一、單選題
1．已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把直線方程化為斜截式方程，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】，所以該直線的斜率為，
因此該直線的傾斜角為，
故選：D
2．已知向量，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．8B．7C．D．14
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直，則向量數(shù)量積為0，得到，解出即可.
【詳解】已知向量，因為，
所以，解得．
故選：B．
3．若圓與圓有條公切線，則（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】分析可知兩圓外切，可得出關(guān)于實數(shù)的等式，解之即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為兩圓有條公切線，則兩圓外切，則，即，
解得.
故選：C.
4．國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式．在手工課上，張老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為12cm，則小橢圓的長軸長為（ ）cm
A．12B．24C．10D．
【答案】B
【分析】利用橢圓的扁平程度可知兩橢圓離心率相同，即可求得小橢圓的長軸長為.
【詳解】由扁平程度相同可知其離心率相同，設(shè)大小橢圓的離心率為；
對于大橢圓可得，
設(shè)小橢圓的長軸長為，則，解得.
故選：B
5．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量在向量上的投影向量為，計算即可求出答案．
【詳解】解：向量，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為．
故選：．
6．若直線與曲線恰有一個公共點，則b的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意作圖，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可得答案.
【詳解】由曲線，可得，其中，表示以原點為圓心，半徑為1的右半圓，是傾斜角為的直線，其與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：
（1）直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖象，可得：；
（2）直線與半圓的下半部分相交于一個交點，由圖可知.綜上可知：.
故選：C.
7．設(shè)F是橢圓上的右焦點，是橢圓上的動點，是直線上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點間線段最短、點到直線距離公式進行求解即可.
【詳解】，
設(shè)為該橢圓的左焦點，，
所以，
于是，
顯然當(dāng)三點共線，且與垂直時，
有最小值，最小值為，
故選：D
8．長方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點在線段上從移動到時，點在平面上的射影的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、坐標(biāo)法進行求解即可.
【詳解】因為長方體中，，
所以是正方形，因此 ，
又因為平面，而平面，
所以，而平面，
因此平面，又因為平面平面，
所以點在平面上的射影在上，
在平面中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
，設(shè)，
由，
點在平面上的射影的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，
，
，
所以三角形是等邊三角形，即，
所以圓弧的長為，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用面面垂直的性質(zhì)確定點的位置.
二、多選題
9．下列說法錯誤的是（ ）
A．過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l方程為
B．直線在y軸上的截距為3
C．若直線l的一個方向向量是，則直線l的斜率為
D．過兩點的直線的方程都可以表示為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)直線過原點時，滿足題意，可判定A不正確；令，得到，可判定B不正確；根據(jù)直線方向向量的定義，可判定C正確；根據(jù)直線的兩點式方程，可判定D不正確.
【詳解】對于A中，當(dāng)直線過點和原點時，此時直線方程為，滿足題意；
當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，將點代入方程，可得，解得，即，所以A不正確；
對于B中，由直線，令，可得，所以直線在軸上的截距為，所以B不正確；
對于C中，若直線l的一個方向向量是，可得直線的斜率為，所以C正確；
對于D中，過兩點的直線，只有當(dāng)時，才能得到直線方程為，所以D不正確.
故選：ABD.
10．下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，三點不共線，面外任一點，有，則，，，四點共面
B．有兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則∥
C．已知向量，，若，則為鈍角
D．已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為
【答案】AD
【分析】由四點共面的向量判斷A，由兩平面平行的向量判斷B，由直線與平面所成角的定義判斷C，由兩向量所成角為鈍角的條件判斷D.
【詳解】A：由知，四點共面，故A正確；
B：由知，，所以與不平行，故B錯誤；
C：由，得，
若反向，則，有，解得，
所以當(dāng)且時，為鈍角，故C錯誤；
D：若，則與所成角為，故D正確.
故選：AD.
11．已知點為圓為圓心）上的動點，點為直線上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．若直線平分圓的周長，則
B．點到直線的最大距離為
C．若圓上至少有三個點到直線的距離為，則
D．若，過點作圓的兩條切線，切點為，當(dāng)最小時，則直線的方程為
【答案】ABD
【分析】利用直線過圓心求出可判斷A；求出點到直線的距離為，
令，可得，利用有解可判斷C；
轉(zhuǎn)化為，解不等式可判斷C；求出直線，設(shè)直線與的交點為，根據(jù)≌可得，由，轉(zhuǎn)化為
所以最小即四邊形的面積最小，即最小，利用，即求最小，此時，因為,可得設(shè)，由點在圓上和求出點坐標(biāo)，再由點斜式方程可得答案.
