2023-2024學(xué)年重慶市江北區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年重慶市江北區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析），共15頁。試卷主要包含了答題前，本卷命題范圍，定義在R上的函數(shù)滿足，已知集合，，若，則的取值可以是，下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考生注意：
1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前．考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．
3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：必修一第一章、第二章、第三章
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．若，則集合P中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．命題：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．函數(shù)的定義域為（）
A．B．C．D．
4．已知、，且，則（ ）
A．B．
C．D．
5．是定義域為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為常數(shù)），則
A．B．
C．D．
6．“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
7．若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的（），都有，且，函數(shù)關(guān)于直線對稱，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．已知集合，，若，則的取值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．下列冪函數(shù)中滿足條件的函數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
12．下列四個命題是真命題的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)的值域為
C．函數(shù)f（x）滿足，則
D．若方程的兩個不等實根都在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為
第II卷 非選擇題（10小題，共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知函數(shù)，則 ．
14．若命題“，”為真命題，則的取值范圍為 .
15．已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .
16．表示不超過x的最大整數(shù)，如，，，已知且滿足，則 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（1）設(shè)全集為，，，求．
（2）；
18．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.
(1)求的解析式；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
19．定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．
（1）求函數(shù)在上的解析式；
（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．
20．已知是定義在上的奇函數(shù)．
求的解析式；
判斷并證明的單調(diào)性；
解不等式：
21．如圖，現(xiàn)將正方形區(qū)域規(guī)劃為居民休閑廣場，八邊形位于正方形的正中心，計劃將正方形WUZV設(shè)計為湖景，造價為每平方米20百元；在四個相同的矩形，上修鵝卵石小道，造價為每平方米2百元；在四個相同的五邊形上種植草坪，造價為每平方米2百元；在四個相同的三角形上種植花卉，造價為每平方米5百元.已知陰影部分面積之和為8000平方米，其中的長度最多能達(dá)到40米.
(1)設(shè)總造價為（單位：百元），長為（單位：米），試用表示；
(2)試問該居民休閑廣場的最低造價為多少百元？
（參考數(shù)據(jù)：取，結(jié)果保留整數(shù)）
22．若函數(shù).
(1)討論的解集；
(2)若時，總，對，使得恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.
1．B
【分析】根據(jù)集合和元素的概念進(jìn)行求解.
【詳解】集合P中元素為，，共2個．
故選：B
2．B
【分析】由特稱命題的否定判斷．
【詳解】由題意得，的否定是，，
故選：B
3．D
【分析】利用具體函數(shù)定義域的求法求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得.
故選：D.
4．A
【分析】由不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項；取，，可判斷BCD選項.
【詳解】對于A選項，因為，由不等式的基本性質(zhì)可得，A對；
對于B選項，取，，則，B錯；
對于C選項，取，，則，C錯；
對于D選項，取，，則，D錯.
故選：A.
5．D
【詳解】試題分析：因為是定義域為且是奇函數(shù)，所以，所以，，，故選D.
考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、分段函數(shù)的解析式.
6．C
先計算已知條件的等價范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】因為“不等式在上恒成立”，所以當(dāng)時，原不等式為在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等價于，解得.
A選項是充要條件，不成立；
B選項中，不可推導(dǎo)出，B不成立；
C選項中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，故是的必要不充分條件，正確；
D選項中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，故是的充分不必要條件，D不正確.
故選：C.
結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；
（2）是的充分不必要條件， 則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；
（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；
（4）是的既不充分又不必要條件， 對的集合與對應(yīng)集合互不包含．
7．A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解.
【詳解】由題意可得，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
故選：A.
8．C
【分析】根據(jù)題意得到在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，分和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出解集.
【詳解】因為對任意的（），都有，
所以在上單調(diào)遞減，
因為關(guān)于直線對稱，所以關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以，
當(dāng)時，，令得，即，
所以，所以，
當(dāng)時，，令得，即，
所以，所以，
綜上，的解集為.
故選：C
9．AC
【分析】根據(jù)并集的概念及運算即可得到結(jié)果.
【詳解】∵集合，，
∴，或.
故選：AC.
10．BD
【分析】先求出各項兩個函數(shù)的定義域，若定義域相同，則判斷對應(yīng)關(guān)系、解析式是否一致，即可得出答案.
【詳解】對于A項，函數(shù)的定義域為R，的定義域為，
兩個函數(shù)定義域不相同，故A項錯誤；
對于B項，函數(shù)的定義域為R，的定義域為R，
兩個函數(shù)定義域相同，
且，所以兩個函數(shù)相同，故B項正確；
對于C項，函數(shù)的定義域為R，的定義域為R，
兩個函數(shù)定義域相同，
但是解析式不相同，故C項錯誤；
對于D項，函數(shù)的定義域為R，的定義域為R，
兩個函數(shù)定義域相同，
且對應(yīng)關(guān)系也一致，故D項正確.
