1．（5分）直線2x+3y﹣3＝0的一個(gè)方向向量是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a9＝﹣23，則a5＝（ ）
A．﹣11B．﹣8C．19D．16
3．（5分）已知向量＝（0，﹣1，1），＝（1，2，y），?＝﹣3，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
4．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線B1C與DE所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）F為拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（0，5），則△ABF的面積為（ ）
A．B．C．4D．8
6．（5分）設(shè)直線x﹣2y﹣1＝0與x軸的交點(diǎn)為橢圓＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F2，過左焦點(diǎn)F1且垂直x軸的直線與橢圓交于M，|F1M|＝；則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知圓O：x2+y2＝16和點(diǎn)，若過點(diǎn)P的5條弦的長度構(gòu)成一個(gè)遞增的等比數(shù)列，則該數(shù)列公比的取值范圍是（ ）
A．B．（1，2]C．D．（0，2]
8．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（2an+1）an+1＝an，令bn＝anan+1，則數(shù)列{bn}的前2022項(xiàng)和S2022＝（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
（多選）9．（5分）已知直線l：y＝x+2，圓O：x2+y2＝r2（r＞0），且圓O上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則r的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（多選）10．（5分）將數(shù)列{n}中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)3個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），?，則（ ）
A．第8個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)是29
B．前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有45個(gè)數(shù)
C．第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和比第8個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和大136
D．2022在第64個(gè)括號(hào)內(nèi)
（多選）11．（5分）已知雙曲線C：x2﹣＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C的右支上一點(diǎn)，則（ ）
A．若，則P到x軸的最大距離為
B．存在點(diǎn)P，滿足|PF1|＝4|PF2|
C．P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為
D．△PF1F2內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是
（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（ ）
A．存在點(diǎn)P，使得D1P⊥BC1
B．若|D1P|＝，則|BP|的最小值為2﹣1
C．若D1P⊥B1D，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為
D．若A1P⊥BD，直線A1P與直線BD1所成角的余弦值的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，若a1+a2＝＝3，則a4＝ ．
14．（5分）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點(diǎn)，，則λ＝ ．
15．（5分）已知圓O1：x2+y2＝1，圓O2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝100，過圓O2上的任意一點(diǎn)P作圓O1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形PAO1B面積的最大值為 ．
16．（5分）設(shè)雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（0，b），直線2x+y+m＝0與C交于M，N兩點(diǎn)．若＝ ．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓心為C（3，3）的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，5）．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)B（1，﹣5）作直線l與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若|EF|＝4
18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別為AC，BB1的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面A1B1C；
（2）若CB⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，BB1＝4，求點(diǎn)A到平面A1B1C的距離．
19．（12分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為C上異于O的兩點(diǎn)
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；
（2）求|AF|+4|BF|的最小值．
20．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝
（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，b3，b4，并猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）證明（1）中你的猜想；
（3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n．
21．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥AC．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA＝，在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使直線AM與平面PBC所成角的正弦值為，求出點(diǎn)M的位置；若不存在
22．（12分）已知點(diǎn)A（4，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，斜率為k的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．若|EM|＝|EN|