【詳解】，半徑為，則
對于A，若直線平分圓的周長，則，所則，故A正確；
對于B， 點到直線的距離為，
令，可得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，有解可得，解得，
所以，綜上所述，點到直線的最大距離為，故C正確；
對于C，因為圓的半徑為1，若圓上至少有三個點到直線的距離為，
則，解得，故C錯誤；
對于D， 若，直線，設(shè)直線與的交點為，
因為，，，所以≌，所以，即，
所以，
所以當(dāng)最小即四邊形的面積最小，
即最小，因為，所以當(dāng)最小時最小，
此時，，，代入直線點斜式方程可得直線CQ方程為，
由聯(lián)立解得，所以，因為，，所以，
所以，設(shè)，則①，
②，
由①②解得，或，
故或，
由、可得直線的方程為
，即；
由、可得直線的方程為
，即；
故D正確.
故選：ABD.
12．如圖，在直三棱柱中，是直角三角形，且為的中點，點是棱上的動點，點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．異面直線與所成角的余弦值是
B．三棱柱的外接球的表面積是
C．當(dāng)點是線段的中點時，三棱錐的體積是
D．的最小值是2
【答案】AC
【分析】由空間向量的坐標(biāo)運算判斷A，由棱柱的外接球半徑與球的表面積公式判斷B，
由線面平行關(guān)系與棱錐的體積公式判斷C，在平面中，數(shù)形結(jié)合求的最小值后判斷．
【詳解】解：在直三棱柱中，是直角三角形，且，則，
則建立以為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，
對于：，，
，
故異面直線與所成角的余弦值是，故A正確；
對于：將直三棱柱補成直四棱柱，
可得三棱柱的外接球就是直四棱柱的外接球，
外接球半徑，
故三棱柱的外接球的表面積是，故B錯誤；
對于：連接，則是的中點，
點是線段的中點，
，
平面，是棱上的動點，
點到平面的距離就是點到平面的距離，
又
，故C正確；
對于：由選項C得是的中點，
則平面，平面，平面，
在中，，，且，
在平面中，建立以為原點，以為軸，以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，，
過作直線的對稱點，當(dāng)時，
此時的值最小，且為，也就是點到軸的距離，
設(shè)，可得的中點坐標(biāo)為，
直線的方程為，即，
，解得，的最小值是，故D錯誤，
故選：．
三、填空題
13．已知，若，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)垂直得到，得到方程，求出.
【詳解】，
因為，所以，
即，
解得.
故答案為：2
14．已知圓：，過點的直線被圓截得的弦長為4，則直線的方程為
【答案】或
【分析】考慮直線的斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理得到方程，求出答案.
【詳解】圓：的圓心為，半徑為，
當(dāng)直線的斜率不存在時，此時方程為，圓心到的距離為1，
則被圓截得的弦長為，滿足要求，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)為，
則圓心到直線的距離為，
由垂徑定理得，解得，
故直線的方程為，即.
故答案為：或
15．已知橢圓，若圓心在坐標(biāo)原點，直徑為a的圓與該橢圓有四個交點，則稱該橢圓為“圓橢圓”，請寫出一個以（±3，0）為焦點的“圓橢圓”方程 ．
【答案】答案不唯一（需 ）
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合解得，取值代入．
【詳解】根據(jù)題意可得：
∵，則
比如取，則，此時橢圓方程為
故答案為：．
16．經(jīng)過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點，若，則橢圓的離心率為 ．
【答案】/
【分析】寫出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式可得，整理即可得，代入離心率公式即可得.
【詳解】易知左焦點，直線的斜率為，
所以直線方程為，設(shè)
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去可得；
可得，
由可得，
即，所以，
故離心率.
故答案為：
四、解答題
17．已知 的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求頂點的坐標(biāo).
