一、填空題
1．已知集合，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意可知，進(jìn)而可得.
【詳解】因?yàn)?，則，所以.
故答案為：1.
3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .
【答案】
【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解出焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：.
4．某大型企業(yè)共有職工1500人，其中高級職稱150人，中級職稱450人，初級職稱900人．現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的中級職稱的人數(shù)為 ．
【答案】9
【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可得：抽取的中級職稱的人數(shù)為.
故答案為：9.
5．長、寬、高分別為5、4、3的長方體的外接球的表面積是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)長方體外接球的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可知：長方體的外接球的半徑，
所以外接球的表面積是.
故答案為：.
6．在某道選詞填空題中，共有4個空格、5個不同的備選單詞，其中每個空格只有一個正確答案（備選單詞中有一個是多余的），若隨機(jī)從備選單詞中選4個不同的單詞分別填入空格中，則恰答對3個空格的概率是 ．
【答案】
【分析】由古典概型的概率計算公式可得.
【詳解】由題意得，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為，且每個樣本點(diǎn)都是等可能的；
記事件“恰答對3個空格”，則；
由古典概型的概率計算公式得，.
則恰答對3個空格的概率是.
故答案為：.
7．設(shè)正數(shù)滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】，則，則的最小值為.
點(diǎn)睛:本題主要考查基本不等式，解決本題的關(guān)鍵是由，有，在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.
8．在等比數(shù)列中，，分別是函數(shù)的兩個駐點(diǎn)，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)駐點(diǎn)的性質(zhì)與等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】函數(shù)，則
，分別是函數(shù)的兩個駐點(diǎn)，所以，是方程的兩根，
所以，所以
在等比數(shù)列中，且等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)同號，則，所以.
故答案為：.
9．若方程有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知表示頂點(diǎn)為，其中一條漸近線為的雙曲線的上半部分，根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)結(jié)合圖形分析求解.
【詳解】由題意可知：，可得或，
對于，可得，或，
其曲線表示頂點(diǎn)為，其中一條漸近線為的雙曲線的上半部分，
方程有且只有一個實(shí)根即為曲線與直線有且只有一個交點(diǎn)，
當(dāng)直線過時，可得；
當(dāng)直線過時，可得；
結(jié)合圖象可知：實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
故答案為：.
10．已知，若存在使得，則k的最大值為 ．
【答案】1011
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，討論的奇偶性，結(jié)合分析求解即可.
【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，
所以，，
若，則有：
當(dāng)為奇數(shù)時，此時，即，
則，可得，
又因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最大值為1011；
當(dāng)為偶數(shù)時，此時，不合題意；
綜上所述：的最大值為1011.
故答案為：1011.
11．若關(guān)于x的方程在區(qū)間上至少有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和得正弦公式、二倍角公式化簡方程得及有一個實(shí)根，再研究方程在上至少有一個實(shí)根的情況，令，討論函數(shù)的值域，從而結(jié)合題意得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>.
所以由得，
即.
當(dāng)時，無解，即.
下面討論方程，在上至少有一個實(shí)根的情況：
因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間上至少有兩個不同的實(shí)根，所以，得且方程，在上至少有一個實(shí)根.
令，則.
當(dāng)時，，方程不成立；
當(dāng)時.
令，易知在上單調(diào)遞減，得，
在上也單調(diào)遞減，得，
所以，使得方程在上至少有一個實(shí)根要滿足，在上至少有一個實(shí)根要滿足.
綜上所述，方程在區(qū)間上至少有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
12．已知A，M，N是棱長為1的正方體表面上不同的三點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可得結(jié)合夾角的定義可得，可得其最大值；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可知，可得其最小值.
【詳解】正方體表面上任意兩點(diǎn)間距不超過體對角線長度，
則，故，
而，故，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 取，重合為時，
則，取得最大值；
由對稱性，設(shè)在下底面，，，
由在下底面知，當(dāng)且僅當(dāng)也在下底面時取等，
此時共面時，設(shè)中點(diǎn)為，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)重合時取等，
又因?yàn)椋傻茫?br>例如，，則；
所以的取值范圍是.
故答案為：.
二、單選題
13．已知a，b，，則“”的一個充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】對于ACD：舉例分析判斷；對于B：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合充分必要條件的定義分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：例如，滿足，不滿足，
即不能推出，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則等價于，
所以“”是“”的充要條件，故B正確；
對于選項(xiàng)C：例如，則，
即不能推出，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：例如，滿足，不滿足，
即不能推出，故D錯誤；
故選：B.
