一、單選題
1．設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)交集、補集的定義可求.
【詳解】由題設(shè)可得，故，
故選：B.
2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.
【詳解】由，可得，即；
由，可得或，即；
∴是的真子集，
故“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A
3．若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.
【詳解】因為，所以.
故選：B.
4．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.
【詳解】令，
則，
所以為奇函數(shù)，排除BD；
又當時，，所以，排除C.
故選：A.
5．已知，則
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運用中間量比較，運用中間量比較
【詳解】則．故選B．
【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．
6．已知，，則（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】A
【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系可得a的值，再根據(jù)換底公式可得.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：A
7．函數(shù)可以由經(jīng)過變換得到，則變換方式正確的是（ ）
A．的縱坐標不變；橫坐標伸長為原來的3倍，再向右平移個單位
B．的縱縱標不變，模坐標縮短到原來的，再向右平移個單位
C．向右平移個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的3倍
D．向右平移個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的
【答案】D
【分析】根據(jù)選項，利用三角函數(shù)平移變換的性質(zhì)依次求出解析式即可得解.
【詳解】對選項A，的圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，
再向右平移個單位，得到，故A錯誤；
對選項B，的圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到?br>再向右平移個單位，得到，故B錯誤.
對選項C，的圖象向右平移個單位，得到，
再保持縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的3倍，得到，故C錯誤；
對選項D，的圖象向右平移個單位，得到，
再保持縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的，得到，故D正確.
故選：D.
8．已知函數(shù)給出下列結(jié)論：
①的周期為；
②時取最大值；
③的最小值是；
④在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
⑤把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號題（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③
【答案】B
【分析】先由降冪公式與輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式、最值性質(zhì)、單調(diào)性，結(jié)合正弦型函數(shù)圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因為
.
①因為，所以①正確；
②因為，所以②錯誤；
③當，即時，
取最小值，且最小值是，所以③正確；
④當時，由
知在區(qū)間內(nèi)并不單調(diào)，故④錯誤；
⑤把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，
可得到函數(shù)，故⑤錯誤.
故正確的是①③.
故選：B.
二、填空題
9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【答案】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)減區(qū)間.
【詳解】易知的定義域為，
則，令，解得；
即可知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故答案為：
10．長方體的所有頂點都在一個球面上，長、寬、高分別為2，1，1，那么這個球的表面積是 ．
【答案】
【分析】先求出長方體對角線的長度，即得外接球的直徑，再求球的表面積即可.
【詳解】由題意，長方體的對角線的長度即外接球的直徑，為，
故這個球的表面積是.
故答案為：
三、雙空題
11．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 ，曲線在處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】由導(dǎo)數(shù)運算法則可求導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，由點斜式可得切線方程.
【詳解】設(shè)，，
則；
所以，且，
即直線斜率，過點，
故曲線在處的切線方程為，
即，
故答案為：；.
四、填空題
12．如圖，一個正四棱錐（底面為正方形且側(cè)棱均相等的四棱錐）的底面的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的側(cè)面積為 .
【答案】32
【分析】根據(jù)正棱錐中高與斜高的夾角求出斜高的長，即可求出側(cè)面積.
【詳解】在正四面體中易知，是正棱錐的高，是正棱錐的斜高，
, ,
,
，
故答案為：32
13．已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為 ．
【答案】5
【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進而利用弦長公式，即可求得．
【詳解】因為圓心到直線的距離，
由可得，解得．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標準方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
五、雙空題
14．在中，點滿足，若線段上的一點滿足（，），則 ，的最小值為 ．
【答案】 1 12
【分析】第一空，根據(jù)平面向量基本定理，由，，三點共線可得，可得；第二空，利用基本不等式可得.
【詳解】如圖，

，，，
，，三點共線，
，且，，
，
當且僅當，即時等號成立，的最小值為12．
故答案為：1，12．
六、填空題
15．已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點與拋物線的焦點相同．則雙曲線的方程為 ．
【答案】
【詳解】解：由已知得，
16．在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是 ．
【答案】2
【詳解】分析：先確定雙曲線的焦點到漸近線的距離，再根據(jù)條件求離心率.
詳解：因為雙曲線的焦點到漸近線即的距離為所以，因此
點睛：雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，焦點在漸近線上的射影到坐標原點的距離為a.
七、解答題
17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，．
(1)求b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可得，從而可得，進而根據(jù)余弦定理即可求解；
（2）先計算,再結(jié)合倍角公式和差角余弦公式即可求解.
【詳解】（1）在中，由可得，又由，
可得，
，.
又，故，
根據(jù)余弦定理可得，可得.
（2），，
，，
所以.
18．在中，角，，所對的邊分別為，，．已知，，．
(1)求角的大??；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理求出，結(jié)合，求出；
（2）結(jié)合（1），由正弦定理求出的值；
（3）由二倍角公式得到，由正弦和角公式求出答案.
【詳解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
又因為，所以；
（2）在中，由（1）知，，，
由正弦定理可得；
（3）由知，所以角A為銳角，
因為，所以，
所以，，
所以.
19．如圖，四邊形是正方形，平面，，，分別為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的大??；
(3)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)；
(3)
【分析】（1）利用線面平行的判斷定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系利用空間向量來求解即可；
（3）在（2）建立的坐標系下利用向量法求解即可.
【詳解】（1）由題意分別為的中點，
所以是的中位線，
即，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由于四邊形是正方形，平面，
所以兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
如圖所示：

又，分別為的中點，
則，
所以；
設(shè)平面的一個法向量，
則，
解得，令，得；
即，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
解得，令，
即；
設(shè)平面與平面夾角的大小為，
所以，
又，所以；
即平面與平面夾角的大小為；
（3）由（2）平面的一個法向量為；
又，
所以點到與平面的距離距為：
.
20．設(shè)橢圓的離心率，過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求橢圓被直線截得的弦長.
(3)直線與橢圓交于兩點，當時，求值.（O為坐標原點）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，從而得到橢圓的方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得韋達定理，進而根據(jù)弦長公式即可求解.
（3）根據(jù)向量的坐標運算即可代入韋達定理求解.
【詳解】（1）由題意可知，解得，
橢圓的方程為．
（2）設(shè)橢圓與直線的交點為，，，，
聯(lián)立方程，消去得，
，，
因此
（3）設(shè)，，
聯(lián)立方程，消去得，
所以，，，得
由，即
，
，均符合，
故

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