一、單選題
1．下列四個事件：
①明天上海的天氣有時有雨；②東邊日出西邊日落；③雞蛋里挑骨頭；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】B
【分析】判斷選項中每個事件為隨機事件還是必然事件還是不可能事件，可得答案.
【詳解】由題意可知，①明天上海的天氣有時有雨為隨機事件；
②東邊日出西邊日落為必然事件；
③雞蛋里挑骨頭為不可能事件；
④守株待兔為隨機事件，
故必然事件有1個，
故選：B
2．傾斜角為135°的直線經過坐標原點O和點，則y等于（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】根據直線經過的點以及斜率寫出直線方程，即可代入求解.
【詳解】由題意可知：直線的方程為，
將點代入直線方程中得，
故選：C
3．已知向量，，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根據數量積的坐標表示計算可得.
【詳解】因為，，
所以，解得.
故選：C
4．已知直線：，則點關于對稱的點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據垂直斜率關系，以及中點在直線上即可列方程求解.
【詳解】設點關于對稱的點為，則，解得，
故選：B
5．圓C：上一點P到直線：的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據圓的方程，求出圓心和半徑，由圓心到直線的距離大于半徑，所以圓C上一點P到直線的距離的最小值，求解即可.
【詳解】圓C：的圓心為，半徑為，
直線：可化為，
圓心到直線的距離為，
所以圓C上一點P到直線的距離的最小值為.
故選：A
6．某次乒乓球單打比賽在甲、乙兩人之間進行.比賽采取三局兩勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽的勝利，比賽結束.根據以往的數據分析，每局比賽甲勝出的概率都為，比賽不設平局，各局比賽的勝負互不影響.這次比賽甲獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】甲戰(zhàn)勝乙包含兩種情況：①甲連勝2局，②前兩局甲一勝一負，第三局甲勝，由此利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲戰(zhàn)勝乙的概率．
【詳解】結合題意：甲隊戰(zhàn)勝乙隊包含兩種情況：
甲連勝2局，概率為，
前兩局甲一勝一負，第三局甲勝，概率為，
則甲戰(zhàn)勝乙的概率為．
故選：D．
7．已知圓M：，下列結論中，正確的有（ ）
A．過點作圓M的切線，則切線方程為
B．圓M與圓N：外切
C．圓M被直線：截得的弦長為
D．圓M上恰有三個點到直線的距離為1
【答案】C
【分析】根據圓的特征以及切線的定義即可求解A,根據兩圓位置關系的判定即可求解B，根據弦長公式即可求解C，根據點到直線的距離公式，結合圓的半徑即可求解D.
【詳解】圓M：的圓心和半徑分別為，
對于A，過點可以作出圓的兩條切線，分別為和，故A錯誤，
對于B，由于圓N：的圓心和半徑為,
所以，故兩圓相交，B錯誤，
對于C，到直線：的距離為，所以弦長為，C正確，
對于D，到直線的距離為由于，所以圓上可以找到四個點到到直線的距離為1，故D錯誤，
故選：C
8．《九章算術》是我國古代數學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面，底面是正方形，，E，F分別為，的中點，，，若平面，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，根據法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結果．
【詳解】以為坐標原點，正方向為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
設，則,0,,0,,,,,, ，
所以，，，，
設平面的法向量，
則，令，得，，所以；
由可得是的中點，，
由可得，
所以，
因為平面，所以，解得．
故選：C
二、多選題
9．將一枚質地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數，設事件“記下的點數為3”，事件“記下的點數為偶數”，事件“記下的點數小于3”，事件“記下的點數大于2”，則（ ）
A．事件與互斥B．事件與互斥
C．事件與對立D．事件與對立
【答案】ABD
【分析】根據互斥事件、對立事件的定義判斷即可.
【詳解】依題意骰子面朝上的點數可能為、、、、、共個基本事件，
則事件“記下的點數為偶數”包含、、共個基本事件，
事件“記下的點數小于3” 包含、共個基本事件，
事件“記下的點數大于2”包含、、、共個基本事件，
所以事件與互斥，故A正確；
事件與互斥，故B正確；
事件與不互斥也不對立，故C錯誤；
事件與互斥且對立，故D正確；
故選：ABD
10．已知向量，，，則下列命題中，真命題的有（ ）
A．，可能為共線向量，，不可能為共線向量
B．，，可能構成空間的一組基底
C．平移這三個向量至起點相同，以它們?yōu)猷忂厴嬙煲粋€平行六面體，則該六面體可能是一個直棱柱
D．若，則，之間的夾角為鈍角
【答案】AB
【分析】根據空間向量共線的坐標表示即可判斷A；根據，，是否共面結合基底的定義即可判斷B；根據，，三個向量種是否有一個向量垂直于另兩個向量即可判斷C；由，之間的夾角為鈍角，可得且不共線，即可判斷D.
【詳解】對于A，若，為共線向量，
則，解得，
若，為共線向量，
則，無解，
所以，可能為共線向量，，不可能為共線向量，故A正確；
對于B，若，，共面，
則存在唯一實數對，使得，
即，
所以，解得，
所以當時，，，共面，
當時，，，不共面，
則當時，，，可以構成空間的一組基底，故B正確；
對于C，因為，所以不垂直，
則要使六面體是一個直棱柱，則，
故，無解，
所以該六面體不可能是一個直棱柱，故C錯誤；
對于D，若，之間的夾角為鈍角，
則且不共線，
由，得，解得，
由不共線，結合A選項可得，
所以當且時，，之間的夾角為鈍角，故D錯誤.
故選：AB.
11．下列說法中，不正確的有（ ）
A．若，則兩條平行直線：和：之間的距離小于1
B．若直線與連接，的線段沒有公共點，則實數的取值范圍為
C．已知點，，若直線的傾斜角為銳角，則實數的取值范圍為
D．若集合，滿足，則
【答案】ABD
【分析】利用特殊值判斷A，求出直線過定點，再求出，，即可求出的范圍，從而判斷B，利用斜率公式判斷C，首先求出集合、的表示的幾何意義，再分兩直線平行和直線過點兩種情況討論，即可判斷D.
【詳解】對于A：直線：，即，
因為，所以，即，
則與的距離，
因為，所以當時，故A錯誤；
對于B：直線，即，所以直線恒過點，
又，，
因為直線與連接，的線段沒有公共點，
所以，解得，故B錯誤；
對于C：因為點，，且直線的傾斜角為銳角，
所以，解得，故C正確；
對于D：由，得 ，
所以集合表示斜率為的直線上的點（除去點），
由，得，令，解得，
所以集合表示過點且斜率為的直線，
若，即，此時兩直線平行，滿足；
若直線過點，
則，解得，此時，
且，符合題意；
所以或，故D錯誤.
故選：ABD
12．如圖，在棱長為的正方體中，，，分別為，，的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．點到直線的距離為
B．直線到平面的距離為
C．直線與平面所成角的余弦值為
D．直線與直線所成角的余弦值為
【答案】ABD
【分析】由正方體可知為正三角形，進而判斷A選項，利用坐標法分別求直線到平面的距離、線面夾角及異面直線夾角，即可判斷BCD選項.
【詳解】A選項，如圖所示，由正方體可知，即為正三角形，所以點到直線的距離，A選項正確；

