1．（5分）方程（2x﹣3）2+（y+2）2＝0表示的曲線是（ ）
A．一個(gè)點(diǎn)B．兩條直線C．一個(gè)圓D．兩個(gè)點(diǎn)
2．（5分）把二進(jìn)制數(shù)111（2）化為十進(jìn)制數(shù)為（ ）
A．2B．4C．7D．8
3．（5分）甲、乙兩名同學(xué)12次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比乙同學(xué)高
B．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比乙同學(xué)低
C．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比甲同學(xué)高
D．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比甲同學(xué)低
4．（5分）來(lái)自澳大利亞的心理學(xué)家Michael White設(shè)計(jì)出了一種被人稱為“懷特錯(cuò)覺(jué)”的光學(xué)戲法．這類型的圖片只有三種顏色：黑、白、灰，但大多數(shù)人都會(huì)看到四種顏色．這是因?yàn)榛疑纳珘K嵌入了白色和黑色條紋中，從視覺(jué)上看，在所調(diào)查的100名調(diào)查者中，有55人認(rèn)為圖中有4種顏色，而在被調(diào)查者所列舉的顏色中，有40人沒(méi)有提到白色（他們認(rèn)為白色是背景顏色，不算在圖片顏色之中），估計(jì)在人群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率約為（ ）
A．0.45B．0.55C．0.05D．0.95
5．（5分）命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x＞1
B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1
D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
6．（5分）已知x，y的取值如下表所示：
如果y與x呈線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則b＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）如圖所示的算法框圖思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減相術(shù)”，執(zhí)行該算法框圖，若輸入的a、b分別為36、96（ ）
A．0B．8C．12D．24
8．（5分）從單詞“equatin”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有q、u（其中q、u相連）的不同排法共有（ ）
A．120種B．480種C．720種D．960種
9．（5分）已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且＝，＝，＝，用，，為（ ）
A．++B．﹣+
C．﹣++D．﹣+﹣
10．（5分）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）．在如圖第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率為（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知拋物線C：y2＝8x焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|＝（ ）
A．B．3C．D．4
12．（5分）若直線y＝x+b與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．[﹣2，2]
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（ ）
A．b＜﹣2 且 c＞0B．b＞﹣2 且 c＜0
C．b＜﹣2 且 c＝0D．b≥﹣2 且 c＝0
14．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），對(duì)?x1∈[﹣1，2]，?x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．[3，+∞）D．（0，3]
二、填空題（共6小題，每小題5分，本題共20分．請(qǐng)把正確答案填在答題卡中相應(yīng)題號(hào)的橫線上）
15．（5分）某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，則應(yīng)從高中生中抽取 人．
16．（5分）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是： ．（請(qǐng)用數(shù)字作答）
17．（5分）圓x2+y2﹣2x﹣5＝0與圓x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線方程為 ．
18．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點(diǎn)，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則異面直線MN與OD1所成角的余弦值為 ．
19．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2+y2＝a2相切，且∠F1PF2＝∠PF1F2，則雙曲線C的離心率為 ．
20．（5分）F1，F(xiàn)2分別是雙曲線＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)1F2的內(nèi)心，且＝﹣λ，則λ＝ ．
三、解答題（本大題共7小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
21．（10分）已知p：﹣2＜a＜2，q：關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）若q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，￢q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
22．（10分）求解下列問(wèn)題：
（1）求過(guò)直線x﹣y﹣5＝0與直線x+y﹣3＝0的交點(diǎn)，且與直線3x﹣4y+6＝0平行的直線方程；
（2）求以點(diǎn)（1，2）為圓心，與直線4x+3y﹣35＝0相切的圓的方程．
23．（10分）開(kāi)學(xué)初學(xué)校進(jìn)行了一次摸底考試，物理老師為了了解自己所教的班級(jí)參加本次考試的物理成績(jī)的情況，從參考的本班同學(xué)中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的物理成績(jī)（滿分100分），將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)赱50