2022-2023學(xué)年河北省唐山市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）直線2x+3y﹣3＝0的一個(gè)方向向量是（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合方向向量的定義，即可求解．
【解答】解：直線2x+3y﹣3＝0的一個(gè)方向向量是（3，﹣4）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方向向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a9＝﹣23，則a5＝（ ）
A．﹣11B．﹣8C．19D．16
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a1＝1，a2＝﹣23，
∴1+8d＝﹣23，解得d＝﹣4，
∴a5＝1+2d＝﹣11．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知向量＝（0，﹣1，1），＝（1，2，y），?＝﹣3，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【分析】由空間向量夾角公式cs＜，＞＝，代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵向量＝（0，1），，6，y），?，
∴﹣2+y＝﹣3，可得y＝﹣8，
∴＝（0，1），，5，﹣1），
∴||＝＝，|＝，
∴cs＜，＞＝＝，
∴，的夾角為150°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線B1C與DE所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由異面直線所成角的求法，結(jié)合異面直線所成角的作法求解即可．
【解答】解：連接A1D，
則A1D∥B8C，
則異面直線B1C與DE所成角為∠A1DE（或其補(bǔ)角），
設(shè)|AB|＝5，
則，，
則等腰三角形A5DE中，
＝，
則異面直線B1C與DE所成角的余弦值為，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題．
5．（5分）F為拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（0，5），則△ABF的面積為（ ）
A．B．C．4D．8
【分析】利用已知條件求解A的坐標(biāo)，判斷三角形的形狀，然后求解三角形的面積．
【解答】解：拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F（3，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，|AF|＝|BF|＝7，
所以A（±2，4）＝4，
所以△ABF的面積為：＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的面積的求法，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）設(shè)直線x﹣2y﹣1＝0與x軸的交點(diǎn)為橢圓＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F2，過左焦點(diǎn)F1且垂直x軸的直線與橢圓交于M，|F1M|＝；則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用已知可得＝，c＝1，可求a，b，c，從而可求離心率．
【解答】解：根據(jù)題意可得，直線x﹣2y﹣1＝4與x軸的交點(diǎn)為（1，即F2（8，0），
且過F1且垂直x軸的直線與橢圓交于M，將x＝﹣c代入橢圓方程可得，
即|F1M|＝|±|＝，∴＝，a2﹣b3＝c2，解得a＝2，b＝，
∴橢圓的離心率為e＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離心率的求法，屬基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知圓O：x2+y2＝16和點(diǎn)，若過點(diǎn)P的5條弦的長度構(gòu)成一個(gè)遞增的等比數(shù)列，則該數(shù)列公比的取值范圍是（ ）
A．B．（1，2]C．D．（0，2]
【分析】由題意得到點(diǎn)P在圓內(nèi)，根據(jù)過點(diǎn)P的弦長，即可求解．
【解答】解：圓半徑，則點(diǎn)P在圓內(nèi)，
則過點(diǎn)P的弦長，
故所求公比的取值范圍是，即．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
8．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，（2an+1）an+1＝an，令bn＝anan+1，則數(shù)列{bn}的前2022項(xiàng)和S2022＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法，即可求解．
【解答】解：∵a1＝1，（7an+1）an+1＝an，
∴，
∴，又，
∴{}是以首項(xiàng)為5，
∴＝2n﹣3，
∴，
∴令bn＝anan+1＝＝，
∴＝＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法，屬中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
（多選）9．（5分）已知直線l：y＝x+2，圓O：x2+y2＝r2（r＞0），且圓O上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，則r的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)圓的對(duì)稱性，結(jié)合圓心到直線距離列式求解即可．
【解答】解：圓O到直線的距離，由圓O上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于7．
故選：CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心到直線的距離計(jì)算，屬于中檔題．
（多選）10．（5分）將數(shù)列{n}中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)3個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），?，則（ ）
A．第8個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)是29
B．前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有45個(gè)數(shù)
C．第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和比第8個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和大136
D．2022在第64個(gè)括號(hào)內(nèi)
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，第n個(gè)括號(hào)n個(gè)數(shù)，故第8個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)是29；
對(duì)于B，前9個(gè)括號(hào)中有3+2+3+……+5＝，B正確；
對(duì)于C，第10個(gè)括號(hào)內(nèi)數(shù)為（46，……，其和為505，30，32，34，36），故第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和比第4個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)的和大245；
