2024屆甘肅省白銀市會(huì)寧縣第四中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2024屆甘肅省白銀市會(huì)寧縣第四中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題含答案，共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，問答題，計(jì)算題，證明題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．復(fù)數(shù)的虛部為 （ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡復(fù)數(shù)為的形式，由此求得復(fù)數(shù)的虛部
【詳解】依題意，故虛部為，所以選A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.
2．若集合，，定義集合且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡集合，結(jié)和所給定義域即可求解.
【詳解】由得，則，
又且，則.
故選：C
3．若點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)二倍角公式得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，
所以，
則，
故選：B.
4．已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的投影的定義和計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題意知，向量且向量與的夾角為，
所以向量在上的投影為，
又因?yàn)?，所以向量在上的投影向量?
故選：A.
5．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的可能取值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，列出恒成立的不等式，求解即得.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得，，
即，，因此，
顯然當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以的取值范圍是，的可能取值為6，D正確.
故選：D
6．已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求結(jié)果.
【詳解】∵，∴是等差數(shù)列．
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，
∴，，∴．
故選：B．
7．在四面體中，，，是棱的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中點(diǎn)為，可證得 （或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角，在中，可解得.
【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，又是的中點(diǎn)，則，所以（或其補(bǔ)角）就是異面直線與所成的角.
在中，，，，所以為等邊三角形，故，即異面直線與所成的角為.
故選：A.
8．已知，令，，，那么之間的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因?yàn)?，所以，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以．根據(jù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可得，即
．
【詳解】因?yàn)椋瑒t，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以．
因?yàn)?，且，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以
因?yàn)椋瑸閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以，故選A
【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性及值域，屬基礎(chǔ)題．
二、多選題
9．已知直線，平面，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．如果，那么;
B．如果，，那么;
C．如果，，那么;
D．如果是異面直線，且，那么
【答案】ACD
【分析】根據(jù)空間中平面與平面平行的判定判斷A；由空間中直線與平面的位置關(guān)系分析判斷B；由直線與平面垂直的性質(zhì)與判定結(jié)合平面與平面平行的性質(zhì)判斷C；由直線與平面平行的性質(zhì)與平面與平面平行的判定判斷D.
【詳解】對于A，垂直于同一條直線的兩平面平行，故A正確；
對于B，有可能在內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
對于C，
平面與平面與交于，,
平面與平面與交于，,
,
，,
，平面，
，
，,
平面，且，
，故C正確；
對于D，將平移到異于的平面，對應(yīng)直線為，如圖，
則，，
是異面直線，
相交，
，且，，
，
平面，且相交，
，
，故D正確.
故選：ACD.
10．已知，，，則（ ）
A．的最小值為4B．的最小值為
C．的最小值為3D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷A； 利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可判斷C；利用基本不等式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可判斷 D.
【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則A錯(cuò)誤；
,
，，，,
當(dāng)時(shí)，的最小值為，則B正確；
因?yàn)?，且，所以，所以?br>,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則C正確；
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則D正確；
故選：BCD.
11．已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則a的值可以是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】由題意，函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，
所以，解得，
故選:BC．
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的零點(diǎn)是
D．的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】AC
【分析】先根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】.
對于A，的最小正周期為，故A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，，所以不是的圖象的對稱軸，故B錯(cuò)誤；
對于C，由，可得，所以，
所以，故C正確；
對于D，由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
13．已知某圓臺(tái)的上?下底面積分別為，母線長為5，則該圓臺(tái)的體積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式代入求解即可.
【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上?下底面積分別為，所以該圓臺(tái)的上?下底面的半徑分別2，6，
如圖所示：
即，，，所以，所以，
故圓臺(tái)的高為3，則圓臺(tái)的體積，
故答案為：
14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，那么它的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】/
【分析】結(jié)合已知條件，利用與之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】∵數(shù)列的前項(xiàng)和，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故，
當(dāng)時(shí)，也成立
故對，.
故答案為：．
15．在中，是邊上的點(diǎn)，且，設(shè)，則 .
【答案】
【分析】結(jié)合向量運(yùn)算法則，，，即可化簡求得結(jié)果.
【詳解】由題，是邊上的點(diǎn)，且，
，
∴
故答案為：
16．已知函數(shù)（，）的圖象與軸的交點(diǎn)為，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)結(jié)合求得，然后求出在坐標(biāo)原點(diǎn)兩側(cè)最接近0的兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意列不等式求解即可.
【詳解】由題意知，則.因?yàn)?，所以，所?
令，得，令，得，
所以在坐標(biāo)原點(diǎn)兩側(cè)最接近0的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，
由題意且，解得，即的取值范圍是.
故答案為：
四、問答題
17．已知.
(1)求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，求在區(qū)間的值域.
【答案】(1)；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得，利用余弦函數(shù)的周期公式可求的最小正周期，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求其單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由已知利用三角函數(shù)的圖象變換可求，由題意利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的值域．
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
則，所以的最小正周期為，
由，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可得，
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到圖像，
所以
當(dāng)時(shí)，，
則，故，
即，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
五、計(jì)算題
18．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可;（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.
【詳解】（1））設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕?br>則，解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）
所以，
則，
兩式相減，得
則.
六、問答題
19．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)設(shè)D是AB邊上靠近A的三等分點(diǎn)，，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，再利用正弦定理邊化角，借助同角公式計(jì)算作答.
（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.
【詳解】（1）在中，由得：，由正弦定理得，
而，即，則，又,
所以.
（2）依題意，，在中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面積.
七、證明題
20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E為的中點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)記的中點(diǎn)為N，若M在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)2或
【分析】（1）連接，由勾股定理證得，由等腰三角形得性質(zhì)證得，再結(jié)合線面垂直得判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，設(shè)，利用空間向量的夾角公式求出余弦值，進(jìn)而列出方程，解之即可.
【詳解】（1）連接，∵，，∴且
∴四邊形為平行四邊形；
∵且E為的中點(diǎn)，∴，
所以，
∴，∴，即，
又∵，∴平面
（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取
設(shè)，則，而，所以，
∵平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，
則
化簡得，解得：或，滿足
故線段的長度為2或．
21．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記的前n項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式整理可得，結(jié)合與的關(guān)系整理可得，利用常數(shù)列運(yùn)算求解；
（2）由（1）可得：，結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析證明.
【詳解】（1）由題意可知：數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為，
則，則，
當(dāng)時(shí)，則，
整理得，可知是常數(shù)列，
則，所以.
（2）由（1）可得：，
所以.
22．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：存在極值點(diǎn)，并求的最小值.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導(dǎo)數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則
令，得；令，得；
所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
（2）
令，因?yàn)椋?br>所以方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
又因?yàn)椋?，令，列表如?
所以存在極值點(diǎn).所以存在使得成立，
所以存在使得，
所以存在使得對任意的有解，
因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．
所以需要，即需要，
即需要，即需要
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
所以需要，
故的最小值是．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．

-
0
+
減
極小值
增