（1）求n的值，并估計(jì)本班參考學(xué)生的平均成績(jī)；
（2）已知抽取的n名參考學(xué)生中，在[90，100]的人中，現(xiàn)從[90，100]的人中隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽
24．（10分）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：
（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）如果7月10號(hào)晝夜溫差為8°C，預(yù)測(cè)因患感冒而就診的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
25．（10分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．
26．（10分）已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)P，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)），若直線l的斜率為時(shí)上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若以A，B兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，則直線l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是
27．（10分）已知橢圓，四個(gè)點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y＝kx+m（m≠1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1，判斷直線l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
一、選擇題（共14小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）方程（2x﹣3）2+（y+2）2＝0表示的曲線是（ ）
A．一個(gè)點(diǎn)B．兩條直線C．一個(gè)圓D．兩個(gè)點(diǎn)
【分析】根據(jù)題意可得，解得x，y的值，即可得到答案．
【解答】解：由方程（2x﹣3）6+（y+2）2＝4，可得，
解得，
所以方程（2x﹣3）2+（y+5）2＝0表示點(diǎn)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）把二進(jìn)制數(shù)111（2）化為十進(jìn)制數(shù)為（ ）
A．2B．4C．7D．8
【分析】將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，可以用每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字乘以對(duì)應(yīng)的權(quán)重，累加后，即可得到答案．
【解答】解：111（2）＝1×26+1×28+1＝7
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不同進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換，其中其它進(jìn)制轉(zhuǎn)為十進(jìn)制方法均為累加數(shù)字×權(quán)重，十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為其它進(jìn)制均采用除K求余法．
3．（5分）甲、乙兩名同學(xué)12次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比乙同學(xué)高
B．甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比乙同學(xué)低
C．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比甲同學(xué)高
D．乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比甲同學(xué)低
【分析】根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)分布，即可直接求解．
【解答】解：由莖葉圖分布可知，乙的數(shù)據(jù)更多集中在114﹣128之間，
乙同學(xué)平均成績(jī)比甲同學(xué)高，乙同學(xué)數(shù)據(jù)分布更加集中．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）來(lái)自澳大利亞的心理學(xué)家Michael White設(shè)計(jì)出了一種被人稱為“懷特錯(cuò)覺(jué)”的光學(xué)戲法．這類型的圖片只有三種顏色：黑、白、灰，但大多數(shù)人都會(huì)看到四種顏色．這是因?yàn)榛疑纳珘K嵌入了白色和黑色條紋中，從視覺(jué)上看，在所調(diào)查的100名調(diào)查者中，有55人認(rèn)為圖中有4種顏色，而在被調(diào)查者所列舉的顏色中，有40人沒(méi)有提到白色（他們認(rèn)為白色是背景顏色，不算在圖片顏色之中），估計(jì)在人群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率約為（ ）
A．0.45B．0.55C．0.05D．0.95
【分析】根據(jù)這個(gè)調(diào)查結(jié)果，得到100人中產(chǎn)生產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的人數(shù)為55+40＝95人，由此能估計(jì)在人群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率．
【解答】解：在所調(diào)查的100名調(diào)查者中，有55人認(rèn)為圖中有4種顏色，
而在被調(diào)查者所列舉的顏色中，有40人沒(méi)有提到白色（他們認(rèn)為白色是背景顏色，
根據(jù)這個(gè)調(diào)查結(jié)果，得到100人中產(chǎn)生產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的人數(shù)為：
55+40＝95，
由此估計(jì)在人群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率約為P＝＝0.95．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的運(yùn)算，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是（ ）
A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x＞1
B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1