B選項：由，分別為，的中點，得且，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，
平面，
則直線到平面的距離即為點到平面的距離，
如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，令，，
所以，B選項正確；

C選項：，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，余弦值為，C選項錯誤；

D選項：，，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為，D選項正確；

故選：ABD.
三、填空題
13．若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據橢圓的標準方程形式即可求出結果.
【詳解】因為方程表示焦點在y軸上的橢圓，
所以，解得，
故答案為：.
14．過圓外一直線上一動點P作圓的切線，則切線長最小值為
【答案】/
【分析】畫出圖形，根據圖形分析可知當圓心與動點P的距離最小時，切線長最小，由點到直線的距離公式、勾股定理結合已知條件進行運算即可求解.
【詳解】如圖所示：

過直線上任意一點P作圓的切線，設切點為，
由題意圓的圓心坐標為，半徑為，
則切線長，
若要切線長最小，
則只需最小即可，
而的最小值即為點到直線的距離，
因此的最小值為，
從而切線長的最小值為.
故答案為：.
15．當直線被圓截得的弦長最短時，實數 ．
【答案】
【分析】根據直線的方程，求得直線所過的定點，直線被圓截得的弦長最短時有，則，解出方程即可.
【詳解】將直線，化為，
令，解得，所以直線過定點，
又圓的標準方程為，則圓心為，
由，則點在圓內，
故當時，圓心到直線的距離取得最大值，此時直線被圓截得的弦長最短，
則，解得．
故答案為：．
16．已知圓，過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，當點在直線上運動，直線過定點，則點的坐標為 .
【答案】
【分析】設，在以PC為直徑的圓上，求出圓的方程，與已知圓相減得直線AB的方程，從而可求定點.
【詳解】圓，∴圓心，半徑，
點在直線上運動，設，
由題意知在以PC為直徑的圓上，
圓的方程為，
化簡得：，
與圓相減，得直線AB的方程：，
即，由，解得，
所以直線過定點.
故答案為：.
四、解答題
17．已知圓：，圓：.若動圓與外切，且與圓內切.
(1)判斷圓和的位置關系；
(2)求動圓的圓心的軌跡方程.
【答案】(1)內切
(2)
【分析】（1）借助圓的標準方程可得圓心和半徑，進而判斷兩圓的位置關系；
（2）借助圓與圓相切的性質，結合橢圓的定義即可得.
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為；
圓的圓心為，半徑為，
可得，可知，
所以圓和內切.
（2）設動圓的半徑為R，
因為動圓與圓外切且與圓內切，
則，且，
由橢圓的定義可知，動點在以、為焦點，為長軸長的橢圓上，
設橢圓的方程為，半焦距為，
則，，則，
又因為圓與圓內切，則點C不能在切點處，即橢圓應去掉點，
所以動圓的圓心的軌跡方程為．
18．的三個頂點分別是，，.邊上的高所在直線記為，過且與平行的直線記為，直線與的交點為.
(1)求和的方程；
(2)求到直線的距離.
【答案】(1)的方程為，的方程為
(2)
【分析】（1）首先求出，即可求出，再由點斜式求出的方程，再求出，即可求出直線的方程；
（2）聯立兩直線方程求出交點坐標，再利用點到直線的距離公式計算可得.
【詳解】（1）因為，，，
所以，所以，則直線的方程為，即，
又，所以，則直線的方程為，即.
即的方程為，的方程為.

