一、單選題
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則角的終邊在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】由對應(yīng)復(fù)平面的象限得出且，再結(jié)合三角函數(shù)的定義作出判斷.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以且
則角的終邊在第四象限
故選：D
2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程解的情況，結(jié)合子集關(guān)系，即可分類討論求解.
【詳解】由于，故時(shí)，則且，
若中只有一個(gè)元素，
①中的方程為一元二次方程，則，此時(shí),不合題意，舍去；
②中的方程為一元一次方程，則，則，則，此時(shí)不符合，舍去，
當(dāng)時(shí)，則符合題意，
綜上可知：或，
故選：D.
3．某高中在校學(xué)生2000人，高一年級與高二年級人數(shù)相同并都比高三年級多1人.為了響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動(dòng)”號召，學(xué)校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動(dòng).每人都參加而且只參與了其中一項(xiàng)比賽，各年級參與比賽人數(shù)情況如下表，其中，
全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，為了了解學(xué)生對本次活動(dòng)的滿意程度，從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二年級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽?。? ）
A．36人B．60人C．24人D．30人
【答案】A
【分析】先計(jì)算得全校參與跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，從而可計(jì)算處樣本參與跑步的人數(shù)，再利用分層抽樣比例計(jì)算得答案.
【詳解】由題意，全校參與跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，所以樣本參與跑步的人數(shù)為人，
則從高二年級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為人.
故選：A
4．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【分析】令，得到其為奇函數(shù)，從而，故，求出.
【詳解】，則，
令，定義域?yàn)椋?br>則，故為奇函數(shù)，
所以，
即，故.
故選：D
5．橢圓：的左右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于，的任意一點(diǎn)，且直線斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓的性質(zhì)求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡斜率的表達(dá)式，再利用已知條件，即可求解.
【詳解】由橢圓，可得，所以，
設(shè)，則，且，所以，
把代入上式，可得，
又因?yàn)橹本€斜率的取值范圍是，
所以直線斜率的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)，直線的斜率公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，著重考查了函數(shù)與方程思想，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6．“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增，得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0，從而求出，
由，但得到答案.
【詳解】若函數(shù)單調(diào)遞增，有恒成立，
可得，解得：，
因?yàn)?，但?br>所以“”是“函數(shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.
故選：B.
7．已知，，則
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由確定范圍，利用半角公式求解即可
【詳解】，，，，，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的求解，半角公式的使用，屬于基礎(chǔ)題
8．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思是：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第四天走了（ ）
A．24里B．48里C．96里D．192里
【答案】A
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式直接求解.
【詳解】設(shè)第天走的路程里數(shù)為，
因?yàn)閺牡诙炱?，每天走的路程為前一天的一半?br>所以是公比為的等比數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和為，
因?yàn)?天走完378里路，所以，
由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得，所以，
所以，
即第四天走了24里路.
故選：A.
二、多選題
9．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為是底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．圓錐的側(cè)面積為
B．圓錐的母線長為2
C．可能為等腰直角三角形
D．面積的最大值為
【答案】BD
【分析】由側(cè)面展開圖求得圓錐的母線長，得高，確定圓錐軸截面的頂角的大小，計(jì)算側(cè)面積，截面面積判斷各選項(xiàng)．
【詳解】設(shè)圓錐母線長為，由題意，，B正確；側(cè)面積為，A錯(cuò)，
顯然圓錐的軸截面是正三角形，頂角為，因此的頂角，不可能為直角三角形，C錯(cuò)；
軸截面面積為，因此面積的最大值為，D正確．
故選：BD．
10．設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
【答案】BC
【分析】設(shè)，利用焦半徑公式求出，進(jìn)而求出，并結(jié)合，求出，即可判斷A；求出三點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出向量，的坐標(biāo)， 即可判斷B；已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，且，利用斜率公式可得，即可判斷C；由，求出的面積，即可判斷D.
【詳解】
如圖，設(shè)，
，
，
，
又，
，即，
解得：；
故選項(xiàng)A不正確；
由上述分析可知，
又容易知，
則，，
故成立；
故選項(xiàng)B正確；
；
故選項(xiàng)C正確；
，
故選項(xiàng)D不正確；
故選：BC．
11．已知，分析該函數(shù)圖象的特征，若方程一根大于3，另一根小于2，則下列推理一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】方程根的問題等價(jià)于函數(shù)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)圖象進(jìn)行處理.
【詳解】由題得，函數(shù)的大致圖像如圖：
方程一定有兩實(shí)數(shù)根，故 ，
所以不一定成立，
由圖可知：必有，，所以C，D一定成立，
若，方程的根為，
此時(shí)，所以此時(shí)不成立.
故選：CD.
12．從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．2個(gè)球都是紅球的概率為
B．2個(gè)球不都是紅球的概率為
C．至少有1個(gè)紅球的概率為
D．2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算2個(gè)球都是紅球的概率，判斷A;利用對立事件的概率計(jì)算方法求得2個(gè)球不都是紅球的概率，判斷B;根據(jù)對立事件的概率計(jì)算判斷C;根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算可判斷D.
【詳解】設(shè)“從甲袋中摸出一個(gè)紅球”為事件，從“乙袋中摸出一個(gè)紅球”為事件，
則，，
對于A選項(xiàng)，2個(gè)球都是紅球?yàn)?，其概率為，故A選項(xiàng)正確，
對于B選項(xiàng)，“2個(gè)球不都是紅球”是“2個(gè)球都是紅球”的對立事件，其概率為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對于C選項(xiàng)，2個(gè)球至少有一個(gè)紅球的概率為，故C選項(xiàng)正確，
對于D選項(xiàng)，2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為，故D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
三、填空題
13．向量，滿足，，，則 .
【答案】
【分析】由題設(shè)條件可得，，，聯(lián)立可得，即，即可得解.
【詳解】由題意，，，
，，
，
.
故答案為：.
14．一個(gè)正四棱臺斜高是12cm，側(cè)棱的長是13cm，側(cè)面積是720cm2，則它的高是 ．
【答案】
【分析】作出圖形，利用側(cè)棱，斜高可得上下底邊長之差，再利用側(cè)面積列方程得到底邊長， 最后利用直角三角形求高 ．
【詳解】解：如圖，在中，,，
可得，
設(shè)，
則，
得，
在中，
，，
可得，
即四棱臺的高為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查了四棱臺側(cè)棱，斜高，底邊，高之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
15．在平面直角坐標(biāo)系中,直線與圓相交于,兩點(diǎn),則弦的長等于 .
【答案】
【解析】因?yàn)閳A,可得其圓心為:,半徑,求出圓心到直線的距離,畫出幾何圖形,利用勾股定理,即可求得答案.
【詳解】連接,過作垂直,
根據(jù)題意畫出幾何圖形:
圓,
可得其圓心為:,半徑,
設(shè)圓心到直線的距離為
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得:
在中,根據(jù)勾股定理可得:

