1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]
4．（5分）把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4種B．6種C．21種D．35種
5．（5分）某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的兩漸近線所成的角可求離心率e的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線y=5x的離心率為（ ）
A．2B．2C．5D．5
6．（5分）△ABC中，AH為BC邊上的高且BH→=3HC→，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP→?BC→=-14BC→2，則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
7．（5分）若函數(shù)f（x）＝x3+bx2+cx+d滿足f（1﹣x）+f（1+x）＝0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集為（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
8．（5分）四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（ ）
A．逐步變大B．逐步變小
C．先變小后變大D．先變大后變小
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（5分）若X～N（μ，σ2），則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）
B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）
C．P（X＜μ+σ）不隨μ，σ的變化而變化
D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）隨μ，σ的變化而變化
（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3sinx﹣4csx．若f（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，則（ ）
A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβ
C．sinα＝﹣sinβD．csα＝﹣csβ
（多選）11．（5分）已知直線l的方程為（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O為原點(diǎn)，則（ ）
A．若OP≤2，則點(diǎn)P一定不在直線l上
B．若點(diǎn)P在直線l上，則OP≥2
C．直線l上存在定點(diǎn)P
D．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P總不在直線l上
（多選）12．（5分）如圖，圓柱OO'的底面半徑為1，高為2，矩形ABCD是其軸截面，過(guò)點(diǎn)A的平面α與圓柱底面所成的銳二面角為θ，平面α截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓Ω，截母線EF得點(diǎn)P，則（ ）
A．橢圓Ω的短軸長(zhǎng)為2
B．tanθ的最大值為2
C．橢圓Ω的離心率的最大值為22
D．EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）(2x+1x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是 （用數(shù)學(xué)填寫(xiě)答案）．
14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，則使f（x）在(-π2，π2)上為增函數(shù)的ω的值可以為 （寫(xiě)出一個(gè)即可）．
15．（5分）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異．若離散型隨機(jī)變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，?，n}（n∈N*），則X，Y的散度D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，則D（X||Y）的取值范圍是 ．
16．（5分）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則an+1an= （用q表示）；若a2+b2＝24，則a5＝ ．
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．
（1）判斷數(shù)列{an﹣2n﹣1}是否是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿足AP⊥CP，∠APB=2π3．
（1）若AP＝PC，求△ABC的面積；
（2）若BC=7，求AP．
19．（12分）為深入貫徹黨的教育方針，全面落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校從2022年起積極推進(jìn)勞動(dòng)課程改革，先后開(kāi)發(fā)開(kāi)設(shè)了具有地方特色的家政、烹飪、手工、園藝、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐類(lèi)校本課程．為調(diào)研學(xué)生對(duì)新開(kāi)設(shè)勞動(dòng)課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，該校從2022年1月到10月每?jī)蓚€(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程y?=b?x+a?，并預(yù)測(cè)12月份該校全體學(xué)生中對(duì)勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)；
（2）10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，了解不同性別的學(xué)生對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)？參考公式：b?=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a?=y-b?x．
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱錐P﹣ABCD的體積為4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
21．（12分）如圖，已知橢圓x24+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O平行于AC的直線與橢圓交于點(diǎn)M，N，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，直線OD與橢圓交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P，C，M在x軸的上方．