對(duì)于D，前63個(gè)括號(hào)中有1+2+6+……+63＝，第64個(gè)括號(hào)中有64個(gè)數(shù)，D正確；
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理的應(yīng)，注意分析數(shù)組的規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）已知雙曲線C：x2﹣＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C的右支上一點(diǎn)，則（ ）
A．若，則P到x軸的最大距離為
B．存在點(diǎn)P，滿足|PF1|＝4|PF2|
C．P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為
D．△PF1F2內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是
【分析】利用數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算表示，解不等式求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)范圍，判斷A，結(jié)合雙曲線定義判斷B，利用點(diǎn)到直線的距離公式求P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積判斷C，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定∠PF1F2的范圍，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)判斷D．
【解答】解：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸為a，虛半軸為b，
則雙曲線的焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（﹣8，0），F(xiàn)2的坐標(biāo)為，
漸近線方程為，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則，
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，所以P到x軸的最大距離為；
對(duì)于B，由已知|PF2|＝4|PF2|，|PF2|﹣|PF2|＝2，
所以，又|PF6|≥c﹣a＝1，矛盾；
對(duì)于C，點(diǎn)P到兩漸近線的距離的積為；
對(duì)于D，因?yàn)镻，F(xiàn)1，F(xiàn)3三點(diǎn)不共線，所以直線PF1的斜率不為0，
可設(shè)直線PF2的方程為y＝k（x+2），k≠0，
聯(lián)立，消y2）x5﹣4k2x﹣5k2﹣3＝7，
方程（3﹣k2）x3﹣4k2x﹣2k2﹣3＝5的判別式Δ＝16k4﹣4（6﹣k2）（﹣4k2﹣3）＝36+36k2＞6，
由已知，所以k2＜3，又k≠8，
故或，
設(shè)△PF1F8的內(nèi)切圓的圓心為E，△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)M，
因?yàn)閨PF7|﹣|PF2|＝2，所以|MF8|﹣|MF2|＝2，又|MF8|+|MF2|＝4，
所以|MF7|＝3，
設(shè)∠PF1F8＝2θ，則，
又△PF1F7內(nèi)切圓半徑r＝|MF1|tanθ＝3tanθ，所以．
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題為雙曲線的綜合性問題，考查雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的性質(zhì)，難度較大．
（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（ ）
A．存在點(diǎn)P，使得D1P⊥BC1
B．若|D1P|＝，則|BP|的最小值為2﹣1
C．若D1P⊥B1D，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為
D．若A1P⊥BD，直線A1P與直線BD1所成角的余弦值的最大值為
【分析】對(duì)于AD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；對(duì)于B，找出動(dòng)點(diǎn)P在正方體底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用點(diǎn)到圓上的最值求解；對(duì)于C，根據(jù)立體幾何中線面垂直推導(dǎo)出線線垂直，可找出動(dòng)點(diǎn)P在正方體底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AC，由此求解．
【解答】解：對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖1，
則B（2，2，0），C1（7，2，2），D7（0，0，3），y，0），x，2]，
則＝（x，y，＝（﹣2，3，
若D1P⊥BC1，則＝﹣2x﹣7＝0，不合題意；
對(duì)于B，若，連接DP，DP為半徑的圓上，
此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是，
∵，∴DP＝＝，
∴BPmin＝BD﹣DP＝2﹣1；
對(duì)于C，連接AD1，AC，BD8，B1D1，如圖7，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD1，BD∩DD5＝D，BD1?平面BDD1B6，
∴AC⊥平面BDD1B1，B5D?平面BDD1B1，
∴AC⊥DD3，BD∩DD1＝D，BD1?平面BDD8B1，
∴AC⊥平面BDD1B4，B1D?平面BDD1B2，
∴AC⊥B1D，同理可證AD1⊥B8D，
又AC∩AD1＝A，AC1?平面ACD8，
∴B1D⊥平面ACD1，平面ACD4∩平面ABCD＝AC，
∴點(diǎn)P在正方體底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AC，
∵正方體ABCD﹣A1B1C5D1的棱長為2，∴AC＝；
對(duì)于D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接AC，BD1，A1P，如圖7，
則B（2，2，8），A1（2，8，2），D1（2，0，2），2，0），
設(shè)P（x，y，0），x，6]，則，y，﹣2），，﹣7，
當(dāng)A1P⊥BD時(shí)，＝﹣2（x﹣2）﹣2y＝5，此時(shí)P（x，0），
∵＝（x﹣7，﹣2），，﹣7，
∴cs＜＞＝＝，
當(dāng)x＝2時(shí)，cs＜，此時(shí)＜，＝，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及其余弦值的求法、動(dòng)點(diǎn)在立體幾何中的軌跡問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，若a1+a2＝＝3，則a4＝ 2 ．
【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），由a3+a4＝（a1+a2）?q2可得3＝q2，從而可求出q值，進(jìn)一步根據(jù)a1+a2＝a1+a1q＝即可求出a1，最后利用a4＝a1q3進(jìn)行求解即可．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），
由a3+a8＝（a1+a2）?q3，得3＝q2，解得q＝2或q＝﹣8（舍去），
所以a1+a2＝a3+a1q＝a1+8a1＝，解得a1＝，