(2)求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)互相垂直兩直線斜率的關(guān)系，結(jié)合直線的點斜式方程，通過解方程組進行求解即可；
（2）根據(jù)中點坐標(biāo)公式，結(jié)合直線點斜式方程進行求解即可.
【詳解】（1）邊上的高所在直線方程為，
，且，即，
的頂點，直線方程;，
即與聯(lián)立，，
解得：，頂點的坐標(biāo)為；
（2）所在直線方程為，設(shè)點，
是中點，，，
在所在直線方程為上，
,解得：,，
的方程為：，即.
18．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點，的最大面積為，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于、兩點，、為橢圓上兩點，且，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦距得到，結(jié)合三角形面積的最大值得到，利用求得，得到橢圓的方程；
（2）根據(jù)已知設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式得到，判斷單調(diào)性即可求得最大值.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，，，
的最大面積為，，
，
，
橢圓的方程為；
（2）由題知，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，消去并整理得：，
∴，得，
，，
∴，
設(shè)，，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：
在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，，
故.
19．如圖，在矩形和中，，，，，，，記.
(1)將用，，表示出來；
(2)當(dāng)時求與夾角的余弦值；
(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，使得平面.
【分析】（1）利用空間向量的加減運算法則化簡即可得；
（2）分別可得，求出以及代入夾角計算公式即可得出結(jié)果；
（3）假設(shè)存在使得平面，利用向量數(shù)量積為0即可解得.
【詳解】（1）因為，，，
記，所以，且，，
由空間向量的線性運算法則，
可得
.
（2）當(dāng)時，；
所以可得，易知
又可知
.
（3）假設(shè)存在使得平面，又平面，
可知，，
由（1）知，,
可得.
且
化簡得，解得，滿足條件.
故存在，使得平面.
20．已知圓C：，直線l：．
(1)若直線l被圓C截得的弦為AB，求弦AB長度的最小值；
(2)已知點P是圓C上任意一點，在直線上是否存在兩個定點M，N，使得？若存在，分別求出點M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，或，
【分析】（1）根據(jù)題意可知直線l過定點，結(jié)合垂徑定理求弦長；
（2）設(shè)，，，根據(jù)題意結(jié)合兩點間距離公式運算求解.
【詳解】（1）因為直線l：，即，可知直線l過定點，
且，即定點在圓C內(nèi)，直線l與圓C相交，
又因為圓C：，即，則圓心，半徑，
如圖，易得．
（2）滿足題意的定點M，N存在，證明如下：
設(shè)，，，
因為，等式兩邊平方得．
又因為，整理得．
所以，解得或，
所以滿足題意的定點為，或，．
21．如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，為中點，為內(nèi)的動點（含邊界）.
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若平面，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）運用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運用面面夾角的坐標(biāo)公式計算即可.
（3）設(shè)點H坐標(biāo)，由平面，面可表示H坐標(biāo)，結(jié)合線面角坐標(biāo)公式計算可得（），運用換元法求此函數(shù)的值域即可.
【詳解】（1）證明：因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面.
（2）在三棱錐中，連接，
因為為中點，是以為斜邊的等腰直角三角形，則，
由（1）知，平面，所以以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
由題意知，，又，則，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，則，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
（3）如（2）建系及圖可知，平面的法向量為，平面的法向量為，，
設(shè)，則，，
因為平面，面，
所以，解得，
所以，
又因為平面，
所以是平面的一個法向量，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
又為內(nèi)的動點（含邊界），
所以，解得，
所以（），
令，則，（） ，
所以
（），
因為，所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
22．已知橢圓，過點且與軸平行的直線與橢圓恰有一個公共點，過點且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過點的動直線與橢圓交于兩點，為軸上的一點，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到橢圓的下頂點為和橢圓過點求解；
（2）設(shè)點坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立，由，結(jié)合韋達定理求解；當(dāng)直線斜率不存在時驗證即可.
【詳解】（1）解：由題意，橢圓的下頂點為，故.
由對稱性，橢圓過點，代入橢圓方程有，
解得：.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)點坐標(biāo)為.
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：
.
設(shè)，則.
，
，
，
為定值，即與無關(guān)，則，此時.
經(jīng)檢驗，當(dāng)直線斜率不存在時也滿足，故點坐標(biāo)為.

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