2024.1
注意事項：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)城內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
3.本試卷命題范圍：高考范圍.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1.設(shè)全集，集合，則（ ）
A. B.
C. D.
2.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知雙曲線的焦距為，點在的漸近線上，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.下列可能是函數(shù)的圖象的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，過圓錐高的中點且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺體積是（ ）
A. B. C. D.
6.記函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（ ）
A. B. C.1 D.3
7.甲?乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，則在這個問題已被正確解答的條件下，甲?乙兩位同學都能正確解答該問題的概率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知直線與是曲線的兩條切線，則（ ）
A. B. C.4 D.無法確定
二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.已知向量，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.當時，與的夾角為銳角
D.若，則與的夾角的余弦值為
10.若一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，極差為，中位數(shù)為，方差為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，極差為，中位數(shù)為，方差為，則下列判斷一定正確的是（ ）
A. B.
C. D.
11.設(shè)為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，為的準線，則（ ）
A. B.
C.以為直徑的圓與相切 D.為等腰三角形
12.同學們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實上，這些曲線在數(shù)學上常常被稱為懸鏈線，懸鏈線的相關(guān)理論在工程?航海?光學等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當?shù)淖鴺讼抵校@類函數(shù)的表達式可以為（其中是非零常數(shù)，無理數(shù)2.），對于函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（ ）
A.是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件
B.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件
C.如果，那么為單調(diào)函數(shù)
D.如果，那么函數(shù)存在極值點
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13.某班有48名學生，一次考試的數(shù)學成績（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績在上的學生人數(shù)為16，則成績在90分以上（不含90分）的學生人數(shù)為__________.
14.與兩坐標軸都相切，且圓心在直線上的圓的標準方程是__________.
15.“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”?“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有__________個.（用數(shù)字作答）
16.正方體的棱長為3，點分別在線段和線段上，且，點是正方形所在平面內(nèi)一動點，若平面，則點的軌跡在正方形內(nèi)的長度為__________.
四?解答題：本大題共6小題?共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.
17.（10分）
已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
18.（12分）
記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.
（1）求的值；
（2）若點在邊上，且，求.
19.（12分）
某中學對50名學生的“學習興趣”和“主動預(yù)習”情況進行長期調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）現(xiàn)從“學習興趣一般”的25名學生中，任取2人，用表示其中“會主動預(yù)習”的學生的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望；
（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“學習興趣”是否與“主動預(yù)習”有關(guān).
參考數(shù)據(jù)?附表及公式：.
20.（12分）
如圖，在五面體中，已知平面，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
21.（12分）
已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）是橢圓上的兩個動點（與點不重合），直線的斜率之和為4，作于.是否存在定點，使得為定值.若存在，求出定點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.
22.（12分）
已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當時，.
瓜州縣重點中學2023—2024學年度第一學期期末考試試卷·高三數(shù)學
參考答案?提示及評分細則
1.B 因為全集，集合，則.
2.D 因為，所以.
3.B 雙曲線的焦距為，點在的漸近線上，解得1，所以雙曲線方程為：.
4.C 函數(shù)定義域為，排除選項，當時，，排除選項.
5.A 根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為，半徑為，母線長為，若其側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則有解得：，則該圓錐的高，故該圓錐的體積，過圓錐高的中點且與底面平行的平面截此圓錐，將圓錐的體積分為的兩部分，則下部分圓臺體積占原來圓錐體積的，故所得的圓臺體積為.
6.C 函數(shù)的最小正周期為，則，由，得的圖象關(guān)于點中心對稱，，且，則，取，可得，則.
7.D 設(shè)事件表示“甲能解答該問題”，事件表示“乙能解答該問題”，事件表示“這個問題被解答”，則，故，所以在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學都能正確解答該問題的概率為：.
8.A 曲線的切線過時，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點為，則，切線，切線過，則.同理取，曲線為，設(shè)，直線在曲線上的切點為，切線過，，則.
9.ABD 對于A：若，因為，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：當時，，此時，所以與共線同向，故C錯誤；對于：若時，，則，所以，即與的夾角的余弦值為，故D正確.