（1）當(dāng)|AC|=5時(shí)，求cs∠POM；
（2）求|PQ|?|MN|的最大值．
22．（12分）已知函數(shù)f(x)=x+1ex．
（1）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，求函數(shù)g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；
（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求證：|x1-x2|＞21-t．
2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市、南京市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【解答】解：如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有a3+a9＝2a6，
反之a(chǎn)3+a9＝2a6成立，不一定有數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
所以“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件．
故選：B．
2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【解答】解：z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，S＝4π．
故選：D．
3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．{1}B．（﹣∞，1）C．[1，2]D．（﹣∞，2]
【解答】解：若a＞1，則A={x|x-1x-a＜0}=（1，a），結(jié)合A∩N*＝?，得1＜a≤2；
若a＝1，則A＝?，滿足A∩N*＝?；
若a＜1，則A={x|x-1x-a＜0}=（a，1），滿足A∩N*＝?．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，2]．
故選：D．
4．（5分）把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4種B．6種C．21種D．35種
【解答】解：利用隔板法：由題可知使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有C42=6種．
故選：B．
5．（5分）某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的兩漸近線所成的角可求離心率e的大小，聯(lián)想到反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象也是雙曲線，據(jù)此可進(jìn)一步推斷雙曲線y=5x的離心率為（ ）
A．2B．2C．5D．5
【解答】解：由題意，雙曲線y=5x兩漸近線為x軸和y軸，互相垂直，
故為等軸雙曲線，離心率為2．
故選：A．
6．（5分）△ABC中，AH為BC邊上的高且BH→=3HC→，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP→?BC→=-14BC→2，則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
【解答】解：設(shè)|BC|＝4a，|AH|＝b，
以H為原點(diǎn)，HC→、HA→方向?yàn)閤、y軸正方向如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)锽H→=3HC→，
所以|BH|＝3a，|HC|＝a，
則H（0，0），B（﹣3a，0），C（a，0），A（0，b），
則BC→=(4a，0)，
設(shè)P（x，y），
則AP→=(x，y-b)，
∵AP→?BC→=-14BC→2，
∴4ax=-14(4a)2，
即x＝﹣a，
即點(diǎn)P的軌跡方程為x＝﹣a，
而直線x＝﹣a平分線段BC，
即點(diǎn)P的軌跡為線段BC的垂直平分線，
根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的外心，
故選：A．
7．（5分）若函數(shù)f（x）＝x3+bx2+cx+d滿足f（1﹣x）+f（1+x）＝0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集為（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）
C．（﹣4，0）D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）
【解答】解：由f（1﹣x）+f（1+x）＝0，
對(duì)上式求導(dǎo)可得﹣f'（1﹣x）+f'（1+x）＝0，
即f'（1+x）＝f'（1﹣x），所以f'（x）關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)閒'（x）＝3x2+2bx+c，
所以f'（x）圖像的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，
由f'（2x+3）＜f'（x﹣1），
得|2x+3﹣1|＜|x﹣1﹣1|，
解得﹣4＜x＜0．
故選：C．
8．（5分）四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（ ）
A．逐步變大B．逐步變小
C．先變小后變大D．先變大后變小
【解答】解：由題可知初始時(shí)刻ED與BF所成角為0，故B，C錯(cuò)誤，
在四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，F(xiàn)C?平面DFC，
所以EF⊥平面DFC，EF?平面EFCB，
所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE內(nèi)的投影P一直落在直線CF上，
所以一定存在某一時(shí)刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE?平面DPE，
所以BF⊥平面DPE，此時(shí)DE與BF所成角為π2，然后α開(kāi)始變小，
故直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中先變大后變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（5分）若X～N（μ，σ2），則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）
B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）
C．P（X＜μ+σ）不隨μ，σ的變化而變化
D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）隨μ，σ的變化而變化