（2）由，所以直線的方程為，即，
由，解得，所以，
所以點到直線的距離.
19．如圖，四面體的每條棱長都相等，M，N，P分別是，，的中點
(1)求證：，，為共面向量；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)
【分析】（1）利用空間向量基本定理表達出，得到，，為共面向量；
（2）證明出線面垂直，得到平面的法向量為，求出，并求出，，利用線面角的正弦求解公式求出答案.
【詳解】（1）因為M，N，P分別是，，的中點，
故，
所以，，為共面向量；
（2）四面體的每條棱長都相等，設為2，
連接，因為均為等邊三角形，
又N是的中點，所以⊥，⊥，
因為，平面，
故⊥平面，
所以平面的法向量為，
其中，，
故
，
又
，
故，
，
故，
設與平面所成角的大小為，
則.
20．甲、乙兩臺機床同時生產一種螺釘，現隨機抽取這兩臺機床生產的螺釘各100顆進行重量檢測（單位：克），檢測結果統(tǒng)計如下：
(1)試分別估計甲機床、乙機床生產的螺釘為不合格的概率；
(2)從兩臺機床生產的品質為合格的螺釘中，按等次采用分層抽樣的方法抽取6個螺釘，從這6個中任意抽取3顆，求這3顆中至少有兩顆是一等品的概率.
【答案】(1)甲的概率為，乙的概率為，
(2)
【分析】（1）直接根據表格計算即可；
（2）先根據分層抽樣求出抽出一等品和非一等品的個數，再根據古典概型計算即可.
【詳解】（1）由表可知，甲機床生產的螺釘為不合格的概率，
乙機床生產的螺釘為不合格的概率；
（2）由題意，抽取的一等品有顆，
設為，
則非一等品有顆，設為，
從這6個中任意抽取3顆，有，
，
，共種，
其中至少有兩顆是一等品有種，
所以3顆中至少有兩顆是一等品的概率為.
21．在正四棱柱中，，，在線段上，且，在線段上.
(1)求證：平面.
(2)若平面和平面的夾角為，求的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證明平面；
（2）由（1）中的空間直角坐標系，利用空間向量法先求出平面和平面的夾角為時的位置，從而求解.
【詳解】（1）證明：由題知，可以點為原定，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則：，，，，，，
得：，，，
因為：，所以：，即：，
因為：，所以：，即：，
又因為：，平面，所以：平面.
（2）設，，連接，，如（1）圖所示，
由（1）可得：，，，
設平面的一個法向量為，
則：，令：，得：，
由（1）知是平面的一個法向量，
因為平面和平面的夾角為，
所以：，
整理得：，又因為：，得：，
所以：.
22．已知點，圓Q：（Q為圓心）.經過點P，Q的圓的圓心為M，且圓M與圓Q相交于A，B兩點.
(1)當點M在y軸上時，求圓M的標準方程；并說明此時直線PA，PB都不是圓Q的切線；
(2)求線段AB長度的取值范圍.
【答案】(1)①，②證明見解析；
(2)
【分析】（1）設出圓心M的坐標，根據點P,Q在圓M上，建立方程求出圓心M的坐標，從而求出圓的方程；若圓M是以線段PQ為直徑的圓，根據直徑所對的圓周角為直角，可以得出PA,PB為圓Q的切線，但此時可以驗證圓心M不在PQ上，從而得證；
（2）因圓M過點P,Q，所以圓心在線段PQ的垂直平分線上，設出圓心M的坐標，寫出圓M的方程，聯立圓Q的方程求出直線AB的方程，求出點Q到直線AB的距離，從而求出弦長的表達式，運用二次函數圖像及不等式性質求出弦長的范圍.
【詳解】（1）因點M在y軸上，設，又P,Q在圓M上,所以，
即，解得，即，半徑,
所以圓M的標準方程為；
又圓M與圓Q相交于A,B, 若圓M是以PQ為直徑，
根據直徑所對的圓周角為直角有,
但此時可以驗證圓心M不在PQ上，所以直線PA,PB都不是圓Q的切線.
（2）因圓M過點P,Q，所以圓心在PQ的垂直平分線上，
設，半徑，
圓M的標準方程為，
又圓M與圓Q相交于A,B,聯立，
得直線AB的方程為，
所以點Q到直線AB的距離為，
所以，
設，
由不等式性質可得，
所以線段AB的取值范圍為.
重量區(qū)間
甲機床
7
12
45
32
4
乙機床
3
18
45
28
6
等次
四等品
三等品
一等品
二等品
四等品
品質
不合格
合格
不合格

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