D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1
【分析】根據(jù)存在命題（特稱命題）否定的方法，可得結(jié)果是一個(gè)全稱命題，結(jié)合已知易得答案．
【解答】解：∵命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是
“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題以否定命題為載體考查了特稱命題的否定，熟練掌握全（特）稱命題的否定命題的格式和方法是解答的關(guān)鍵．
6．（5分）已知x，y的取值如下表所示：
如果y與x呈線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則b＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】估計(jì)條件中所給的三組數(shù)據(jù)，求出樣本中心點(diǎn)，因?yàn)樗o的回歸方程只有b需要求出，利用待定系數(shù)法求出b的值，得到結(jié)果．
【解答】解：∵線性回歸方程為，
又∵線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，
，
∴回歸方程過(guò)點(diǎn)（8，5）
∴5＝2b+，
∴b＝﹣
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，考查樣本中心點(diǎn)滿足回歸方程，考查待定系數(shù)法求字母系數(shù)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目一旦出現(xiàn)是一個(gè)必得分題目．
7．（5分）如圖所示的算法框圖思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減相術(shù)”，執(zhí)行該算法框圖，若輸入的a、b分別為36、96（ ）
A．0B．8C．12D．24
【分析】由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的a，b的值，即可得到結(jié)論．
【解答】解：由a＝36，b＝96，
由a＜b，則b變?yōu)?6﹣36＝60，
由a＜b，則b變?yōu)?0﹣36＝24，
由a＞b，則a變?yōu)?6﹣24＝12，
由a＜b，則b變?yōu)?4﹣12＝12，
由a＝b＝12，
則輸出的a＝12．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用，以及賦值語(yǔ)句的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（5分）從單詞“equatin”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有q、u（其中q、u相連）的不同排法共有（ ）
A．120種B．480種C．720種D．960種
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合捆綁法，以及分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求解．
【解答】解：?jiǎn)卧~“equatin”共有8個(gè)字母，且8個(gè)字母各不相同，
從中選取7個(gè)字母，含有q 種，
若q、u相連，并與其余4個(gè)字母排序?yàn)榉N，
故所求的不同排法共有種．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）已知空間四邊形OABC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且＝，＝，＝，用，，為（ ）
A．++B．﹣+
C．﹣++D．﹣+﹣
【分析】如圖所示，連接ON，AN，利用向量的中點(diǎn)公式可得＝（+）＝（+），＝（+），進(jìn)而即可得出．
【解答】解：如圖所示，連接ON，
則＝（+）＝（+），
＝（+）
＝（﹣6+）
＝（﹣7++）
＝﹣++，
所以＝（+）＝﹣++．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的運(yùn)算法則、中點(diǎn)公式等是解題的關(guān)鍵．
10．（5分）希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正三角形（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）．在如圖第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】我們要根據(jù)已知條件，求出第3個(gè)大正三角形的面積，及黑色區(qū)域的面積，代入幾何概型計(jì)算公式，即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：每次挖去的面積為前一個(gè)三角形剩下面積的，不妨設(shè)第一個(gè)三角形的面積為8．
∴第三個(gè)三角形的面積為1；
則陰影部分的面積之為：
第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率：，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P＝求解．
11．（5分）已知拋物線C：y2＝8x焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|＝（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的面積公式，求出A的縱坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義，即可求解．
【解答】解：拋物線C：y2＝8x焦點(diǎn)為F，即p＝2，
則|OF|＝2，
設(shè)A（x，y），
△AOF的面積為2，
則，
∵A是C上一點(diǎn)，
∴3＝8x，解得x＝，
∴|AF|＝＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）若直線y＝x+b與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．[﹣2，2]
【分析】直接利用直線與圓的位置關(guān)系求出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出參數(shù)b的取值范圍．
【解答】解：直線y＝x+b與曲線有公共點(diǎn)，
如圖所示：
利用曲線在坐標(biāo)系中的位置，
所以A（6，2），B（8，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓與直線的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（ ）
A．b＜﹣2 且 c＞0B．b＞﹣2 且 c＜0
C．b＜﹣2 且 c＝0D．b≥﹣2 且 c＝0
【分析】作出f（x）的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可得．