【解答】解：對(duì)于A、B：根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得出P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）與P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、D：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得出P（X＜μ+σ）與P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）都不隨μ，σ的變化而變化，表示的概率為定值，故C正確，D錯(cuò)誤；
綜上：選項(xiàng)A、C正確．
故選：AC．
（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3sinx﹣4csx．若f（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，則（ ）
A．tanα＝﹣tanβB．tanα＝tanβ
C．sinα＝﹣sinβD．csα＝﹣csβ
【解答】解：已知f（x）＝3sinx﹣4csx＝5sin（x﹣φ），
其中sinφ=45，csφ=35，
因?yàn)閒（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，
所以α=φ+π2+2k1π，β=φ-π2+2k2π，k1、k2∈Z，
可得α﹣β＝π+2（k1+k2）π，
因?yàn)閗1、k2∈Z，
所以k1+k2∈Z，
不妨設(shè)k＝k1+k2，
此時(shí)α﹣β＝π+2kπ，k∈Z，
所以α＝β+π+2kπ，tanα＝tan（β+π+2kπ）＝tanβ，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
而sinα＝sin（β+π+2kπ）＝﹣sinβ，故選項(xiàng)C正確；
又csα＝cs（β+π+2kπ）＝﹣csβ，故選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
（多選）11．（5分）已知直線l的方程為（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O為原點(diǎn)，則（ ）
A．若OP≤2，則點(diǎn)P一定不在直線l上
B．若點(diǎn)P在直線l上，則OP≥2
C．直線l上存在定點(diǎn)P
D．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P總不在直線l上
【解答】解：O到l的距離d=2(1+a2)(a2-1)2+4a2=2，
若OP≤2，則點(diǎn)P有可能在直線l上，A錯(cuò)誤；
由O到l的距離d=2(1+a2)(a2-1)2+4a2=2可知，若點(diǎn)P在直線l上，則OP≥2，B正確；
原直線可變形為a2（x+2）﹣a?2y+2﹣x＝0，
令x+2=02y=02-x=0，此時(shí)無(wú)解，即直線l不過(guò)定點(diǎn)，一定存在無(wú)數(shù)個(gè)P不在直線l上，C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD．
（多選）12．（5分）如圖，圓柱OO'的底面半徑為1，高為2，矩形ABCD是其軸截面，過(guò)點(diǎn)A的平面α與圓柱底面所成的銳二面角為θ，平面α截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓Ω，截母線EF得點(diǎn)P，則（ ）
A．橢圓Ω的短軸長(zhǎng)為2
B．tanθ的最大值為2
C．橢圓Ω的離心率的最大值為22
D．EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ
【解答】解：橢圓Ω在底面上的投影為底面圓O，所以短軸長(zhǎng)為底面圓直徑，即為2，故A正確；
當(dāng)平面α過(guò)AC時(shí)，tanθ的最大值為tan∠CAB＝1，故B錯(cuò)誤；
橢圓短軸長(zhǎng)為定值2，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)最長(zhǎng)為AC時(shí)，離心率最大為22，故C正確；
過(guò)E作橢圓Ω所在平面和底面的交線垂線，垂足為G，連接AE，設(shè)則∠AOE＝α，
由題意可得AO⊥AG，由余弦定理可得AE=AO2+OE2-2AO?OE?csα=2-2csα，
由∠GAE=π2-∠OAE=π2-π-α2=α2，
則EG=AE?sin∠GAE=AE?sinα2=(2-2csα)?sin2α2=(2-2csα)?1-csα2=1-csα，
由題意可得∠PGE＝θ，PE⊥GE，
所以EP＝（1﹣cs∠AOE）tanθ，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13．（5分）(2x+1x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是 80 （用數(shù)學(xué)填寫(xiě)答案）．
【解答】解：Tr+1=?5r(2x)5-r(1x)r=25﹣r?5rx5﹣2r，令5﹣2r＝3，解得r＝1．
∴x3的系數(shù)是24??51=80．
故答案為：80．
14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，則使f（x）在(-π2，π2)上為增函數(shù)的ω的值可以為 13（答案不唯一，滿足ω∈(0，13]即可） （寫(xiě)出一個(gè)即可）．
【解答】解：f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，
令-π2+2kπ≤ωx+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得2kπ-5π6ω≤x≤2kπ+π6ω，k∈Z，
即函數(shù)f（x）在[2kπ-5π6ω，2kπ+π6ω]，k∈Z上單調(diào)遞增，
而函數(shù)f（x）在(-π2，π2)上為增函數(shù)，
令2kπ-5π6ω≤02kπ+π6ω≥0，∵ω＞0，解得-112≤k≤512，
∵k∈Z，則k取0，
此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增為[-5π6ω，π6ω]，
則(-π2，π2)?[-5π6ω，π6ω]，
則-π2≥-5π6ωπ2≤π6ω，解得ω≤13，
則使f（x）在(-π2，π2)上為增函數(shù)的ω的值的范圍為(0，13]，
故答案為：13（答案不唯一，滿足ω∈(0，13]即可）．
15．（5分）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異．若離散型隨機(jī)變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，?，n}（n∈N*），則X，Y的散度D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，則D（X||Y）的取值范圍是 [0，+∞） ．
【解答】解：根據(jù)已知公式D(X||Y)=i=0n P(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)，
得D(X||Y)=12ln12(1-p)+12ln12p=12ln14p(1-p)，4p（1﹣p）＝﹣4p2+4p，
