2023-2024學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題含答案

這是一份2023-2024學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題含答案，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題
1．直線的傾斜角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根據(jù)直線的斜率求得傾斜角.
【詳解】直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為.
故選：C
2．橢圓的焦點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而確定正確答案.
【詳解】橢圓的焦點在軸上，
，
所以焦點坐標(biāo)為.
故選：A
3．圓的圓心坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓心坐標(biāo).
【詳解】圓可化為，
所以圓心坐標(biāo)為.
故選：D
4．已知，且，則實數(shù)（ ）
A．B．5C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.
【詳解】由于，所以.
故選：A
5．直線與直線之間的距離是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.
【詳解】依題意，直線與直線之間的距離是：
.
故選：C
6．已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【答案】A
【分析】求出直線所過定點，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】已知直線，變形為，
由，即直線恒過定點，
代入圓的方程的左端有，即點在圓內(nèi)，
所以直線與圓相交，
故選：A
7．如圖，正方體的棱長為2，是的中點，則點到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
所以點到直線的距離為.
故選：D
8．已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三點共線來求得的取值范圍.
【詳解】依題意，，，，
，，
所以，當(dāng)位于線段與橢圓交點處時等號成立.
根據(jù)橢圓的定義可知，
如圖所示，設(shè)的延長線與橢圓相交于，
則當(dāng)位于時，取得最大值為，
綜上所述，的取值范圍為.
故選：B
【點睛】在橢圓中，求解橢圓上的點到焦點、定點的距離的和或差的最值，可以考慮通過橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點共線來確定最值.在解題過程中，要畫出對應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來進(jìn)行求解.
二、多選題
9．已知圓與圓關(guān)于直線l對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．B．圓與圓相交
C．直線的方程為D．直線l的方程為
【答案】BD
【分析】根據(jù)對稱性求得，然后根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
圓即，
根據(jù)對稱性可知，解得，所以A選項錯誤.
此時，圓心為，半徑.
，
由于，所以兩圓相交，B選項正確.
直線的方程，所以C選項錯誤.
線段中點坐標(biāo)為，直線斜率為，
所以直線l的方程為，所以D選項正確.
故選：BD
10．已知點分別是橢圓的兩個焦點，點在上，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為B．橢圓的離心率
C．面積的最大值為D．的最大值為
【答案】AD
【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、三角形面積、余弦定理、三角恒等變換等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】橢圓，，，
設(shè)，，則，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，
所以A選項正確.
橢圓的離心率，所以B選項錯誤.
由于為定值，所以當(dāng)位于橢圓的左右頂點時，
三角形的面積取得最大值為，所以C選項錯誤.
設(shè)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值為，
當(dāng)取得最小值時，取得最大值，此時為銳角，，
所以此時也取得最大值，且的最大值為，所以D選項正確.
故選：AD
11．已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與相交于點
B．直線和軸圍成的三角形的面積為
C．直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為
D．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為
【答案】AC
【分析】通過聯(lián)立方程組求得交點坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對稱性等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由解得，所以交點坐標(biāo)為，A選項正確.
直線與軸的交點為，與軸的交點為，
直線過原點，由圖可知，直線和軸圍成的三角形的面積為，
所以B選項錯誤.
由上述分析可知，直線關(guān)于原點O對稱的直線過點，
所以直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為，
所以C選項正確.
點關(guān)于直線的對稱點是；
點關(guān)于直線的對稱點是，
所以直線關(guān)于直線對稱的直線方程為，
即，所以D選項錯誤.
故選：AC
12．已知點在圓上，點在上，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為
B．的最大值為
C．過作圓的切線，切點分別為，則的最小值為
D．過P作直線，使得直線與直線的夾角為，設(shè)直線與直線的交點為，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、圓與圓的位置關(guān)系、弦長等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，直線和圓相離，
所以的最小值為，A選項正確.
由于是直線上任意一點，所以沒有最大值， B選項錯誤.
對于D選項，由于直線與直線的夾角為，
所以等于到直線的距離的倍，
所以的最大值為，D選項正確.
對于C選項，設(shè)，的中點為，
，
所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，
整理得，
由、兩式相減并化簡得，
即直線的方程為，
到直線的距離為，
所以，
對于函數(shù)，
所以恒成立，當(dāng)時，
取得最小值為，
所以，所以，
所以，所以C選項正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：求解直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)題目，主要的方法是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)圖象以及圓的幾何性質(zhì)來對問題進(jìn)行研究.求解圓與圓相交所得弦長，可利用兩個圓的方程相減來求得相交弦所在直線方程.
三、填空題
13．直線在軸上的截距為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)截距的知識求得正確答案.
【詳解】由，令，解得，
所以直線在軸上的截距為.
故答案為：
14．已知，則向量與的夾角為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.
【詳解】，
則為銳角，所以.
故答案為：
15．已知點是直線上的動點，點在線段上（是坐標(biāo)原點），且滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】（）
【分析】設(shè)出兩點的坐標(biāo)，由以及三點共線求得正確答案.
【詳解】設(shè)，設(shè)，依題意可知，
由于三點共線，所以，則，
由于，所以，
整理得（）.
故答案為：（）