【解答】解：∵方程f2（x）+af（x）+b＝0有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
由題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）＝0時(shí)．
且f（x）＝﹣b時(shí)有四個(gè)根，
由圖可知﹣b＞8，∴b＜﹣2．
故所求充要條件為：b＜﹣2且c＝3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+2（a＞0），對(duì)?x1∈[﹣1，2]，?x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．[3，+∞）D．（0，3]
【分析】先求出兩個(gè)函數(shù)在[﹣1，2]上的值域分別為A、B，再根據(jù)對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，注意條件a＞0．
【解答】解：設(shè)f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝ax+4（a＞0），2]上的值域分別為A、B，
由題意可知：A＝[﹣4，3]，2a+4]
∴
∴a≤
又∵a＞0，
∴8＜a≤
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)中檔題．考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，
二、填空題（共6小題，每小題5分，本題共20分．請(qǐng)把正確答案填在答題卡中相應(yīng)題號(hào)的橫線上）
15．（5分）某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，則應(yīng)從高中生中抽取 70 人．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．
【解答】解：由題意可知，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本，
則應(yīng)從高中生中抽?。?0人．
故答案為：70．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是： ﹣20 ．（請(qǐng)用數(shù)字作答）
【分析】先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令6﹣2r＝3，即可求解．
【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+8＝＝x4﹣2r，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
故的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是．
故答案為：﹣20．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．
17．（5分）圓x2+y2﹣2x﹣5＝0與圓x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線方程為 x+y﹣1＝0 ．
【分析】線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)兩圓的圓心，將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)，即可得到線段AB的垂直平分線方程；x2+y2﹣4x﹣5＝0與圓x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0
【解答】解：線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)兩圓的圓心
∵圓x2+y2﹣3x﹣5＝0可化為：（x﹣4）2+y2＝7，圓x2+y2+5x﹣4y﹣4＝4可化為：（x+1）2+（y﹣2）2＝9
∴兩圓的圓心分別為（6，0），2）
∴線段AB的垂直平分線方程為，即x+y﹣7＝0
故答案為：x+y﹣1＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題以兩圓相交為載體，考查兩圓公共弦的方程，考查兩圓公共弦的垂直平分線的方程，考查圓中的弦長(zhǎng)，有一定的綜合性．
18．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點(diǎn)，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則異面直線MN與OD1所成角的余弦值為 ．
【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線MN與OD1所成角的余弦值．
【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
令A(yù)B＝2，則D6（0，2，5），1，1），8，0），2，2），
∴＝（1，1，＝（﹣2，1，
設(shè)異面直線MN與OD8所成角為θ，
則csθ＝＝．
∴異面直線MN與OD1所成角的余弦值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
19．（5分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2+y2＝a2相切，且∠F1PF2＝∠PF1F2，則雙曲線C的離心率為 ．
【分析】過(guò)F2作F2M⊥PF1，垂足點(diǎn)為M，設(shè)切點(diǎn)為N，則根據(jù)題意易得M為PF1的中點(diǎn)，N為F1M的中點(diǎn)，又易知|F1N|＝b，從而可得，|PF1|＝4b，又易知|F2P|＝|F2F1|＝2c，從而可得|PF1|﹣|F2F1|＝4b﹣2c＝2a，再轉(zhuǎn)化為e的方程，即可求解．
【解答】解：如圖，∵∠F1PF2＝∠PF8F2，
∴|F2F6|＝|F2P|，過(guò)F2作F3M⊥PF1，垂足點(diǎn)為M，則M為PF1的中點(diǎn)，
設(shè)直線PF7與圓x2+y2＝a6相切的切點(diǎn)為N，則NO⊥PF1，
∴ON∥MF2，又O為F7F2的中點(diǎn)，
∴N為F1M的中點(diǎn)，
在Rt△F2NO中，根據(jù)題意易知|ON|＝a1O|＝c，
∴|F1N|＝b，∴|PF8|＝4|F1N|＝4b，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|F2P|＝|F2F3|＝2c，
∴|PF1|﹣|F5F1|＝4b﹣5c＝2a，
∴2b＝a+c，
∴8b2＝（a+c）2，
∴5（c2﹣a2）＝（a+c）7，
∴3e2﹣6e﹣5＝0，又e＞7，
∴解得e＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．
20．（5分）F1，F(xiàn)2分別是雙曲線＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)1F2的內(nèi)心，且＝﹣λ，則λ＝ ．