故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查了求圓的弦長,解題關(guān)鍵是掌握圓的基礎(chǔ)知識和點(diǎn)到直線距離公式,畫出圖形,數(shù)形結(jié)合,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
16．若 中，，則的形狀為 .
【答案】直角三角形
【分析】三角形的內(nèi)角關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正弦即可.
【詳解】中，，
已知等式變形得：，即，
整理得：
，即，
或（不合題意，舍去），
又
，
則此三角形為直角三角形．
故答案為：直角三角形
四、解答題
17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求面積的最大值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理與三角恒等變換求得A的值；
（Ⅱ）的面積，由余弦定理及均值不等式即可得到bc的最值.
【詳解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，
∵ ，∴，
∵∴，∵∴.
（Ⅱ）的面積，
由及余弦定理得，
又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
∴面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問題，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
18．?dāng)?shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，，是方程的兩實(shí)數(shù)根；
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）將看成一個(gè)整體，利用一元二次方程的解法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）先利用對數(shù)恒等式解得，再利用等比數(shù)列求和即可得出．
【詳解】（1），
∴或4，
，，
又是遞增的等差數(shù)列，
所以， ，公差d=，所以.
（2），
.
【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與二次的復(fù)合方程的解法、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
五、作圖題
19．隨著醫(yī)院對看病掛號的改革，網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門的就診方式，這解決了看病期間病人插隊(duì)以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題；某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預(yù)約掛號的了解情況作出調(diào)查，并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖，如下所示.
（1）若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人，求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)；
（2）若按分層抽樣的方法從年齡在以及內(nèi)的市民中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)研，記隨機(jī)抽取的3人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）250；（2）詳見解析.
【解析】（1）先求出年齡在40歲以上（含40歲）的市民的頻率，然后根據(jù)比例關(guān)系可得人數(shù)；
（2）先確定的可能取值，然后分別求解概率，可得分布列和期望.
【詳解】（1）依題意，所求人數(shù)為.
（2）依題意，年齡在以內(nèi)及以內(nèi)的人中分別抽取6人和4人；
故的可能取值為0,1,2,3；
，，，；
故的分布列為：
故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，明確隨機(jī)變量的可能取值及概率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)處理的核心素養(yǎng).
六、證明題
20．如圖，在多面體中，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，，分別是棱的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直證明，利用余弦定理和勾股定理證明，可證得平面；
（2），利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以?br>因?yàn)?，且平面，，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)?，且?br>由余弦定理，
所以，所以.
因?yàn)槠矫?，且，所以平?
（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且平面.
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn) ，所以，則.
由（1）可知，則.
因?yàn)?，所以?.
因?yàn)?，由余弦定?
因?yàn)椋?，則，
故的面積為.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋?，解?
所以點(diǎn)到平面的距離為.
七、解答題
21．已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可知得，且，再結(jié)合求出，進(jìn)而可得雙曲線的方程；
（2）由題意可得直線的方程為，設(shè)，然后將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）由雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.
得，且，又，
解得,
所以，
所以雙曲線方程為.
（2）由（1）可知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，
設(shè)，
由，得，
所以，
所以.

22．已知函數(shù)（）．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若對任意，恒成立，求整數(shù)a的所有取值．
【答案】(1)函數(shù)在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù)；
(2).
【分析】（1）由題可得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的正負(fù)，即得；
（2）當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，可得整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)函數(shù)求最小值，進(jìn)而可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，故，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，故，
∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上也是減函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
令，因?yàn)椋?br>∴，又，，
∴整數(shù)；
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
，
設(shè)，則，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，
∴存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，?br>∴，又，
∴，
故整數(shù)，
綜上所述，整數(shù)a的所有取值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：
若在區(qū)間D上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
高一年級
高二年級
高三年級
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
0
1
2
3

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