故選：BD.
11．BD
先明確題目中條件對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行判斷選擇.
【詳解】由題意可知，當(dāng)時，滿足條件的函數(shù)的圖象是凹形曲線.
對于A，函數(shù)的圖象是一條直線，故當(dāng)時，；
對于B，函數(shù)的圖象是凹形曲線，故當(dāng)時，；
對于C，函數(shù)的圖象是凸形曲線，故當(dāng)時，；
對于D，在第一象限，函數(shù)的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)時，
，
故選：BD.
本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.
12．AD
【分析】A. 利用抽象函數(shù)的定義域求解判斷；B.利用函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；C. 由得到，聯(lián)立求解判斷；D.令，利用方程根的分布判斷.
【詳解】A. 因為函數(shù)的定義域為，所以，解得 ，所以函數(shù)的定義域為，故是真命題；
B. 函數(shù)的定義域為，且在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域為，故不是真命題；
C. 由，得，聯(lián)立解得，故不是真命題；
D.令，因為的兩個不等實根都在區(qū)間內(nèi)，
所以，即，
解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故是真命題；
故選：AD
13．
【分析】根據(jù)已知求出的值，代入即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，.
故答案為.
14．
【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為能成立問題，求其最大值，即可得到結(jié)果.
【詳解】命題“，”為真命題，即，，
設(shè)，，
當(dāng)時，取得最大值為，所以，
即的取值范圍為.
故
15．
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【詳解】因為，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為.
16．3
【分析】根據(jù)已知可推得，進(jìn)而求得的范圍，代入，求出整數(shù)部分，即可得出答案.
【詳解】因為，
且每一項都是整數(shù)，
又，
所以，，
所以有，所以，
所以，，
所以，.
故3.
17．（1）或；（2）
【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集和交集的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)指數(shù)運算的知識求得正確答案.
【詳解】（1）或，
所以或.
（2）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，可列出關(guān)于m的方程，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性確定m的值，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中m的值，再結(jié)合冪函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，可得相應(yīng)不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1）由于函數(shù)是冪函數(shù)，故，
解得或，
當(dāng)時，在上是增函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時，在上是減函數(shù)，符合題意，
故.
（2）由（1）知，則，
結(jié)合冪函數(shù)在上為增函數(shù)，
得，解得，
即.
19．（1）（2）最大值是-1，最小值是-22
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，合理設(shè)出變量，即可求解函數(shù)在上的解析式；
（2）由（1）可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值與最小值.
【詳解】:


上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減


本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，其中根據(jù)題意，令函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式，得出函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題好解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
20．（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)．證明見解析（3）
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，列出方程求出、的值，代入解析式；
（2）先判斷出函數(shù)是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：設(shè)元，作差，變形，判斷符號，下結(jié)論．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到關(guān)于的不等式組，解得即可．
【詳解】解：是定義在上的奇函數(shù)，
，即．
又．
函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明如下，任取，
為上的增函數(shù)．
，即，
，解得，
解集為：
本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值，作差，變形，定號下結(jié)論．
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，列出方程求出的值，代入解析式；
先判斷出函數(shù)是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：設(shè)元，作差，變形，判斷符號，下結(jié)論
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到關(guān)于x的不等式組，解得即可．
21．(1)
(2)68800百元
【分析】（1）將各部分分別求造價再求和即可；
（2）根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】（1）方法一：因為米，所以米，得米.
根據(jù)題意可得四個三角形的面積之和為平方米，
正方形的面積為平方米，
四個五邊形的面積之和為平方米，
則休閑廣場的總造價
.
方法二：設(shè)米，因為米，所以米，得米，
根據(jù)題意可得陰影部分面積為平方米，
則，
四個三角形的面積之和為平方米，
正方形的面積為平方米，
因為正方形的面積為平方米，
所以四個五邊形的面積之和為
平方米，
所以休閑廣場的總造價
.
（2）因為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以該居民休閑廣場的總造價最低為68800百元.
22．(1)答案見解析
(2)或
【分析】（1）分類討論a的范圍，根據(jù)二次方程根的分布情況，解不等式即可；
（2）令，原題等價于，對使得恒成立，再根據(jù)恒成立與有解關(guān)系分別轉(zhuǎn)化即可求出實數(shù)b的取值范圍.
【詳解】（1）已知，
①當(dāng)時，時，即；
②當(dāng)時，，
若，，解得 ，
若，，解得或，
若，，解得，
若時，，解得或，
綜上所述：當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為.
（2）若，則，，
令，原題等價于，對使得恒成立，
令，是關(guān)于的減函數(shù)，
對，恒成立，
即，
又，，
即，
故，解得或.
結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解綜合問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
①若在上恒成立，則；
②若在上恒成立，則；
③若在上有解，則；
④在上有解，則.