【分析】設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，由|PF1|﹣|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，用△PF1F2的邊長(zhǎng)和r表示出等式中的三角形的面積，結(jié)合題中條件，即可解此等式求出λ．
【解答】解：設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則＝﹣λ，
∴＝﹣
∴|PF1|﹣|PF2|＝λ|F1F2|，
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知3a＝λ?2c，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力數(shù)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
三、解答題（本大題共7小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
21．（10分）已知p：﹣2＜a＜2，q：關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）若q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，￢q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）利用根的判別式能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）p：﹣2＜a＜2，q：a．由p∨q為真命題，￢q為真命題，得到p是真命題，q是假命題，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）q：關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根．q為真命題，
∴Δ＝8﹣4a≥0，解得a．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，]．
（2）p：﹣2＜a＜2，q：a．
∵p∨q為真命題，￢q為真命題，
∴p是真命題，q是假命題，
∴，
解得．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查根的判別式、復(fù)合命題的真假判斷等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
22．（10分）求解下列問(wèn)題：
（1）求過(guò)直線x﹣y﹣5＝0與直線x+y﹣3＝0的交點(diǎn)，且與直線3x﹣4y+6＝0平行的直線方程；
（2）求以點(diǎn)（1，2）為圓心，與直線4x+3y﹣35＝0相切的圓的方程．
【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)直線系，直線平行的條件，方程思想，即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題可設(shè)所求直線方程為：
（x﹣y﹣5）+λ（x+y﹣3）＝7，
即（λ+1）x+（λ﹣1）y﹣（2+3λ）＝0，
又該直線與2x﹣4y+6＝6平行，
∴，
解得λ＝，
∴所求直線方程為3x﹣4y﹣16＝8；
（2）∵以點(diǎn)（1，2）為圓心的圓與直線7x+3y﹣35＝0相切，
則圓心（4，2）到直線4x+5y﹣35＝0的距離d＝，
∴所求圓的方程為（x﹣1）6+（y﹣2）2＝25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查交點(diǎn)直線系的應(yīng)用，直線平行的條件，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．
23．（10分）開(kāi)學(xué)初學(xué)校進(jìn)行了一次摸底考試，物理老師為了了解自己所教的班級(jí)參加本次考試的物理成績(jī)的情況，從參考的本班同學(xué)中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的物理成績(jī)（滿分100分），將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)赱50
（1）求n的值，并估計(jì)本班參考學(xué)生的平均成績(jī)；
（2）已知抽取的n名參考學(xué)生中，在[90，100]的人中，現(xiàn)從[90，100]的人中隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及平均數(shù)公式，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)赱50，
因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱50，60）內(nèi)的頻數(shù)為3，
所以抽取的樣本容量，
所以參考學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5×0.075+65×0.2+75×0.4+85×5.125+95×0.1＝73.75（分）．
（2）由頻率分布直方圖知，抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)赱90，
因?yàn)橛屑?、乙兩名女生?br>用A，B表示兩名男生，甲A，乙A，AB，其中女學(xué)生甲被抽到的情況共5種，
所以隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽，其中女學(xué)生甲被抽到的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
24．（10分）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：
（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）如果7月10號(hào)晝夜溫差為8°C，預(yù)測(cè)因患感冒而就診的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法公式，即可求解；
（2）將x＝8代入（1）所求的線性回歸方程，即可求解．
【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，，
＝1398，，
故＝＝，，
故y關(guān)于x的線性回歸方程為＝3.95x+2.5；
（2）如果2月10號(hào)晝夜溫差為8°C，即x＝8，
＝4.95×8+2.8＝18.1≈18，即因患感冒而就診的人數(shù)約為18人．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性回歸方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．
25．（10分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．
【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得BF垂直于面PEF，然后利用平面與平面垂直的判斷定理證明即可．
