一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求）
1. 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即可得答案.
【詳解】由題意得集合，
則，
故選：A
2. 設(shè)命題，則為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.
3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義的要求列不等式求函數(shù)定義域.
詳解】由函數(shù)解析式有意義可得
且，
所以函數(shù)的定義域是且，
故選：D.
4. 下列函數(shù)中，在R上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，不滿(mǎn)足單調(diào)性；BD定義域不是R；C選項(xiàng)滿(mǎn)足在R上單調(diào)遞增.
【詳解】A選項(xiàng)，，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合要求，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，定義域?yàn)?，故不合要求，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且在R上單調(diào)遞增，C正確；
D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，不合要求，D錯(cuò)誤.
故選：C.
5. 若，則所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由的范圍，求出的正負(fù)，從而可確定點(diǎn)所在象限．
【詳解】∵，∴，
∴點(diǎn)在第二象限．
故選：B．
6. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解，即可根據(jù)由必要不充分條件的判斷求解.
【詳解】由得，所以不一定能得到，但能得到，故“”是“”必要不充分條件，
故選：B
7. 已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分，討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，則 ，解得，
綜上，的取值范圍為．
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0或1B. 1或2C. 1或3D. 2或3
【答案】D
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化為與的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與的函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，
畫(huà)出的圖象與，的圖象，如下：
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或3.
故選：D
二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的0分．）
9. 已知，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，對(duì)ABD，根據(jù)作差法判斷即可；對(duì)C，舉反例判斷即可.
【詳解】已知，，則.
對(duì)A，由題意，，故，即成立，故A正確；
對(duì)B，，即，故B正確；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)，但不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，故，故D正確；
故選：ABD
10. 已知定義在區(qū)間上的一個(gè)偶函數(shù)，它在上的圖像如圖，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間
B. 這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)減區(qū)間
C. 這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7
D. 這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意補(bǔ)全函數(shù)的圖象，進(jìn)而觀察圖象求得答案
【詳解】由題意作出該函數(shù)在上的圖象，如圖所示．
由圖象可知該函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，在其定義域內(nèi)有最大值7，最小值不為，
故選：BC
11. 已知函數(shù)，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（ ）
A. 隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于
B. 隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于
C. 當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度一直快于
D 當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度有時(shí)快于
【答案】BD
【解析】
【分析】
由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)的圖像特點(diǎn)逐一分析即可．
【詳解】如圖
對(duì)于，
從負(fù)無(wú)窮開(kāi)始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故隨著的逐漸增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快于，A錯(cuò)誤，BD正確；
由于的增長(zhǎng)速度是不變的，當(dāng)時(shí)，大于，當(dāng)時(shí)，大于，再也追不上，增長(zhǎng)速度有時(shí)快于，C錯(cuò)誤．
故選：BD．
12. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為π
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
D. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由圖象求出，A錯(cuò)誤；BC選項(xiàng)，根據(jù)圖象求出，進(jìn)而代入驗(yàn)證得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)左加右減求出平移后的解析式，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，由圖象得，，解得，A正確；
BC選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故?br>將代入解析式得，故，
解得，
因?yàn)?，故只有滿(mǎn)足要求，
故，
當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：CD
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 若扇形的弧長(zhǎng)與面積都是6，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是______．
【答案】3
【解析】
【分析】由扇形的面積公式可得，再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)與面積都是6，
由扇形的面積公式可知：，
所以，
所以圓心解.
故答案為：
14. 函數(shù)f (x)＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，3]上的最大值為_(kāi)_______．最小值為_(kāi)_______．
【答案】 ①. 6 ②. 2
【解析】
【分析】將函數(shù)配方為f (x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】f (x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
∴x＝1時(shí)，f (x)min＝2，x＝3時(shí)，f (x)max＝6.
故答案為：（1）6；（2）2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.
15. 若角α的終邊上有一點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)定義求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.
【詳解】由題意得，故.
故答案為：
16. 已知，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)求出，分，，三種情況，結(jié)合求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，利用來(lái)驗(yàn)證，最終求出答案.
【詳解】，而單調(diào)遞減，
故，
若，由可得，故，
此時(shí)，滿(mǎn)足要求，
若，此時(shí)，不合要求，
若，由可得，故，此時(shí)，不合要求.
故答案為：
四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知R為全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可；
(2)根據(jù)交集的定義求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)镽為全集，集合，
所以或；
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，集合，?br>所以，解得.
18. 計(jì)算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
；
【小問(wèn)2詳解】
．
19. ，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得到，從而代入求值；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出的正弦和余弦，進(jìn)而利用正弦的和角公式求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
由，得，
所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，又，
因?yàn)椋獾?，?br>因?yàn)椋?，所以?br>所以．
20. 有一批材料,可以建成長(zhǎng)為240米的圍墻.如圖,如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場(chǎng)地,中間用同樣材料隔成三個(gè)相等面積的矩形,怎樣圍法才可取得最大的面積?并求此面積.
【答案】當(dāng)面積相等小矩形的長(zhǎng)為時(shí)，矩形面積最大，
【解析】
【分析】設(shè)每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，依題意可知，代入矩形的面積公式，根據(jù)基本不等式即可求得矩形面積的最大值.
【詳解】設(shè)每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，依題意可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以時(shí)，.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
21. 已知函數(shù).
(1)求函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間的最值.
【答案】(1) . (2) ，.
【解析】
【分析】（1）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由的范圍求出相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)的最值．
【詳解】解:(1)由，得
∴的單調(diào)區(qū)間是.
(2)∵，則，，
∴，.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．
22. 已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求的值，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求不等式的解集．
【答案】（Ⅰ），證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根據(jù)為奇函數(shù)求得的值.利用函數(shù)單調(diào)性的定義證得在上是增函數(shù).
（Ⅱ）利用的奇偶性和單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法，求得所求不等式的解集.
【詳解】（Ⅰ）由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得.
所以.
任取，
，其中，，
所以，即，，
所以函數(shù)在上是增函數(shù).
（Ⅱ）由（Ⅰ）知是在上遞增的奇函數(shù)，
所以
，解得或.
所以不等式的解集為.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.

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