一、選擇題
1．已知,則( )
A.B.C.D.
2．已知,則( )
A.B.2C.D.
3．已知,是兩個(gè)不共線的向量,,,,則( )
A.B.C.D.
4．大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速v（單位：）可以表示為,其中O表示魚(yú)的耗氧量的單位數(shù).某條鮭魚(yú)想把游速提高,則它的耗氧量的單位數(shù)與原來(lái)的耗氧量的單位數(shù)之比是( )
A.3B.9C.27D.81
5．已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6．已知,,則( )
A.B.C.D.
7．某單位建造一間背面靠墻的小房,地面面積為,房屋正面每平方米的造價(jià)為1200元（包含門窗）,房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為800元,屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元.如果墻高為,且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用,則最低總造價(jià)是( )
A.57600元B.63400元C.69200元D.元
8．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,且滿足,,則C的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知數(shù)列,都是等比數(shù)列,則下列數(shù)列中一定是等比數(shù)列的是( )
A.B.C.D.
10．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,.過(guò)作其中一條漸近線的垂線,垂足為P.已知,直線的斜率為,則( )
A.B.
C.雙曲線的方程為D.
11．已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為1,E為AB的中點(diǎn),則( )
A.直線與直線為異面直線
B.平面
C.二面角的正弦值為
D.若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為
12．設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若與均為偶函數(shù),則下列說(shuō)法一定正確的是( )
A.的圖象關(guān)于對(duì)稱B.2為的一個(gè)周期
C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.為偶函數(shù)
三、填空題
13．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為,,母線長(zhǎng)為,則該圓臺(tái)的體積是____________.
14．已知直線與交于A,B兩點(diǎn),寫(xiě)出滿足“三角形ABO面積為2”的m的一個(gè)值___________.
15．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是____________.
四、雙空題
16．如圖所示,某小區(qū)有一半徑為,圓心角為的扇形空地.現(xiàn)欲對(duì)該地塊進(jìn)行改造,從弧AB上一點(diǎn)P向OB引垂線段PH從點(diǎn)H向OP引垂線段DH.在三角形OPH三邊修建步行道,則步行道長(zhǎng)度的最大值是_________m.在三角形ODH內(nèi)修建花圃,則花圃面積的最大值是______________.
五、解答題
17．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,.
(1)求;
(2)若,求.
18．在中,,.
(1)求A;
(2)若,M為AB的中點(diǎn),求的面積.
19．某集團(tuán)下屬公司在2023年的年初有資金5000萬(wàn)元,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),若將其全部投入生產(chǎn),該公司的每年資金年增長(zhǎng)率為.現(xiàn)集團(tuán)要求該公司從2023年開(kāi)始,每年年底上繳資金1000萬(wàn)元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底公司上繳資金后的剩余資金為萬(wàn)元.
(1)求;
(2)若第m（m為正整數(shù)）年年底公司的剩余資金超過(guò)30000萬(wàn)元,求m的最小值.
20．如圖,三棱錐中,所有棱長(zhǎng)均為6,E,G分別是BC,AB的中點(diǎn),F在CD上,H在AD上,且有.
(1)證明：直線EF,GH,BD相交于一點(diǎn);
(2)求直線FG與平面BCD所成角的正弦值.
21．設(shè),.
(1)求的最小值;
(2)若,,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22．在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線相切.
(1)求p的值;
(2)若點(diǎn)F為C的焦點(diǎn),點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P的兩條直線,分別與C相切,直線l與,分別相交于A,B,求證：.
參考答案
1．答案：B
解析：由,得或,則或,
又,所以,
故選：B.
2．答案：A
解析：因?yàn)?
所以.
故選：A.
3．答案：C
解析：因?yàn)?是兩個(gè)不共線的向量,設(shè),
則,
即,解得,
所以.
故選：C.
4．答案：D
解析：設(shè)鮭魚(yú)原來(lái)的游速為耗氧量的單位數(shù)為,現(xiàn)在的游速為耗氧量的單位數(shù)為,
由題意得：,即,
所以,
故選：D.
5．答案：D
解析：依題意,,恒成立,即,恒成立,則,
函數(shù)有意義,則,解得或,
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,
從而函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
6．答案：C
解析：由題意,解得或（舍去）,
從而,,
所以.
故選：C.
7．答案：B
解析：設(shè)房屋的正面邊長(zhǎng)為,側(cè)面邊長(zhǎng)為,總造價(jià)為z元,則,即,
所以
.
當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),z有最小值,最低總造價(jià)為63400元.
故選：B.
8．答案：D
解析：如圖,的圖象,則,,其中,
設(shè),,則,
,,,
因,得,
故,得,
由得,
得即,得
由,得,又,,
化簡(jiǎn)得,又橢圓離心率,
所以,得.
故選：D.
9．答案：AC
解析：設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為、,其中,,
對(duì)任意的,,,
對(duì)于A選項(xiàng),,即數(shù)列為等比數(shù)列,A滿足條件;
對(duì)于B選項(xiàng),不妨取,,則數(shù)列、都是等比數(shù)列,
但對(duì)任意的,,
故數(shù)列不是等比數(shù)列,不滿足條件;
對(duì)于C選項(xiàng),,故為等比數(shù)列,C滿足條件.