10.AB ，因此平均數(shù)不變，故A正確；中最大值和最小值不變，極差不變，故B正確；如果原來是偶數(shù)個數(shù)，中位數(shù)是中間兩個數(shù)的均值，現(xiàn)在變成奇數(shù)個數(shù)，中位是中間的一個數(shù)，兩個中位數(shù)可能不相等，中位數(shù)可能改變，而方差為，故CD錯誤.
11.AC 直線過拋物線的焦點，可得，所以，所以正確；拋物線方程為：，與交于兩點，直線方程代入拋物線方程可得：，所以，所以不正確；的中點的橫坐標為，中點到拋物線的準線的距離為，所以以為直徑的圓與相切，所以正確；，不妨可得，所以不是等腰三角形，所以不正確.
12.BCD 對于選項，當時，函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，，故函數(shù)為偶函數(shù)；當函數(shù)為偶函數(shù)時，，故，即，又，故，所以是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件，故A選項錯誤；對于選項，當時，函數(shù)定義域為關(guān)于原點對稱，，故函數(shù)為奇函數(shù)，當函數(shù)為奇函數(shù)時，，因為，故.所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故B選項正確；對于選項，因為0，若，則恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，若，則恒成立，則為單調(diào)遞減函數(shù)，故時，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故C選項正確；對于選項，，令得，又，若，當，，函數(shù)單調(diào)遞減.當，函數(shù)單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.若，當，函數(shù)為單調(diào)遞增.當，函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值，所以函數(shù)存在極值點，故D選項正確.
13.8 由（單位：分）服從正態(tài)分布，知正態(tài)密度曲線的對稱軸為，成績在上的學生人數(shù)為16，由對稱性知成績在80分以上的學生人數(shù)為24人，所以90分以上的學生人數(shù)為.
14.或 由圓心在直線上，可設(shè)圓心為，由圓與兩坐標軸都相切，可得，解得，或.若，則圓心為，半徑為6，圓的方程為；若，則圓心為，半徑為2，圓的方程為.
15.225 依題意，只要確定萬?千?百位上的數(shù)字，該回文數(shù)即可確定，又有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)，則①萬位上是奇數(shù)，千位?百位上是偶數(shù)，有種；②萬位上是不為0的偶數(shù)，千位上是奇數(shù)?百位上是偶數(shù)，有種，故在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有個.
16. 如圖，在上取點，使得，在上取點，使得，連接.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，.由已知可得，，又，所以.又，所以四邊形為平行四邊形，所以，且.同理可得，，且.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面平面，所以平面.同理可得，面.因為平面平面，所以平面平面.又平面平面，所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，只有在線段上運動時，滿足條件.過點作，垂足為，易知，且，所以.
17.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，
是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以.
（2），
所以
.
18.解：（1）因為，所以.
（2）因為點在邊上，且，所以，又因為
.
所以在中，由余弦定理
，可得
.
19.解：（1）依題意，隨機變量，隨機變量的分布列為：
所以的數(shù)學期望是.
（2）提出零假設(shè)：假設(shè)“學習興趣”與“主動預(yù)習”無關(guān).
，
因此在犯錯率小于0.001的條件下，認為“學習興趣”與“主動預(yù)習”有關(guān).
20.（1）證明：分別取的中點，連接，
分別是的中點，，且，
又，且，
且，可得四邊形是平行四邊形，可知，
，
平面平面，
平面，
平面，結(jié)合，得平面，
又平面平面平面.
（2）解：由（1）知平面即，
以所在直線為軸?軸?軸，建立空間直角坐標
系，如圖所示，可得.
所以，設(shè)是平面的法向量，可得得，取，得是平面的一個法向量，
.
若與平面的所成角為，則，可得.
直線與平面的余弦值為.
21.解：（1）由題意可得解得橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓整理得：
，設(shè)，又，
則且，即，
，
直線可化為，即，
直線過定點.
又于，
為直角三角形，且斜邊，
存在的中點，使得.
22.（1）解：函數(shù)的定義域為，
記，則，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）證明：原不等式為，即，即證在上恒成立.
設(shè)，則，
所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
所以.
令，則，
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，
所以，所以.
且在上有所以可得到，即，
所以在時，有成立.
主動預(yù)習
不太主動預(yù)習
合計
學習興趣高
18
7
25
學習興趣一般
6
19
25
合計
24
26
50
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2

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