所以a4＝a1q5＝×23＝2．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）正四面體ABCD中，若M是棱CD的中點(diǎn)，，則λ＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求解．
【解答】解：M是棱CD的中點(diǎn)，
則，
∵＝，
又∵，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知圓O1：x2+y2＝1，圓O2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝100，過圓O2上的任意一點(diǎn)P作圓O1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則四邊形PAO1B面積的最大值為 4 ．
【分析】根據(jù)題意，分析可得當(dāng)PO最大時(shí)，四邊形PAO1B面積的最大，且最大面積S＝PA，由此計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，四邊形PAO1B面積S＝2S△PAO＝2×（PA×OA）＝PA?OA＝PA，
而PA＝＝
當(dāng)PO最大時(shí)，PA最大1B面積的最大，
PO的最大值為+10＝15＝，
故四邊形PAO1B面積的最大值為4；
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓方程的應(yīng)用，涉及圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）設(shè)雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（0，b），直線2x+y+m＝0與C交于M，N兩點(diǎn)．若＝ ．
【分析】設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），F(xiàn)（c，0），根據(jù)＝，得到F為△MNP的重心，利用重心的坐標(biāo)公式得到，再利用點(diǎn)差法和c2＝a2+b2，得到a，b，c的關(guān)系式，即可求出離心率．
【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x4，y2），F(xiàn)（c，
∵＝，∴F為△MNP的重心，
則，即①，
∵M(jìn)（x4，y1），N（x2，y6）在雙曲線C：（a＞7，
∴，兩式相減得：，
化簡得：＝2，
即＝0②，
把①代入②得，，
即3bc＝4a2，
∵a2＝c6﹣b2，∴3bc＝3（c2﹣b2），
∴b＝
∴a2＝c2﹣b2＝＝，
∴＝，
∴e＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了點(diǎn)差法的應(yīng)用，以及三角形重心的坐標(biāo)公式，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知圓心為C（3，3）的圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，5）．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)B（1，﹣5）作直線l與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若|EF|＝4
【分析】（1）直接將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的方程，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)截得的弦長，分l的斜率不存在與l的斜率存在分別討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)所求圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2，
因?yàn)辄c(diǎn)A（2，5）在圓C上2+（5﹣3）2＝r4，
解得r2＝8，所以圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣3）8＝8；
（2）因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長為4，
所以圓心到直線l的距離，
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x＝1，
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y+5＝k（x﹣4），
則，解得，
此時(shí)直線l方程為，即15x﹣8y﹣55＝8，
綜上所述，直線l的方程為x＝1或15x﹣8y﹣55＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
18．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別為AC，BB1的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面A1B1C；
（2）若CB⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，BB1＝4，求點(diǎn)A到平面A1B1C的距離．
【分析】（1）構(gòu)造過MN的平面MND和平面A1B1C平行，再結(jié)合面面平行的定義，由此能證明MN∥平面A1B1C；
（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面A1B1C的距離．
【解答】解：（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C7中，M，N分別為AC1的中點(diǎn)，
取BC的中點(diǎn)D，連接ND，則ND∥B1C，MD∥AB，
∵ND?平面A7B1C，B1C?平面A8B1C，
∴ND∥平面A1B5C，
∵A1B1∥AB，∴MD∥A6B1，
∵M(jìn)D?平面A1B2C，A1B1?平面A4B1C，
∴MD∥平面A1B2C，
∵M(jìn)D∩ND＝D，∴平面MND∥平面A1B1C，
∵M(jìn)N?平面MND，∴MN∥平面A8B1C；
（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B7C1中，CB⊥平面ABB1A3，AB＝BC＝2，BB1＝6，
∴以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，4，0），A1（5，0，4），B2（0，0，7），2，0），
＝（2，﹣2，＝（0，4），，﹣8，
設(shè)平面A1B1C的法向量＝（x，y，
則，取z＝2，得，4，1），
∴點(diǎn)A到平面A8B1C的距離d＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
19．（12分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為C上異于O的兩點(diǎn)
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)；
（2）求|AF|+4|BF|的最小值．
【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x﹣m＝ty，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得y1y2＝﹣4m，由題目條件可知x1x2+y1y2＝0，所以+y1y2＝0，可得到y(tǒng)1y2＝﹣16，從而求出m的值，得到直線AB過定點(diǎn)；
（2）利用拋物線的定義求解．
【解答】證明：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