14．若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由雙曲線方程可知焦點(diǎn)在x軸上，結(jié)合橢圓方程和雙曲線方程列式求解即可.
【詳解】由雙曲線可知焦點(diǎn)在x軸上，
由題意可得：，解得.
故選：C.
15．若函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的定義域不可能是（ ）
A．B．
C．D．R
【答案】B
【分析】根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的特征結(jié)合函數(shù)定義分析判斷.
【詳解】對于函數(shù)圖象上任一點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)可得，
即也在函數(shù)圖象上，
所以均在函數(shù)圖象上，都在定義域內(nèi)，
從而結(jié)合函數(shù)定義有，當(dāng)時，有
若定義域?yàn)椋瑒t不存在滿足題意的對應(yīng)值，故B錯誤；
故選：B.
16．已知，有限數(shù)列，，…，的前k項(xiàng)和為，且對一切都成立，給出下列兩個命題：①，，…，不可能是等差數(shù)列；②，，…，有可能是等比數(shù)列．則（ ）
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①②都是真命題D．①②都是假命題
【答案】D
【分析】對于①：舉例說明即可；對于②：分類討論公比為的取值范圍，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式分析判斷.
【詳解】對于①：例如，則，
滿足，，是等差數(shù)列，且對一切都成立，故①錯誤；
對于②：若是等比數(shù)列，設(shè)公比為，顯然，
1.當(dāng)時，，不合題意；
2.當(dāng)時，，不合題意；
3.當(dāng)時，因?yàn)椋瑒t，即，
（1）當(dāng)時，則，，即，解得，不合題意；
（2）當(dāng)時，若為偶數(shù)，則，，即，
解得，不合題意；
（3）當(dāng)時，若為偶數(shù)，則，，即，
整理得，無解，不合題意，
綜上所述：不存在滿足題意，即，，…，不可能是等比數(shù)列，故②錯誤
故選：D.
三、解答題
17．已知且，函數(shù)，．對任意，恒成立，且．
(1)求實(shí)數(shù)b，c的值．
(2)若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可知的對稱軸為，結(jié)合列式求解即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的定義可知在上恒成立，可得，且，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋芍膶ΨQ軸為，
且，則，解得.
（2）由（1）可知：，則，
由題意可知：在上恒成立，即在上恒成立，
可得，且，
可知開口向上，對稱軸為，
即在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18．如圖，在四棱錐中，平面平面PAD，，，正三角形PAD的邊長為2．
(1)求證：平面PAD；
(2)若，，求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直可得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理分析證明；
（2）建系，求平面PAD與平面PBC的法向量，利用空間向量求面面夾角.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉檎切危瑒t，
且平面平面PAD，平面平面，平面PAD，
所以平面，
由平面，可得，
且，，平面，
所以平面PAD.
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為z軸，過平行于的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
由題意可知：平面的法向量，
可得，
所以平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為，大小為.
19．某盲盒抽獎活動中，主辦方從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個裝入盲盒用于抽獎．已知抽出的50個汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示．
(1)從這50個模型中隨機(jī)取一個，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求和，并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；
(2)活動規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性拿兩個盲盒，對其中的模型給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項(xiàng)越高；
假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎300元，二等獎200元、三等獎100元；
請你分析獎項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布并求出X的期望（精確到元）．
【答案】(1)，事件不相互獨(dú)立.
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，利用古典概率求出，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷作答；
（2）求出三種結(jié)果的概率，按給定的假設(shè)2，3確定獎金額與對應(yīng)的概率列出分布列，求出期望作答.
【詳解】（1）由給定的數(shù)表知，，，，
而，，
故，因此事件不相互獨(dú)立，
所以，事件不相互獨(dú)立.
（2）設(shè)事件：外觀和內(nèi)飾均為同色，事件：外觀內(nèi)飾都異色，事件：僅外觀或僅內(nèi)飾同色，
依題意，；；
，則，
因此抽取的兩個模型的外觀和內(nèi)飾都異色是一等獎；外觀和內(nèi)飾均為同色是二等獎；
外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色是三等獎，
獎金額的可能值為：，
獎金額的分布列：
獎金額的期望（元）.