對(duì)于選項(xiàng),不妨取,,則數(shù)列、都是等比數(shù)列,
但當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列不是等比數(shù)列,D不滿足條件;
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：因?yàn)?不妨設(shè)漸近線方程為,即,
所以,所以,故A正確;
設(shè),因?yàn)榍?所以,
因?yàn)?所以,所以,
所以,所以,
所以,解得,
所以,則離心率,故B錯(cuò)誤,
所以雙曲線方程為：,故C正確,
,故D正確.
故選：ACD.
11．答案：ABD
解析：連接、交于點(diǎn)F,連接EF,則F為的中點(diǎn),
又E為AB的中點(diǎn),所以,平面,平面,
所以平面,故B正確;
又,EF,平面,所以與不平行且無(wú)公共點(diǎn),
所以直線與直線為異面直線,故A正確;
取的中點(diǎn)D,連接ED,則,又平面ABC,則平面ABC,又,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則,取,
又平面ACE的法向量可以為,
設(shè)二面角為,顯然為銳二面角,
則,所以,
即二面角的正弦值為,故C錯(cuò)誤;
外接圓的半徑,
所以正三棱柱外接球的半徑,
所以該球的表面積,故D正確.
故選：ABD.
12．答案：ABC
解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù),則的圖象關(guān)于對(duì)稱,則,故A正確;
因?yàn)闉榕己瘮?shù),則的圖象關(guān)于對(duì)稱,則,
所以,即,
所以2為的一個(gè)周期,故B正確;
因?yàn)?為的一個(gè)周期,則,
又,所以,
所以,即,
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱,故C正確;
由,得,
所以,則為奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
13．答案：
解析：依題意,圓臺(tái)的高,
所以圓臺(tái)的體積為.
故答案為：
14．答案：1(或-1)
解析：直線過(guò)定點(diǎn),點(diǎn)也在上,故可設(shè),
,三角形ABO面積為2,則點(diǎn)B到x軸的距離為2,
點(diǎn)B在上,則有或,代入直線方程解得或.
故答案為：1(或-1)
15．答案：
解析：函數(shù)的零點(diǎn),即方程的根,
當(dāng)時(shí),有,方程在區(qū)間有且僅有3個(gè)根,
則,解得,即的取值范圍是
故答案為：.
16．答案：;
解析：依題意,設(shè),則,
因此的周長(zhǎng),
顯然,于是當(dāng),即時(shí),取等號(hào),
所以步行道長(zhǎng)度的最大值是;
由于,得,
因此的面積,
令,求導(dǎo)得,
而,則當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞減,
于是當(dāng),即時(shí),,
所以花圃面積的最大值.
故答案為：;
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）因?yàn)?
當(dāng)時(shí),,所以（舍）或.
當(dāng)時(shí),,,
兩式相減得：,
,
,
因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列,所以,,即,
所以是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.
所以.
（2）由（1）可知,是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
所以.
所以.
.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）在中,,,
則,
,
,
即,即,
則,
又,
則;
（2）因?yàn)?,所以,
所以,在中,
即,解得（負(fù)值舍去）,
所以.
19．答案：(1)
(2)5
解析：（1）由已知可得,且,,
則,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
所以,
;
（2）由（1）得,
所以,,
即,,
設(shè),,且單調(diào)遞增,
又,,
所以的解集為,
所以m的最小值為5.
20．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：（1）連接GE、HF,因?yàn)镋,G分別是BC,AB的中點(diǎn),所以且
又,所以且,
所以且,
所以H,F,G,E四點(diǎn)共面,EF與GH相交,設(shè)交點(diǎn)為P.
因?yàn)?平面BCD,所以平面BCD,
同理可得平面ABD,
因?yàn)槠矫嫫矫?
所以,
所以直線EF,GH,BD相交于一點(diǎn).
（2）因?yàn)槿忮F中所有棱長(zhǎng)均為6,
連接AE,DE,則,,AE,平面AED,
故平面AED,而平面BCD,故平面平面BCD,
在平面AED內(nèi)過(guò)E作直線z垂直于DE,
因?yàn)槠矫嫫矫?則平面BCD,
以BC,DE所在的直線為x,y,以直線z為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
因?yàn)镕在CD上且,
所以,
所以,則,
平面BCD的法向量可以為,
所以,
則直線FG與平面BCD所成角的正弦值為.
21．答案：(1)
(2)
解析：（1）,
,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?
又,
令,得,即,
當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增.
時(shí)取得極小值即最小值,即.
（2）設(shè),,
則,又,則,
令,,則,
當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,
所以,即,
所以在上單調(diào)遞減,
則,即,
當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增,
所以,即,
所以在上單調(diào)遞增,
則,即,不符合題意,故舍去;
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,所以在上單調(diào)遞增,
所以,即,
所以在上單調(diào)遞增,則,即,不符合題意,故舍去;
綜上可得.
22．答案：(1)2;
(2)證明見(jiàn)解析.
解析：（1）
因?yàn)橹本€與拋物線相切,
所以,解得或（舍）,
故p的值為2.
（2）證明：由（1）可知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為.
設(shè)準(zhǔn)線上一點(diǎn),
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P的兩條直線,分別與C相切,所以直線,斜率均不為零,
故設(shè)過(guò)點(diǎn)的兩條直線,的方程分別為,.
,即A點(diǎn)坐標(biāo)為
同理,B點(diǎn)坐標(biāo)為.
所以,.
聯(lián)立,可得
因?yàn)?與C相切,所以,即,
且,為方程的兩根,
根據(jù)韋達(dá)定理,則有.
所以
所以,即.

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