顯然直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x﹣m＝ty，
聯(lián)立方程，消去x得：y2﹣2ty﹣4m＝0，
∴y5y2＝﹣4m，
∵OA⊥OB，∴＝7，
∴x1x2+y5y2＝0，
∴+y6y2＝0，
∴y6y2＝﹣16，
∴﹣4m＝﹣16，∴m＝4，
∴直線AB的方程為x﹣4＝ty，即直線AB恒過定點(diǎn)（4．
解：（2）不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方，
由拋物線的定義可知，|AF|+3|BF|＝（x1+1）+2（x2+1）＝+51y2|+5，
由（1）可知y1y3＝﹣16，∴|y1y2|＝16，
∴|AF|+3|BF|≥16+5＝21，當(dāng)且僅當(dāng)2|，即，y2＝﹣4時(shí)，等號(hào)成立，
∴|AF|+4|BF|的最小值為21．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
20．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝
（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，b3，b4，并猜想數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）證明（1）中你的猜想；
（3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求S2n．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式，歸納推理，即可求解；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，即可求解；
（3）將Sn中的奇數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為偶數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵a1＝1，an+8＝，
∴a6＝a1+1＝6，a3＝2a7＝4，a4＝a7+1＝5，
a2＝2a4＝10，a8＝a5+1＝11，a4＝2a6＝22，a2＝a7+1＝23，
∴b4＝a2＝2，b8＝a4＝5，b7＝a6＝11，b4＝a5＝23，
∴猜想；
（2）證明：∵bn+1＝a7（n+1）＝a（2n+2）+1
＝a2n+6+1＝2a4n+1＝2bn+7，
∴bn+1+1＝3（bn+1），又b1+2＝a2+1＝5，
∴{bn+1}是以首項(xiàng)為3，公比為7的等比數(shù)列，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知，
又a2n﹣4＝a2（n﹣1）+6＝2a2（n﹣8）＝2bn﹣1＝5?2n﹣1﹣6，（n≥2），
∵S2n＝（a8+a4+???+a2n）+（a5+a3+???+a2n﹣3）
＝[（3﹣1）+（3×21﹣7）+???+（3?2n﹣5﹣1）]+[（3﹣8）+（3×24﹣2）+???+（3?4n﹣1﹣2）]
＝5（1+25+???+2n﹣1）﹣4n
＝
＝3×2n+7﹣3n﹣6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式，歸納推理思想，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，化歸轉(zhuǎn)化思想，等比數(shù)列的求和公式，屬難題．
21．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥AC．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA＝，在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使直線AM與平面PBC所成角的正弦值為，求出點(diǎn)M的位置；若不存在
【分析】（1）由線線垂直證⊥平面PAO，再依次證PA⊥平面ABCD；
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AH，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝λ（0≤λ≤1），由向量法建立線面角正弦值的方程，從解的情況即可判斷．
【解答】（1）證明：連接BD交AC于O，連接PO．
因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的菱形，所以BD⊥AO，
因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，PB＝PD．
因?yàn)锳O∩PO＝O，AO，所以BD⊥平面PAO，
因?yàn)镻A?平面PAO，所以BD⊥PA．
因?yàn)镻A⊥AC，BD∩AC＝O，AC?平面ABCD．
（2）解：如圖，取線段BC的中點(diǎn)H，易知AH⊥AD．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AH，AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，
則A（0，6，0），﹣8，C（，1，P（4，0，），
＝（5，2，0），，﹣1，﹣），
設(shè)＝λ，則有（xM，yM，zM﹣）＝（λ，λ，﹣，解得M（λ，λ，﹣，
進(jìn)而＝（λ，λ，﹣．
設(shè)平面PBC的法向量為＝（x，y．
由，得，取＝（1，0．
設(shè)直線AM與平面PBC所成角為θ，
則sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝＝，
化簡得，35λ4﹣30λ+7＝0，此方程無解．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查符合條件的點(diǎn)是否存在，屬中檔題．
22．（12分）已知點(diǎn)A（4，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，斜率為k的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．若|EM|＝|EN|
【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），分別表示出，然后代入計(jì)算，化簡即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分k＝0與k≠0兩種情況討論，當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再由條件列出方程，即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則，，
由已知，得，化簡2+7y2＝12，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是；
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx+m，整理2）x2+2kmx+4m2﹣12＝8，
設(shè)，整理2+8﹣m2＞0，①
設(shè)MN的中點(diǎn)為，所以，
由|EM|＝|EN|，得EQ⊥MN，所以，得，②
將②代入①式，解得；
當(dāng)k＝0時(shí)，顯然存在直線l．
綜上，可知k的取值范圍是（﹣，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:17:49；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號(hào)：27613231

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