以是的中點，,
由雙曲線第二定義可得，可得，
又由相似三角形可得，
所以，所以，
因為，所以，，，
又由相似三角形可得，
因為，，，
所以綜上可化為，
解得，所以.
故選：C.
12. 設函數(shù)的定義域為，若滿足：在內是單調函數(shù)，且存在（），使得在上的值域為，那么就稱是定義域為的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（，）是定義域為的“成功函數(shù)”，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導，結合導函數(shù)特點得到恒大于零，此時，問題可化為在上至少有兩個解，換元后得到在上有兩個不同的解，利用二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，得到，求出答案.
【詳解】∵，
當且僅當時有恒大于零，不會恒小于零，
∴，在上單調遞增.
由題意得，要使為“成功函數(shù)”，則在上至少有兩個解.
∵，故，
∴問題可化為在上至少有兩個解.
設，得在上有兩個不同的解，
令，其圖象開口向上，對稱軸為，過點，且，
∴即可，解得，
∴.
故選：B
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 若點在函數(shù)的圖像上，則__________．
【答案】4
【解析】
【分析】將點代入函數(shù)可得，利用對數(shù)定義求解即可.
【詳解】將點代入函數(shù)，得，得.
所以.
故答案為4.
【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)解析式的求解及對數(shù)的運算，屬于基礎題.
14. 設函數(shù)，為常數(shù).若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)零點與對應方程根的關系以及函數(shù)零點存在性定理即可得答案.
【詳解】因為存在，使得，
所以函數(shù)在上有零點.
當時，不存在零點，
當時，為一次函數(shù)形式，具有單調性，
由函數(shù)零點存在性定理知，即，
解得或.
故答案為：.
15. 過點作直線交拋物線于，兩點，且點恰為線段中點，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用點差法求出直線的斜率，從而求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程，根據(jù)弦長公式，即可求得.
【詳解】設的坐標分別為，
則兩式相減可得，
∵點恰為線段中點，∴，
∴，∴，
∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即，
聯(lián)立拋物線與直線的方程：消去，得，
∴，，，
∴.
故答案為：.
16. 是R上可導的奇函數(shù)，是的導函數(shù)已知時，，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】構造函數(shù)，判定單調性，建立關于x的不等式，計算結果，即可．
【詳解】構造新函數(shù)，則，結合當時，
可知，在時遞增的.
則.
由，得，
令，即所以，
得到，解得
【點睛】考查了利用導函數(shù)判定原函數(shù)單調性，考查了構造函數(shù)的思想，難度偏難．
三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 在中，內角的對邊分別為，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）（2）1
【解析】
【分析】（1）結合余弦定理進行化簡，即可求出結果.
（2）由題意求出的值，結合正弦定理以及三角形的面積公式進行計算，即可得出結果．
【詳解】（1）由余弦定理得
化簡得，
∴.
∵，∴.
（2）由，得，
在中，
∵
，
由正弦定理，
得，
.
【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理，以及三角形面積公式即可，屬于?？碱}型.
18. 如圖，在三棱錐中，，底面ABC
（1）證明：平面平面PAC
（2）若，M是PB中點，求AM與平面PBC所成角的正切值
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，再根據(jù)底面ABC，得到，然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；
（2）作，連接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，
則即為AM與平面PBC所成的角求解.
【小問1詳解】
證明：因為，
所以，又底面ABC，
所以，又，
所以平面PAC，
因為平面PBC，
所以平面平面PAC；
【小問2詳解】
如圖所示：
作，連接OM，
因為平面平面PAC，平面平面PAC=PC，
所以平面PBC，
則即為AM與平面PBC所成的角，
設，則，
所以，又，
所以，
所以AM與平面PBC所成角的正切值為.
19. 已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現(xiàn)有，，三位畢業(yè)生應聘該單位，假設，，三位畢業(yè)生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.
（1）求，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘的概率；
（2）記隨機變量為，，三位畢業(yè)生中通過招聘的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由獨立事件乘法公式，對立、互斥事件概率關系即可得解.
（2）由題意可得，由二項分布的概率計算公式、期望公式即可得解.
【小問1詳解】
記“，兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘”為事件.
通過招聘的概率為，通過招聘的概率為，
∴.
即，兩位畢業(yè)生有且只有一位通過招聘的概率為.
【小問2詳解】
隨機變量可能的取值為0，1，2，3.
通過招聘的概率為，
由（1）得，兩位畢業(yè)生通過招聘的概率均為.
∴，，三位畢業(yè)生通過招聘的人數(shù).
則，
，
，
，
隨機變量的分布列為：
數(shù)學期望.
20. 已知動點到定點和到直線的距離之比為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）若，，過點的直線與曲線相交于，兩點，則是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，定值
【解析】
【分析】（1）設，根據(jù)題意直接列出所滿足的方程，化簡即可得出答案.
（2）設出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)韋達定理求出的值即可.
【小問1詳解】
設，則由題意，知，即，
所以，即，
∴點的軌跡的方程為；
【小問2詳解】
易知直線的斜率存在，所以設，，過點的直線的方程為，
由消去，得：，
其中，，，
所以
，
所以是定值.
21. 已知函數(shù)的極值為.
（1）求的值；
（2）若，判斷方程是否恒有解.
【答案】（1）
（2）恒有解，理由見解析
【解析】
【分析】（1）分、兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的極值可求得實數(shù)的值；
（2）令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，數(shù)形結合可得出方程解的情況.
【小問1詳解】
解：因為，則，
①當時，函數(shù)的定義域為，
由，由，
所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，存在極大值，得；
②當時，函數(shù)的定義域為，
由，由，
此時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
即存在極小值，得（舍去）.
綜上，.
【小問2詳解】
解：恒有解，證明如下：
由（1）得（），則，
令，則，
令，則，
所以，函數(shù)在上單調遞增，
因為，，
所以，存在，使得，即，
當時，，即，此時函數(shù)單調遞減，
當時，，即，此時函數(shù)單調遞增，
因為，所以，，
當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，方程恒有解.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應的題號方框涂黑.按所涂題號進行評分，不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分.
22. 在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.
（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標方程；
（2）已知點，直線與圓相交于，兩點，設，求實數(shù).
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）消去參數(shù)，求得直線普通方程，由求圓的普通方程.
（2）設點，對應的參數(shù)分別為，.依題意，點在直線上且在圓的內部..然后將直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標方程聯(lián)立，再用韋達定理求解.
【詳解】（1）由，消去參數(shù)，
得.
由，得，即.
故圓的直角坐標方程為.
（2）設點，對應的參數(shù)分別為，.
依題意，點在直線上且在圓的內部.
.
將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程并整理得，
，.
，，
得，.
，.
【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的轉化和直線與圓的位置關系，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
23. 已知
（1）求不等式的解集
（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）通過零點討論法去絕對值即可，最終將所有范圍取并集
（2）利用絕對值三角不等式先求出的最小值4，再解的絕對值即可
【詳解】（1），解得；
，解得；
，解得.
綜上，不等式的解集是.
（2）因為
所以，解得.
【點睛】本題考查雙絕對值不等式的解法，一般是通過零點討論法去絕對值；對于第二問中的含參絕對值的解法，一般是通過三角不等式求出函數(shù)的最值，再采用去絕對值的一般方法進行求解即可
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