（2）利用等體積法可求出點(diǎn)P到面ABCD的距離，進(jìn)而求出線面角．
【解答】（1）證明：由題意，點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)，
則，，
由于四邊形ABCD為正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF＝F．
又因?yàn)锽F?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面PEF中，過(guò)P作PH⊥EF于點(diǎn)H，
由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH⊥EF，
則PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱錐P﹣DEF中，可以利用等體積法求PH，
因?yàn)镈E∥BF且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因?yàn)椤鱌DF≌△CDF，
所以∠FPD＝∠FCD＝90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD＝D，則PF⊥平面PDE，
故VF﹣PDE＝，
因?yàn)锽F∥DA且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a，則PD＝2a
在△PDE中，，
所以，
故VF﹣PDE＝，
又因?yàn)椋?br>所以PH＝＝，
所以在△PHD中，sin∠PDH＝＝，
即∠PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系．直線與平面所成角的求法．幾何法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
26．（10分）已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)P，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)），若直線l的斜率為時(shí)上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）若以A，B兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，則直線l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是
【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法求出a，b關(guān)系，利用橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，即可求出a，b，得到橢圓方程．
（Ⅱ）由題意可得橢圓右頂點(diǎn)A2（2，0），，通過(guò)（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝x0，求出直線l的方程．（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，推出①，聯(lián)立直線和橢圓方程利用韋達(dá)定理的經(jīng)過(guò)代入①求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A（x1，y1），B（x8，y2）
由題意得經(jīng)過(guò)變換則有當(dāng)時(shí)，，
再根據(jù) 得到a2＝2b2，又因?yàn)闄E圓過(guò)得到a＝2，
所以橢圓的方程為：．
（Ⅱ）由題意可得橢圓右頂點(diǎn)A2（2，2），
（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝x0，
此時(shí)要使以A，B兩點(diǎn)為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，
則，解得0＝7（舍），
此時(shí)直線l為．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b5x2﹣2（x6+x2）+y1y4＝0，
化簡(jiǎn)得①
聯(lián)立直線和橢圓方程得（4k2+8）x2+8kbx+8b2﹣4＝7，Δ＝1+4k7﹣b2＞0，
②
把②代入①得
即6k2b2﹣6k2+4b5﹣4﹣8k6b2+16kb＝﹣（4k2b2+16k2+b3+4），
12k2+16kb+5b2＝0，得k＝﹣或或（2
綜上所述直線l過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線系方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力；分類討論思想的應(yīng)用．
27．（10分）已知橢圓，四個(gè)點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y＝kx+m（m≠1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1，判斷直線l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知P3，P4兩點(diǎn)在橢圓C上，即可得到，將點(diǎn)P1代入橢圓方程與比較，可得出點(diǎn)P2在橢圓C上，代入得到方程組，解出a，b的值，從而求出橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出x1+x2，x1x2，根據(jù)已知k1+k2＝﹣1可求出k＝﹣，代入直線方程分離參數(shù)或根據(jù)直線點(diǎn)斜式即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)．
【解答】解：（1）∵，關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴，兩點(diǎn)在橢圓C上，
∴，
又，∴橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，
∴點(diǎn)P4（0，1）在橢圓C上，
∴，解得，
∴橢圓C的方程為＝1；
（2）設(shè)直線P2A與直線P4B的斜率分別為k1，k2，
聯(lián)立方程，消去y得2+1）x6+8kmx+4m6﹣4＝0，
設(shè)A（x7，y1），B（x2，y6），
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
又∵k7+k2＝＝+＝＝﹣1，
∴（2k+3）x1x2+（m﹣8）（x1+x2）＝3，
即（2k+1）+（m﹣4），
解得k＝﹣，
∴直線l的方程為y＝﹣，即y+7＝﹣，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)（6，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．
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