令y＝﹣4p2+4p，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為p=12，
∴﹣4p2+4p在0＜p＜1上，0＜﹣4p2+4p≤1，
則14p(1-p)≥1，
則D(X||Y)=12ln14p(1-p)≥0，
故答案為：[0，+∞）．
16．（5分）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則an+1an= q2 （用q表示）；若a2+b2＝24，則a5＝ 1024 ．
【解答】解：當(dāng)n＝2k﹣1時(shí)，bn=an+12，即ak＝b2k﹣1，k∈N*，
則an+1an=b2n+1b2n-1，
∵{bn}是公比為q的等比數(shù)列，∴b2n+1b2n-1=q2，即an+1an=q2；
∵q2＞0，∴{an}中的項(xiàng)同號(hào)，當(dāng)n＝2k時(shí)，bn=an+1，∴an+1≥0，
則{an}中的項(xiàng)都為正，即an＞0，
∴bn=an+12＞0，∴q＞0，∵bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k，∴a2＝b3，∴a2+b2＝b2+b3＝24，∴b1q（1+q）＝24，
∵bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k，∴a3=b2，b5=a3，∴b22=b5，即b12q2=b1q4，∴b1=q2，
∴q3（1+q）＝24，q4﹣16+q3﹣8＝0，
解得q＝2，∴a5=b42=q10=1024．
故答案為：q2；1024．
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．
（1）判斷數(shù)列{an﹣2n﹣1}是否是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．
【解答】解：（1）由于a1﹣2﹣1＝0，
故數(shù)列{an﹣2n﹣1}不是等比數(shù)列．
∵an+1＝3an﹣4n，
∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3an﹣4n﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），
同理an﹣2n﹣1＝3[an﹣1﹣2（n﹣1）﹣1]???a2﹣2×2﹣1＝3（a1﹣2×1﹣1）＝0，
迭代得an+1-2(n+1)-1=3n(a1-2×1-1)=0，即an+1＝2n+3，
所以an＝2n+1．
（2）bn=(2n-1)2nanan+1=(2n-1)2n(2n+1)(2n+3)=2n+12n+3-2n2n+1，
所以Sn=(2n+12n+3-2n2n+1)+(2n2n+1-2n-12n-1)?+(87-45)+(45-23)=2n+12n+3-23．
18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿足AP⊥CP，∠APB=2π3．
（1）若AP＝PC，求△ABC的面積；
（2）若BC=7，求AP．
【解答】解：（1）在△APC中，∵AP⊥CP，AP＝PC，∴∠CAP=π4，
∵AC＝2，∴AP＝PC=2，
∵∠BAC=π3，∴∠BAP=π12，
在△APB中，∠APB=2π3，∠BAP=π12，則∠ABP=π4，
由正弦定理得，ABsin2π3=APsinπ4，∴AB=2×32×22=3，
∴△ABC的面積為12AB?AC?sin∠BAC=12×3×2×32=32；
（2）在△ABC中，由余弦定理得7＝4+AB2﹣2AB，即AB2﹣2AB﹣3＝0，∵AB＞0，∴AB＝3，
設(shè)∠CAP＝α，則AP＝2csα，
在△APB中，∠BAP=π3-α，∠ABP＝π-2π3-（π3-α）＝α，
由正弦定理得，ABsin2π3=APsinα，∴3csα＝3sinα，∵tanα=33，
∵α∈（0，π3），∴α=π6，
∴AP＝2×32=3．
19．（12分）為深入貫徹黨的教育方針，全面落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校從2022年起積極推進(jìn)勞動(dòng)課程改革，先后開(kāi)發(fā)開(kāi)設(shè)了具有地方特色的家政、烹飪、手工、園藝、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐類(lèi)校本課程．為調(diào)研學(xué)生對(duì)新開(kāi)設(shè)勞動(dòng)課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，該校從2022年1月到10月每?jī)蓚€(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程y?=b?x+a?，并預(yù)測(cè)12月份該校全體學(xué)生中對(duì)勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)；
（2）10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，了解不同性別的學(xué)生對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如統(tǒng)計(jì)表：
請(qǐng)根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)？參考公式：b?=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx2=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2，a?=y-b?x．
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由題意可得x=6，y=(80+95+100+105+120)÷5=100，
則i=15(xi-x)(yi-y)=(2-6)×(80-100)+(4-6)×(95-100)+(6-6)×(100-100)+（8﹣6）×（105﹣100）+（10﹣6）×（120﹣100）＝180，i=15 (xi-x)2=(2-6)2+(4-6)2+(6-6)2+(8-6)2+(10-6)2=40，
可得b?=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2=18040=92，a?=100-92×6=73，
故y關(guān)于x的回歸直線方程為y?=92x+73，
令x＝12，得y?=127，
據(jù)此預(yù)測(cè)12月份該校全體學(xué)生中對(duì)勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)為3000×127150=2540人；
（2）提出假設(shè)H0：該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意無(wú)關(guān)，
則K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=150(65×20-55×10)2120×30×75×75=256≈4.17，
因?yàn)镻（K2≥3.841）＝0.05，而4.17＞3.841，
故有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對(duì)勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)．