20．已知橢圓：中，A為的上頂點(diǎn)，P為上異于上、下頂點(diǎn)的動點(diǎn)，為x軸上的動點(diǎn)．
(1)若，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
(2)設(shè)，若是直角三角形，求的值；
(3)若，是否存在以AM，AP為鄰邊的平行四邊形MAPQ，使得點(diǎn)Q在上？若存在，求出此時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】(1)或
(2)或或
(3)存在，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)約為
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由條件點(diǎn)在橢圓上及，建立方程組求解即可；
（2）按直角頂點(diǎn)的位置分類求解；
（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得點(diǎn)坐標(biāo)，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則由條件轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，再由平行四邊形MAPQ得，可表達(dá)點(diǎn)坐標(biāo)，而點(diǎn)在橢圓上，故可建立的方程組，求解，進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意知，設(shè)，則有，且，
由，則
即，解得，或.
故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為或；
（2）由題意得，，，
則，
若，則，
解得；
若，則，
解得，或；
若，則，
解得，由已知，故舍去；
綜上所述，的值為或或；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)， ，設(shè)中點(diǎn)，
因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)直線與軸垂直時，如圖可知，不存在滿足題意的平行四邊形；
故直線不與軸垂直，
設(shè)直線的方程為，
由，可得，
由已知直線與橢圓的一個交點(diǎn)，
則有，則，
,則，
即，
由，，
整理得，即①，
由MAPQ是平行四邊形，設(shè)，則，
則，
則有，
即，由點(diǎn)在橢圓上
所以②，
聯(lián)立①②消，得，
解得，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以存在以AM，AP為鄰邊的平行四邊形MAPQ，使得點(diǎn)Q在上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)約為.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中幾何條件的轉(zhuǎn)化常用策略：
直角三角形的處理則為勾股定理處理長度求解或利用向量數(shù)量積為（或斜率乘積為）轉(zhuǎn)化坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算；圓中的直徑問題由直徑所對的角為直角轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系處理；菱形一般則利用對角線互相垂直的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系；等腰三角形一般應(yīng)用三線合一性質(zhì)，取底邊中點(diǎn)，則中線即為底邊的垂直平分線，從而將長度相等關(guān)系為垂直關(guān)系，利用向量或斜率建立等量關(guān)系求解；平行四邊形則應(yīng)用對角線互相平分或?qū)吰叫星蚁嗟鹊男再|(zhì)，轉(zhuǎn)化為弦中點(diǎn)問題或向量的等量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)化求解；或者其他等等特殊幾何圖形的處理，均要注意借助幾何性質(zhì)的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化化歸為常見問題求解.
21．已知正整數(shù)，函數(shù)．
(1)若，，，，在上嚴(yán)格增，求實(shí)數(shù)t的最小值；
(2)若，，，，在處有極值，函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰有個零點(diǎn)（，2，…，k），滿足，求證：在上嚴(yán)格增．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，在上嚴(yán)格增，則由為增區(qū)間的子區(qū)間可得實(shí)數(shù)t的范圍及最小值；
（2）由在處有極值，得，解得驗(yàn)證極值；再由函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有個交點(diǎn)，由圖象法可得；
（3）由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可表達(dá)出導(dǎo)函數(shù)的形式，通過各部分符號分析即可證明.
【詳解】（1）若，，，，則，
，
由得，，或，
當(dāng)，或時，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；
由在上嚴(yán)格增，則有.
即的最小值為；
（2）若，，，，則，
則，
由在處有極值，則，
解得，此時，，
，
由得，，或，
當(dāng)，或時，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；
則在處有極大值，
在有極小值，滿足題意.
且當(dāng)，
作出函數(shù)的圖象（如圖）
要使函數(shù)有3個不同的零點(diǎn)，
則直線與函數(shù)有個不同的交點(diǎn)，
由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（3）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰有個零點(diǎn)（，2，…，k），，
，
則，
其中為最高次項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式，.
因?yàn)?，則，且函數(shù)不存在零點(diǎn)，
則恒成立或恒成立，
由最高次項(xiàng)系數(shù)為，則當(dāng)，
假設(shè)，則由零點(diǎn)存在性定理知，存在零點(diǎn)，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤.
故恒成立.
由，
則當(dāng)時，，
所以恒成立，
故在上嚴(yán)格增.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的方法分析：
此類題型一般通常的解法是等價變形、構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、作圖數(shù)形結(jié)合作答結(jié)論.解決問題其中的關(guān)鍵在于討論、分參、運(yùn)算變形（如提取公因式、取對數(shù)、根式平方等變形）等方法構(gòu)造新的函數(shù)，繼而對新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析性質(zhì)，結(jié)合圖象解決問題.解決推理論證的問題則在于零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
20
10
米色內(nèi)飾
15
5
300
200
100

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