16．已知橢圓的左，右頂點分別為，動點P在C上（異于點），點Q是弦的中點，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得的表達(dá)式，并利用三角恒等變換、基本不等式等知識求得的最大值.
【詳解】依題意，設(shè)，
根據(jù)橢圓的對稱性，以及題目所求“的最大值”，不妨設(shè)，
，則，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：

【點睛】在橢圓中，求解最值有關(guān)問題，如線段長度、面積、角度等量的最值，可考慮先求得其表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)選取合適的求最值的方法來進(jìn)行求解，如本題中，利用三角換元，然后結(jié)合基本不等式來求.還可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等知識來進(jìn)行求解.
四、解答題
17．已知的三個頂點，分別是的中點．
(1)求直線的一般式方程；
(2)求邊的垂直平分線的斜截式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程并轉(zhuǎn)化為一般式方程.
（2）求得垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得其斜截式方程.
【詳解】（1）由于分別是的中點，所以，
所以，直線的方程為，即.
（2），所以邊的垂直平分線的斜率為，
所以邊的垂直平分線的斜截式方程為.
18．如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．
(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法證明：．
【答案】(1)
(2)證明詳見解析
【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.
（2）通過證明來證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）連接，則
（2），
所以
，
所以.
19．已知圓的圓心在x軸上，且經(jīng)過和兩點．
(1)求圓的一般方程；
(2)求圓與圓的公共弦的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過求圓心和半徑來求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程.
（2）先求得公共弦所在直線方程，再結(jié)合點到直線的距離公式以及勾股定理求得公共弦長.
【詳解】（1）設(shè)，由得，解得，則，
，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為，
所以圓的一般方程為.
（2）圓即，圓心為，半徑為，
兩點的距離為，而，所以兩圓相交，
由、，
兩式相減并化簡得，
到直線的距離為，
所以公共弦長為.
20．已知橢圓的離心率是，且經(jīng)過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點的直線l與橢圓C相交于兩個不同的點，直線分別與軸相交于點，證明：線段的中點為定點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)直線求得兩點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而計算出線段的中點為定點．
【詳解】（1）依題意，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）依題意，過點的直線與橢圓C相交于兩個不同的點，
畫出圖象如下圖所示，由圖可知直線的斜率存在，且，
設(shè)直線的方程為，
由消去并化簡得，
，
設(shè)，則，
而，所以直線的方程為，令，解得，
同理可求得，
則
，
所以線段的中點為定點.

21．如圖，在幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別是，的中點，，平面ABC，．
(1)若，求證：平面；
(2)若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求直線DE與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取AC的中點O，連接OD，易證OD⊥平面ABC，然后以O(shè)為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，論證，即可；
（2）設(shè)，則，易知是平面ABC的一個法向量，再求得平面的一個法向量，由求得a，再利用線面角公式求解.
【詳解】（1）證明：取AC的中點O，連接OD，
∵D是的中點，∴，
∵平面ABC，∴平面ABC，
以O(shè)為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，平面，故平面；
（2）設(shè)，則，顯然是平面ABC的一個法向量，
設(shè)是平面的一個法向量，
則，∴，
取，則，，∴，
∴，
∴或，
①當(dāng)時，，
∴，，
∴，
∴直線DE與平面所成角的正弦值為；
②當(dāng)時，，
∴，，
∴，
∴直線DE與平面所成角的正弦值為．