20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱錐P﹣ABCD的體積為4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：設(shè)AC∩BD＝O，在平面PAC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PO，垂足為H，
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，
所以AH⊥平面PBD，
又BD?平面PBD，所以BD⊥AH，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，
因?yàn)锽D⊥AH，PA∩AH＝A，PA?平面PAC，AH?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC；
（2）在△ABD中，由AB＝AD＝2，AB⊥AD，可得BD=22，∠DAC=π4，
由（1）知BD⊥AC，則VP-ABCD=13SABCD×PA=13×12×22×AC×2=4，
解得AC=32，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以AP，AB，AD兩兩垂直，
以AP，AB，AD為z，x，y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
所以A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（3，3，0），P（0，0，2），
所以PD→=(0，2，-2)，PC→=(3，3，-2)，
易知平面PAD的一個(gè)法向量為n→=(1，0，0)，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為m→=(x，y，z)，
則PD→?m→=2y-2z=0PC→?m→=3x+3y-2z=0，取m→=(-1，3，3)，
所以cs?n→，m→?=n→?m→|n→||m→|=-11×19=-1919，
所以平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值為1919．
21．（12分）如圖，已知橢圓x24+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O平行于AC的直線與橢圓交于點(diǎn)M，N，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，直線OD與橢圓交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P，C，M在x軸的上方．
（1）當(dāng)|AC|=5時(shí)，求cs∠POM；
（2）求|PQ|?|MN|的最大值．
【解答】解：（1）由題知A（﹣2，0），設(shè)C（x0，y0），則D(x0-22，y02)，
則kAC?kOD=y0x0+2?y0x0-2=1-14x02x02-4=-14．
因?yàn)閨AC|=5，所以C在圓（x+2）2+y2＝5上，
又C在橢圓x24+y2=1上，
所以C（x0，y0）滿足(x+2)2+y2=5x24+y2=1，所以(x+2)2+1-x24=5，34x2+4x=0，所以x0＝0或x0=-163＜-2（舍去），
又C在x軸上方，所以C（0，1），
所以直線AC的斜率為12，故直線OD的斜率為-12，
所以直線AC與直線OD關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
設(shè)直線AC的傾斜角θ，cs∠POM=cs2(π2-θ)=-cs2θ=sin2θ-cs2θ=sin2θ-cs2θsin2θ+cs2θ=tan2θ-1tan2θ+1=-35
（2）當(dāng)直線MN斜率為k，k＞0，
則直線MN：y＝kx，直線PQ：y=-14kx，
所以M（x1，y1），N（x2，y2）滿足y=kxx24+y2=1，
所以(4k2+1)x2=4，x2=44k2+1，
所以|MN|2=(1+k2)164k2+1，
同理，|PQ|2＝（1+1(4k)2）×161+4×(-14k)2=4(1+16k2)4k2+1，
所以|MN|2?|PQ|2=16(4k2+4)(16k2+1)(4k2+1)2≤16(4k2+4+16k2+12)2(4k2+1)2=4(20k2+5)2(4k2+1)2=100，
所以|MN|?|PQ|≤10，當(dāng)且僅當(dāng)4k2+4＝16k2+1，即k≤12時(shí)取“＝”，
所以|PQ|?|MN|的最大值為10．
22．（12分）已知函數(shù)f(x)=x+1ex．
（1）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，求函數(shù)g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；
（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求證：|x1-x2|＞21-t．
【解答】解：（1）由題意可得g'(x)=-xex+2x=x(2ex-1)ex，
令f'（x）＝0，則x＝0或x＝﹣ln2，
列表如下：
當(dāng)x趨近于﹣1時(shí)，g（x）趨近于g（﹣1）＝0，g（0）＝0
所以g（x）min＝g（0）＝0．
（2）證明：由題意可得f'(x)=-xex，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f（x）max＝f（0）＝1，
因?yàn)閒（x1）＝f（x2），不妨設(shè)x1＜0＜x2，
因?yàn)閤2＞0時(shí)，f（x2）＞0，t＝f（x2）∈（0，1），
所以f（x1）＝f（x2）＞0，所以x1＞﹣1，
由（1）知x＞﹣1，且x≠0時(shí)，g（x）＝f（x）+x2﹣1＞0，所以f（x）＞1﹣x2，
則t=f(x1)＞1-x12，解得x1＜-1-t，t=f(x2)＞1-x22，解得x2＞1-t，
所以|x1-x2|=x2-x1＞21-t．X
0
1
P
12
12
Y
0
1
P
1﹣p
p
月份x
2
4
6
8
10
滿意人數(shù)y
80
95
100
105
120
滿意
不滿意
合計(jì)
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合計(jì)
120
30
150
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
0
1
P
12
12
Y
0
1
P
1﹣p
p
月份x
2
4
6
8
10
滿意人數(shù)y
80
95
100
105
120
滿意
不滿意
合計(jì)
男生
65
10
75
女生
55
20
75
合計(jì)
120
30
150
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
x
（﹣1，﹣ln2）
﹣ln2
（﹣ln2，0）
0
（0，+∞）
g'（x）
+
0
﹣
0
+
g（x）
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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